Fundamentos de Control

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1 Fundamentos de Control
Realimentado Clase Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2013

2 Respuesta Frecuencial en el Diseño de Sistemas de Control
2 Respuesta Frecuencial en el Diseño de Sistemas de Control Contenido: Métodos de Respuesta en Frecuencia (RF) Relación de polos y ceros con Magnitud y Fase de la RF Diagramas de Bode Propiedades de Estado Estacionario Estabilidad Marginal

3 Contenido La Respuesta Frecuencial de un Sistema Dinámico alude a
su comportamiento en estado estacionario para entradas senoidales de distintas frecuencias incluyendo una entrada constante. La Respuesta Frecuencial de un Sistema de Control puede estudiarse mediante varios métodos: Diagramas de Bode (Magnitud y Fase vs. frecuencia) Diagrama de Nyquist (Coordenadas polares) Carta de Nichols Ploteo de la curva inversa de Nyquist

4 Respuesta de un Sistema Dinámico a una senoide
4 Respuesta de un Sistema Dinámico a una senoide 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 tiempo -2 3 1 -1 Las frecuencias de la salida y entrada son las mismas Realizamos el siguiente experimento: a) Se excita una planta dinámica LTI con una señal senoidal de amplitud 1 y frecuencia  b) Se observa su salida transcurrido un periodo largo de tiempo y(t) = a1 e-2 t + a2 e-2 t + + |0| sen( t +) Existe desfasaje entre u e y Transitorio Zoom Cambio de amplitud entre u e y Estado permanente y(t’)= a sen( t’ +) t´=t+t0 to>>1 u(t)=sen(t) a

5 Fundamento de los Métodos de RF
5 Fundamento de los Métodos de RF Sea el sistema dinámico estable y amortiguado con entrada/salida: Y(s) = G(s) U(s) Contémplese una entrada: u(t) = A sen (w0t) 1(t) donde: U(s)= Aw0 s2+w02 G(s)= sm+ b1sm-1+ …+bm sn+ a1sn-1+ …+an y Si Y(s) se decompone en fracciones parciales: Y(s)= a1 s-p1 + a2 s-p2 + …+ an s-pn a0 s+jw0 a0* s-jw0 y se anti-transforma en Laplace, se encuentra la respuesta temporal: y(t) = [a1 e p1t + a2 e p2t + …+ an e pnt + 2 |a0| sen (w0 t+f)] 1(t) El estado permanente sólo toma el último término de la respuesta y(t).

6 Fundamento de los Métodos de RF
6 Fundamento de los Métodos de RF Desde un punto de vista matemático, la información frecuencial de un sistema dinámico se encuentra almacenada en su función de transferencia de Laplace G(s), a saber : De manera general se tiene que la relación de amplitudes 2|a0|/A y la fase f o desfasaje de la salida respecto a la entrada en estado permanente, para toda frecuencia  desde cero a infinito, responden a: s=jw lim G(s) = G(s) = G(jw) s 0 M = G(jw) = |G(s)| s=jw (Re(G(jw)))2 + (Im(G(jw)))2 f = tan-1 Im(G(jw)) Re(G(jw)) = G(jw) En forma polar: G(jw) = M e jf donde G(jw) es la Función de Transferencia Frecuencial en estado permanente y es la base para la construcción de todos los métodos en el dominio frecuencial para sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

7 Ventajas de los Métodos de RF
7 Ventajas de los Métodos de RF El diseño de un SC basado en RF permite realizar: diseños con compensación dinámica de manera muy sencilla y transparente, compensaciones por realimentación para mitigar el efecto de incertidumbres, la identificación de un sistema dinámico en forma sencilla a través de respuestas a entradas sinusoidales de distinta frecuencia. Para cada frecuencia del experimento se mide la relación de amplitudes entre la salida y la entrada, y el desfasaje entre la entrada y la salida. Con esta información se construye G(s) identificando sus polos y ceros fácilmente, El análisis y diseño de sistemas dinámicos con retardos puros es más eficiente a diferencia de los métodos vistos anteriormente.

8 Diagrama de Bode 8 Ganancia G(jw) 10 MdB/20 MdB = 20 log10 (M) M =
El Diagrama de Bode es la representación de la ganancia M(jw) y de la fase f (jw) en función de la frecuencia w. La frecuencia w se representa en la abscisa en escala logarítmica. Ganancia La ganancia M(jw) se representa en ordenadas generalmente en una escala en decibeles (dB) o decibelios definidos como: Por otro lado la simplicidad de tratar con términos en lugar de factores: En acústica predominan los valores en escala logarítmica para representar relaciones intensidades de señales en dominio frecuencial. Pero el motivo principal es que el oído humano percibe los cambios de presión sonora en una relación casi logarítmica. MdB = 20 log10 (M) Por qué esta relación logarítmica? ? K (jw-z1) (jw-z2) … (jw-zm) (jw-p1) (jw-p2) (jw-p3) … (jw-pn) log10 |G(jw)| = log10 donde el valor MdB en ordenadas se corresponde con M en escala lineal a través de la relación inversa: Y finalmente, en Electrónica se define una ganancia de 10 dB entre dos potencias en un circuito sobre una misma impedancia Z0, cuando las dos potencias asociadas cumplen P2/P1=10=10 dB. Por definición: = log10 |K| +  log10 |jw -zi| -  log10 |jw -pi| M = G(jw) 10 MdB/20 = 10 Relación de señales MdB = 10 log10 (P2/P1) = 10 dB, además 10 dB =10 log10 (V22 / Z0 V12 / Z0) = 10 log10 (V2/ V1) 2 = 20 log10 (V2 /V1) Ejemplo: 40dB = 20 log10 (102), es decir: M=100 Otro ejemplo: -20dB= 20log10 (10-1), es decir: M=0.1

9 Características de la escala logarítmica
9 Características de la escala logarítmica Ordenadas de ganancias en escala logarítmica Ordenadas de ganancia en dB Abscisas de frecuencia graduación en log10(w) 10 -1 1 2 3 1 década 2x101 4x101 8x101 1 octava Nunca se marca el cero! Una octava representa una duplicación de la frecuencia, de 1 a 2, de 2 a 4, de 4 a 8 de 3 a 6, de 5 a 10 w 8x10-1 | M(w)| 10 1 -1 -2 -3 1 década 2x10-1 4x10-1 1 octava Nunca se marca el cero! 3 octavas Cero de referencia = 1 | M(w)| en dB 20 dB 0 dB -20 dB -40 dB -60 dB Existe un 0 dB que representa la magnitud 1 en escala lineal 3 octavas<1 década Una octava es equivalente a una duplicación de la ganancia. Ejemplo de lectura:-22 dB =0,079 La escala es lineal

10 Diagrama de Bode: Ganancia
10 Diagrama de Bode: Ganancia Sea una FT G(jw), la cual se puede factorizar en polos y ceros simples: G(jw) = K (jw-z1) (jw-z2) … (jw-zm) (jw-p1) (jw-p2) (jw-p3) … (jw-pn) Luego, la función de ganancia frecuencial en escala lineal es: M(w) = = K w2+z12 w2+z22 … w2+zm2 w2+p12 w2+p22 … w2+pn2 |K| |jw-z1| |jw-z2| … |jw –zm| |jw-p1| |jw-p2| |jw-p3) … |jw –pn| y en escala logarítmica en dB: K (jw-z1) (jw-z2) … (jw-zm) (jw-p1) (jw-p2) (jw-p3) … (jw-pn) M() (dB) =20 log10 = 20 log10 |K| +  log  20 log10 m i=1 n w2+zi2 w2+pi2 En escala logarítmica en w, se reemplaza w por log10(w) en M.

11 Diagrama de Bode Fase q (w) = i=1 - i=1 q (w) = i=1  - i=1 11
q (w) = tan-1 Im(G(jw)) Re(G(jw)) = G(jw) Sabemos que la fase q de G(jw) es: Sea la misma FT G(jw) del caso anterior: G(w) = K (jw-z1) (jw-z2) … (jw-zm) (jw-p1) (jw-p2) (jw-p3) … (jw-pn) Luego, si K>0: q (w) = i= i=1 m n (jw - zi ) (jw - pi ) o también (si K>0): q (w) = i=1  i=1 m n tan-1(w /-zi ) tan-1 (w /-pi ) Para trazar q(w) en escala logarítmica de w, se reemplaza w por log10 (w) en q.

12 Diagrama de Bode f f f f f f 12 Reglas para calcular la Fase, ejemplos
Ejemplo 1) Si consideramos el factor (jw –zi ) y zi =-2, entonces vale: s jw f 2 w Cero estable (jw +2) = tan-1 (w/2) Si w varía de 0 a : f 0o w 0+ Re 2 Im 0+ f 90o w + Re 2 Im + 1 (jw -pi) Ejemplo 2) Si consideramos el factor y pi=-3, entonces vale: (jw +3) = -tan-1 (w/3) - Polo estable Si w varía de 0 a : s jw f 3 w f 0o w 0+ Re 3 Im 0 - f -90o w + Re 3 Im - Ejemplo 3) Si consideramos el factor (jw -zi) y zi=4, entonces vale: jw s f -4 w Cero inestable (jw - 4) = tan-1 (w /-4) Si w varía de 0 a : f +180o w 0+ Re -4 Im 0+ f +90o w + Re -4 Im +

13 Diagrama de Bode f f f f f f 13
Reglas para calcular la Fase (continuación de ejemplos) 1 (jw -pi) Ejemplo 4) Si contemplamos el factor y pi=2, entonces vale: jw s f -2 w Polo inestable (jw -2) = -tan-1 (w /-2) Si w varía de 0 a : f -180o w 0+ Re -2 Im 0+ f -90o w + Re -2 Im + Ejemplo 5) Si contemplamos el factor (jw), entonces vale: s jw w Derivador (jw) = tan-1 (w/0) Si w varía de 0 a : f 90o w 0+ Re Im f 90o w + Re Im + 1 jw Ejemplo 6) Si contemplamos el factor , entonces vale: s jw w (jw) = -tan-1 (w/0) - Integrador Si w varía de 0 a : f -90o w 0+ Re Im f -90o w + Re Im -

14 14 Diagrama de Bode Reglas para calcular la Fase (continuación de ejemplos) Ejemplo 7) Analicemos una constante real positiva c, entonces vale: s jw f c w Ganancia positiva c = tan-1 (0 / c) Si w varía de 0 a : f 0o w 0+ Re c Im f 0o w + Re c Im Ejemplo 8) Analicemos una constante real negativa -c, entonces vale: Ganancia negativa -c = tan -1 (0 /-c) Si w varía de 0 a : f 180o jw s f -c w w 0+ Re -c Im f 180o w + Re -c Im

15 Módulo y Fase: 2 polos complejos conjugados
15 Módulo y Fase: 2 polos complejos conjugados Analicemos una planta sub-amortiguada de segundo orden: Módulo:  =wn  -20 log (2) Fase: jw s wn2 f- 2wn2

16 Lecturas sobre el Diagrama de Bode
16 Lecturas sobre el Diagrama de Bode G (s)= 1 s2+s+1 Sea la planta: y su diagrama de Bode. Si se tiene una entrada: u(t)=3sen(10t), cuál es la salida? -80 -60 -40 -20 20 10 -2 -1 1 2 -180o -135o -90o -45o 0o Ganancia (dB) Fase (Grados) G(10) =10 -40dB/20 = 0.01 para w=10 rad/s =wn y(t)=10 -40dB/20 3 sen(10 t -174°) =0.03 sen(10t -  174°/180° rad) = 0.03 sen(10t rad) f (10)=-174o =wn /wn

17 Diagramas de Bode 17 Caso Particular: Igual magnitud, distinta fase
Sean las funciones de transferencia: G0, G1, G2 y G3 G0(s)= 6s+3 (s+1) (s+3) G1(s)= 6s-3 (s+1) (s+3) FM FNM G2(s)= -(6s+3) (s+1) (s+3) G3(s)= -(6s-3) (s+1) (s+3) FM + K<0 FNM + K<0 y sus Funciones de Transferencia Frecuencial son: G0(jw)= 3+6jw (1+jw) (3+jw) G1(jw)= -3+6jw (1+jw) (3+jw) G2(jw)= -(3+6jw) (1+jw) (3+jw) G3(jw)= -(-3+6jw) (1+jw) (3+jw)

18 Diagramas de Bode 18 Ganancia en el caso particular:
Igual magnitud, distinta fase Las ganancias M de: G0, G1, G2 y G3 son: M0(w)= 32+62w2 (1+w2) (32+w2) G0(jw)= 3+6jw (1+jw) (3+jw) FM M1(w)= 32+62w2 (1+w2) (32+w2) G1(jw)= -3+6jw (1+jw) (3+jw) FNM G2(jw)= -(3+6jw) (1+jw) (3+jw) M2(w)= 32+62w2 (1+w2) (32+w2) FM + K<0 M3(w)= 32+62w2 (1+w2) (32+w2) G3(jw)= -(-3+6jw) (1+jw) (3+jw) FNM + K<0

19 Diagramas de Bode 19 f0 (w) = tan-1 f1 (w) = tan-1 f2 (w) =180 + tan-1
Fase en el caso particular: Igual magnitud, distinta fase Y sus fases son: G0(jw)= 3+6jw (1+jw) (3+jw) FM f0 (w) = tan-1 6w 3 - tan-1 w 1 G1(jw)= -3+6jw (1+jw) (3+jw) FNM f1 (w) = tan-1 6w -3 - tan-1 w 1 3 G2(jw)= -(3+6jw) (1+jw) (3+jw) FM + K<0 f2 (w) =180 + tan-1 6w 3 - tan-1 w 1 G3(jw)= -(-3+6jw) (1+jw) (3+jw) FNM + K<0 f3 (w) =180 + tan-1 6w -3 - tan-1 w 1 3

20 Diagramas de Bode 20 Caso Particular: G0(s)= 6s+3 (s+1) (s+3) G1(s)=
Igual magnitud, distinta fase G2(s)= -(6s+3) (s+1) (s+3) G3(s)= -(6s-3) (s+1) (s+3) 10 -2 -1 1 2 -90o 0o 90o 180o 270o 360o -25 -20 -15 -10 5 Ganancia (dB) Fase (Grados) FM FNM FM + K<0 FNM + K<0 FNM + K<0 FM + K<0 FNM FM w

21 Diagramas de Bode 21 Caso Particular: Igual magnitud, distinta fase
Las 4 funciones de transferencia anteriores no son las únicas de esta clase particular. También se encuentran en esta clase: G4(jw)= 3+6jw (-1+jw) (3+jw) Un polo inestable G5(jw)= -3+6jw (-1+jw) (3+jw) Un polo y un cero inestables G6(jw)= -(3+6jw) (-1+jw) (3+jw) Un polo inestable y ganancia negativa G7(jw)= -(-3+6jw) (-1+jw) (3+jw) Un polo y un cero inestables y ganancia negativa Ejercicio: realizar los Diagramas de Bode para estas 4 nuevas FTs

22 Especificaciones en la Frecuencia
22 Especificaciones en la Frecuencia Sea un sistema dinámico, se llama ancho de banda al intervalo de 0 a wb, en la cual la atenuación de la salida representa (o sea -3 dB) Mr , wn y wb son especificaciones en la frecuencia, análogas a Mp, tr y ts . Amplitud (dB) z = 0.01 -80 -60 -40 -20 20 40 10 -2 1 2 -1 En un sistema subamortiguado de 2do orden vale: 1 2z Mr = max G = (escala lineal)  Pico de resonancia Mr Mr = max G =-20 log10(2z) (dB)   Mr -3 dB Ancho de banda wb Mr= /G(wn)/-/G(0) /=(1/2z)-1 (escala lineal) Mr= -20log10[2z]-0dB=-20log10[2z] = Mr (dB) wb w/wn

23 Reglas para construir un Diagrama de Bode
23 Reglas para construir un Diagrama de Bode Sea el sistema dinámico general expresado en forma factorizada: G(jw)= (jw) (jwtj+1)… [ (s/w2)2+2z2(s/w2)+1] K (jwti+1)… [(s/w1)2+2z1(s/w1)+1] = M(w) q(w) G(jw)= K r1 ejy1 r2 ejy2 … rm ejym q1 ejf1 q2 ejf2 … qn ejfn = K r1 r2 … rm q1 q2 … qn e j(y1+…+ym - f1…-fn) q(w) M(w) La ganancia en escala logarítmica es: log10 G(w) = log10 K + log10 r1 + log10 r2 + …+ log10 rm - - log10 q1 - log10 q2 - … - log10 qn o en decibeles dB: 20 log10 G(w) = 20 log10 K + 20 log10 r log10 r2 + …+ 20 log10 rm - - 20 log10 q log10 q2 - … - 20 log10 qn

24 Construcción de un Diagrama de Bode
24 Construcción de un Diagrama de Bode En cualquier Función de Transferencia Frecuencial en estado permanente se pueden distinguir 3 clases de factores ri: (jw) 1 Derivador o integrador puro (jwtj+1) 1 Cero o polo real [(jw/wn)2+2z(jw/wn)+1] 1 Cero o polo complejo conjugado El signo “+” en el exponente corresponde a un factor del numerador y el signo “-” a un factor del denominador. Cada uno de estos factores contribuye “sumando” una función ganancia (en escala logarítmica o dB) a lo largo de la frecuencia w, es decir: 20 log10 G(w) = = 20 log10 | jw| + 20 log10 | jwti+1| + …+ 20 log10 |(jw/wn)2+2zi(w/wni )+1| - - 20 log10 | jw| - 20 log10 | jwtj+1| - …- 20 log10 | (jw/wnj)2+2zj(s/wnj )+1|

25 Ganancia de constantes, integradores y derivadores
25 Ganancia de constantes, integradores y derivadores 20 log10 |( jw) n| = 20 log10 w n = 20 | n| log10 w con n=0, n<0 y n>0 Ganancia de constantes, integradores y derivadores 20 log10 |( jw) n| = 20 log10 w n = 20 | n| log10 w con n=0, n<0 y n>0 10 -2 -1 1 2 100 0.1 0.01 40 dB 20 dB 0 dB -20 dB -40 dB w 10 -2 -1 1 2 100 0.1 0.01 40 dB 20 dB 0 dB -20 dB -40 dB w G´(0)>0 dB -40 dB/dec -60 dB/dec -80 dB/dec 80 dB/dec 60 dB/dec 40 dB/dec -20 dB/dec 20 dB/dec DERIVADORES INTEGRADORES 20 dB w =10 0 dB/dec G´(0)=0 dB n=0 GANANCIA CONSTANTE K=1 w =10 Para una planta G con un intergrador simple, la primera asíntota de G(jω) posee una pendiente de -20 dB/dec se ubica con el punto de ganancia para ω=1 de la siguiente manera. Se halla G´(jw)=G(jω) con ω evaluada en ω~0 y luego se ubica el punto de la recta de valor G´(0) en ω=1. Lo mismo vale si son dos, tres o múltiples integradores. -20 dB -40 dB n=1 n=-1 ~ n=2 n=-2 G´(0)<0 dB n=4 n=-4 n=3 n=-3 ω=1

26 Ganancia en caso de ceros y polos múltiples
26 Ganancia en caso de ceros y polos múltiples ASÍNTOTAS 20 log10 | ( jwt+1) n| =  20 | n| log10 1+w 2t 2 con n<0 y n>0 10 -2 -1 1 2 100 0.1 0.01 40 dB 20 dB 0 dB -20 dB -40 dB w n=1 80 dB/dec 60 dB/dec 40 dB/dec n=2 20 dB/dec n=3 n=4 wc= 1/t Frecuencia de corte (cutoff frequency) n=-4 n=-3 n=-2 -20 dB/dec -80 dB/dec -60 dB/dec -40 dB/dec n=-1

27 Máximo error entre la ganancia y su asíntota
27 Máximo error entre la ganancia y su asíntota Las distancias entre las curvas y sus asíntotas es máxima en la frecuencia de corte. Estos errores son 3 dB en n=-1 (n=1), 6 dB en n=-2 (n=2), 9 dB en n=-3 (n=3) y 12 dB en n=-4 (n=4). 10 -1 1 2 3 20 dB 0 dB -20 dB -40 dB -60 dB w Frecuencia de corte en caso de polos múltiples wc= 1/t -3 -6 -9 -12 dB -3 dB M(1/) cambia de 1 a 0.707 -6 dB M(1/) cambia de 1 a 0.5 -20 dB/dec -9 dB M(1/) cambia de 1 a 0.35 -60 dB/dec -40 dB/dec -12 dB M(1/) cambia de 1 a 0.25 -80 dB/dec w= 1/t

28 Ganancia para un sistema sub-amortiguado
28 Ganancia para un sistema sub-amortiguado Sea el sistema: G(jw) = 20 log10 [1 / ((jw/wn)2+2z(jw/wn)+1)] con z variable -50 50 100 150 -100 Amplitud (dB) 10 -2 -1 1 2 /n z = 0 (polos imaginarios conjugados) s j  x x Mr(n)= x x x Pico de resonancia Mr(n)=1/2 - 1 Mr(n)dB = -20 log10(2) -3 dB =1 (polos reales múltiples) -40 dB/dec El ancho de banda para los diferentes sistemas sub-amortiguados crece inversamente con z . El límite superior del intervalo de ancho de banda es finito.

29 Ganancia en polos complejos conjugados múltiples
29 Ganancia en polos complejos conjugados múltiples La frecuencia de corte se encuentra en w=wn, es decir en el pico de resonancia. G(jw) = 20 log10 | [(jw/wn)2+2z(jw/wn)+1] n| con n=0, n<0 y n>0 La distancia de la curva a su asíntota depende de la relación de amortiguación z. 10 -1 1 2 3 320 dB 160 dB 0 dB -160 dB -320 dB 108 104 106 -80 dB -240 dB 80 dB 240 dB w 10-4 10-6 10-8 100 Para z=cte y wn=cte Dado que: Mr=(1/2z )n, el pico de resonancia se acentúa con la multiplicidad n Frecuencia de corte wc= wn -40 dB/dec n=-2 -80 dB/dec n=-4 -120 dB/dec -160 dB/dec n=-6 n=-8

30 Diagrama de Fase para Constantes, Integradores y Derivadores
30 Diagrama de Fase para Constantes, Integradores y Derivadores q = n 90o (jwtj) n G(jw) = con n=0, n<0 y n>0 10 -360 -180 180 360 1 2x10 5x10 90 -90 -270 270 w Fase en (o) n=4 n=3 Constante negativa y doble derivador n=2 Derivador n=1 Constante positiva n=0 Integrador n=-1 Doble integrador n=-2 n=-3 n=-4

31 wt Fase de polos y ceros múltiples estables 31 q = n tan-1 (jwtj+1)
G(jw)= con n<0 (polos) y n>0 (ceros) Fase en (o) 10 -2 -1 1 2 wt -360 -270 -180 -90 90 180 360 Punto de inflexión n=4 n=3 n=2 n=1 n=-1 n=-2 d 2q /dw2 = 0 Para w =1/t n=-3 n=-4

32 Veamos este punto en detalle.
32 Fase de Ceros y polos complejos simples y múltiples q = - n tan-1 wn2-w 2 2z w wn ( j2z wnw) n G(jw)= wn2-w 2 con n<0 y n>0 Fase en (o) 10 -2 -1 1 2 w/wn -720 -540 -360 -180 180 360 540 720 Punto de inflexión n=4  =cte wn=cte n=3 n=2 n=1 n=-1 n=-2 d 2q /dw2 = 0 para w =wn n=-3 La pregunta ahora es si existe una forma de aproximar la fase a mano alzada con asíntotas como es el caso de las curvas de ganancia? Veamos este punto en detalle. n=-4

33 Aproximación de fase en un punto de inflexión (polo real)
33 Aproximación de fase en un punto de inflexión (polo real) La expresión de la fase para un sistema de polo real es: (jwtj+1) -1 G(jw)= q = - tan-1 ( w) con wc = 1/ y = - 45º - m log10 (w) Puede hallarse la pendiente exacta en el punto de inflexión de la curva de fase dq /d = - 1+22 y ω ω1 ω2 dq / d = wc =1/ -  /2 10 1 2 -90o -45o 0o -1 -2 3 Buscamos una recta que pase por el punto de infleción y sea tangente a q y = - 45º - m log10 (w) dy/d = - m / [w ln(10)] - /2 = - m / [w0 ln(10)]= - m  / ln(10) m= ln(10) /2 y= - 45º - (ln(10) /2) [log10 (w)+log10 ()] y= 0º w1= 10-[(/2)/ln(10)] - log10() Puntos de corte w Para y= -90º w2= 10 [(/2)/ln(10)] - log10() Sin embargo, un método que compense errores de la aproximación respecto a la curva de fase es más simple y más preciso que el de la pendiente. Por ejemplo, si se procede definiendo dos frecuencias extremas, se llega a: Una década a la izquierda de wc 1 = 0.1wc Una década a la derecha de wc 2 = 10 wc

34 Pendiente de fase en el punto de inflexión (polo real)
34 Pendiente de fase en el punto de inflexión (polo real) G(j) = 1| ( jwt+1) q = - tan-1 (wt) w Planta: 10 1 2 -90o -45o 0o -1 -2 Método de la línea tangente Método de las décadas 1/t = 0.4 1/t = 0.1 1/t = 0.8

35 Pendiente de fase en un punto de inflexión en polos cc
35 Pendiente de fase en un punto de inflexión en polos cc La expresión de la fase para un sistema de polos complejos conjugados es: 1-x 2 2z x 1+ 2 dq/dx = - n (1-x 2)2 2z (1+ x2) q = - n tan-1 1-x 2 2z x dq/d = = dq/dx dx/d = dq/dx 1/n con x=w/wn y n=1,2,3,4… dq/d = x=w/wn =1 - n /n Evaluada en la frecuencia de resonancia x=w/wn =1 y en escala lineal . Para trasladar el resultado a escala logarítmica y haciendo n=1, se define una recta: y = - 90º + m log10 (w/wn) dy /d = m / [w ln(10)] - 1 /n = m / [wn ln(10)] m = - ln(10) /  y = - 90º - (1/ ) ln(10) log10 (w/wn) Finalmente la recta tangente es: la cual corta por arriba a 0o la recta tangente en: 1 = wn (1/5) y corta abajo a -180o en: 2= wn (5)

36 Pendiente de fase en el punto de inflexión (polos cc)
36 Pendiente de fase en el punto de inflexión (polos cc) Frecuencias de cruce de la recta tangente: 1 = wn (1/5) y 2= wn (5) 1/n 0o -160o -80o -60o -40o -20o -140o -120o -100o -180o 10-1 100 101 w/wn 2 /n

37 37 Método de compensación de errores de fase en el punto de inflexión (polos cc) Otro método compensa los errores de área: 1 = wn log10 ( 2/ ) y 2 = wn / log10 ( 2/ ) 1 0o -160o -80o -60o -40o -20o -140o -120o -100o -180o 10-1 100 101 w/wn 2

38 Diagramas de Bode en Sistema de Retardo Puro
38 Diagramas de Bode en Sistema de Retardo Puro KG=Ke-jTd Ganancia: /Ke-jTd/= K = 20 log10(K) db Fase: q = -wTd 60 40 La fase no se modifica con cambios de K 20 Magnitud (dB) K -20 -40 10 20 30 40 50 -360 -270 -180 -90 Frecuencia w (rad/s) Fase(grados) -0 -360 -270 -180 -90 q = -Td log10(w) (escala logarítmica) q = -wTd (escala lineal) Fase(grados) Td Td Td Td Sólo lo hace con Td w 10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 Frecuencia (rad/s)

39 Construcción de un DB para un FT
39 Construcción de un DB para un FT u(t)=A sen(wt) y(t)=A M sen(w t+) G1(jw) G2(jw) G3(jw) M(w) = M1(w) M2(w) M3(w) M(w) (dB) = M1(w) (dB) + M2(w) (dB) + M3(w) (dB) M(w) (log10) = M1(w) (log10) + M2(w) (log10) + M3(w) (log10) q(w) (o) = q1(w) (o) + q2(w) (o) + q3(w) (o) Si elegimos las escalas logarítmicas o dB, es muy fácil construir el DB tanto de amplitud y de fase. Tanto en ganancia como en fase, las asíntotas de factores elementales (polo o cero o par complejo conjugado) se suman.

40 Características de la Ganancia en dB
40 Características de la Ganancia en dB El grado relativo (n-m) determina la asíntota para frecuencias altas así: -20 (n-m) dB/dec. Ejemplo 1) Para n=3 y m=1, la curva de ganancia del dB cae con una velocidad igual a -40 dB/dec asintóticamente para w. Ejemplo 2) Un PID tiene n-m=-1 lo que significa que la curva de ganancia crece con una velocidad igual a +20 dB/dec asintóticamente para w. Si el sistema tiene un polo en el origen, la curva de ganancia comienza en w=0 desde  dB y decrece con una velocidad igual a -20 dB/dec para w creciente. Si el sistema tiene un cero en el origen, la curva de ganancia comienza en w=0 desde - dB y crece con una velocidad igual a +20 dB/dec para w creciente. La curva de ganancia se aleja de las asíntotas alrededor de la frecuen- cia de corte y tanto más cuanto más alto es el grado de multiplicidad, o cuando las frecuencias de corte se acercan (menos de una década)

41 Características de la Fase en un DB
41 Características de la Fase en un DB La contribución de fase de una ganancia constante positiva es de 0º La contribución de fase de una ganancia constante negativa es de 180º La contribución de fase de un integrador en la frecuencia es constante e Igual a -90º La contribución de fase de un derivador en la frecuencia es constante e Igual a +90º La contribución de fase en la frecuencia de un polo estable va desde 0o a -90º La contribución de fase en la frecuencia de un cero estable va desde 0o a +90º La contribución de fase en la frecuencia de un polo inestable va desde -180 a -90º La contribución de fase en la frecuencia de un cero inestable va desde +180 a +90º Si KDG se factoriza en polos y ceros, las fases de cada factor se suman empleando adecuadamente una combinación de los anteriores casos.

42 Ejemplo de Diagramas de Bode
42 Ejemplo de Diagramas de Bode Sea: G(s)= 2000(s+0.5) s(s+10)(s+50) s(s/10+1)(s/50+1) = 2(s/0.5+1) 2(jw/0.5+1) jw(jw/10+1)(jw/50+1) G(jw)= 10 -2 -1 1 2 3 4 -100 -60 -80 40 20 -20 -40 dB Si w es muy pequeña vale: 2(jw/0.5+1) jw(jw/10+1)(jw/50+1) G(jw)=  2 jw y para w =1 vale: |G(1)|=2=6 dB pendiente 0 -20 dB/dec 0 dB/dec pendiente -1 pendiente -1 6 ? -20 dB/dec -40 dB/dec Empezamos por las frecuencias bajas, es decir por el integrador pendiente -2 0.5 10 50 w

43 Sigue ejemplo de Diagrama de Bode
43 Sigue ejemplo de Diagrama de Bode Si usamos las fases de cada elemento en su valor límite de altas frecuencias tenemos una primera aproximación 2(jw/0.5+1) Finalmente sumamos las aproximaciones e interpolamos a mano alzada Luego mejoramos el diagrama con aproximaciones de pendientes y asíntotas cada una aislada de las demás G(jw)= jw(jw/10+1)(jw/50+1) -180 -135 -90 -45 10 -2 -1 1 2 3 4 Fase en grados Cero dominante: Lleva de -90 a 0° Primer polo: Lleva de 0° a -90° Integrador: comienza en -90° Segundo polo: Lleva de -90° a -180° 0.5 10 50 w

44 Otro ejemplo de Diagramas de Bode
44 Otro ejemplo de Diagramas de Bode Sea: KG(s)= 2.5 s(s2/4+2(0.1)s/2+1) 2.5 jw ((jw)2/4+2(0.1)(jw)/2+1) G(jw)= Para w muy pequeñas G(jw)=2.5/jw y por lo tanto para w=1 se tiene | G|=2.5=8dB -100 -80 -60 -40 -20 20 40 10 -1 1 2 -270 -225 -180 -135 -90 Fase en grados Ganancia en dB 14dB Mr(n)dB = -20 log10(2)=14dB 1 -20 dB/dec pendiente= -1 -60 dB/dec pendiente= -3 La frecuencia natural es 2 rad/s 2 Integrador Comienza en -90° Método de compensación de errores Método de la pendiente 1=wn(1/5) =2 (1/5)0.1=1.70 2=wn(5) =2 (5)0.1=2.34 1=wn log10 ( 2/ ) = 1.30 2=wn / log10 ( 2/ ) = 3.07 Polo complejo Lleva de -90° a -270° wn=2 w

45 Ejemplo: Satélite flexible (con fricción)
45 Ejemplo: Satélite flexible (con fricción) 1 22 0.5wn1 wn2 Sea: KG(s)= 0.01(s2+0.01s+1) s2(s2/4+0.02s/2+1) 0.01 ((jw)2+0.01(jw) +1) (jw)2 ((jw)2/4+0.02(jw)/2+1) G(jw)= Para w muy pequeñas G(jw)=0.01/(jw)2 y por lo tanto para w=1 se tiene | G|=0.01 Mr =1/21=50 y Mr =1/22=100. En la fase no se calculan 1 y 2 pues 1 y 2 son muy chicos. -80 -60 -40 -20 20 10 -1 1 -180 -135 -90 -45 Fase en grados Ganancia en dB -40 dB/dec n=-2 0 dB/dec n=0 Mr = 20 log10 (1/21)= dB -40 dB/dec n=-2 Mr =-20 log10 (1/22)=-40 dB El polo de 2do orden atrasa la fase hacia -180° El cero dominante de 2do orden adelanta la fase hacia 0° Comienza en -180° 2 1 w

46 Ejemplo de Sistemas de Fase Mínima y No-Mínima
46 Ejemplo de Sistemas de Fase Mínima y No-Mínima G1(s)= 100 (s+1) s+10 y G2(s)= 100 (s-1) s+10 10 (jw +1) jw /10 +1 G1(jw)= 10 (jw -1) jw /10 +1 y G2(jw)= 4 8 12 16 20 10 -1 1 2 3 45 90 135 180 Fase en grados Ganancia en dB 1 10 0 dB/dec n=0 +20 dB/dec n=1 Comienza en 0 dB=1 con 0 dB/dec n=0 El cero inestable arranca la fase desde 180° y la dirige a 90º El cero dominante adelanta la fase hacia 90° El polo simple termina de dirigir la fase desde 90º hacia 0° Comienza fase en 0° El polo simple atrasa la fase hacia 0° w

47 Ejemplo de polos estables e inestables
47 Ejemplo de polos estables e inestables G (s)= 1000 (s+10)(s-10) (jw /10 +1) (jw /10 -1) 10 G (jw)= El polo estable y el polo inestable tienen la MISMA frecuencia de cruce -30 -20 -10 10 20 -2 -1 1 2 3 -180 -90 Fase en grados Ganancia en dB 0 dB/dec n=0 101 En la ganancia, ambos polos simétricos actúan como si fuesen 2 polos múltiples -40 dB/dec n=-2 La combinación de un polo estable y otro inestable en oposición simétrica produce la misma fase de dos integradores -180º w

48 Aplicaciones de los Diagrama de Bode a los Sistemas de Control
48 Aplicaciones de los Diagrama de Bode a los Sistemas de Control

49 49 Aplicación de DB: Identificación de un Sistema Dinámico en dominio frecuencial Determinar el modelo (estructura y los parámetros) del sistema dinámico Sistema Dinámico LTI u (t) y (t) Entrada senoidal Salida en estado estacionario (1 s+1) (2 s+1) G(s)= K u, y 1 ruido de alta frecuencia del sensor t M() 0db  -20db -40db 20db -20dB/dec K=M(0) () 0o -90o -180o -270o  1/2 1/1 -40dB/dec -60db

50 Determinar las propiedades de estado estacionario
50 Otra aplicación de DB: Determinar las propiedades de estado estacionario Recordar que un sistema dinámico es de tipo cero si: s 1 1+D(s)G(s) = 1+D(0)G(0) 1+Kp  0 y < (>- ) e () = lim ess= s 0 Para una entrada rampa, un sistema dinámico es de tipo uno si: e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) s2 = Kv  0 y < (>- ) ess= Para una entrada rampa, un sistema dinámico es de tipo dos si: s s 0 1 1+D(s)G(s) s3 = Ka  0 y < (>- ) e () = lim ess= En el dominio frecuencial, las definiciones se aplican en módulo. Por ejemplo, para determinar las constantes, se emplea: Kp = lim DG(jw), tipo 0 con Kp : cte de error de posición jw 0 Kv = lim w DG(jw), tipo 1 con Kv : cte de error de velocidad jw 0 Ka = lim w 2 DG(jw), tipo 2 con Ka : cte de error de aceleración jw 0

51 Cómputo de Kp en Sistemas de Tipo 0
51 Cómputo de Kp en Sistemas de Tipo 0 DG(s)= 10 (s+1)(s+10) (jw+1) (jw/10 +1) 1 DG(jw)= Kp = lim |DG(jw)| = 0 dB = 1 w ess = lim 1/ |1+DG(jw)|=1/(1+Kp)=0.5 w -100 -180 -80 -60 -40 -20 10 -2 -1 1 2 3 -135 -90 -45 Fase en grados Ganancia en dB -20 dB/dec n=-1 Comienza en 0 dB=1 con 0 dB/dec n=0 -40 dB/dec n=-2 Comienza fase en 0° El polo dominante atrasa fase hacia -90° El polo rápido atrasa la fase de -90° hacia -180° w

52 Cómputo de Kv en Sistemas de Tipo 1
52 Cómputo de Kv en Sistemas de Tipo 1 Primero se elige una frecuencia baja, por ejemplo w = 0.01 0 para luego leer la Ganancia de valor |G(0.01)| en dB, que es aproximadamente 60dB. G(s)= 10 s(s+1) G(jw)= 10 jw (jw+1) Se pasa a valor a escala lineal: 60 dB=1000 y finalmente: Kv = lim w | DG(jw)|  0.01 | DG(0.01)| w = 0.01*1000 =10 Fase en grados Ganancia en dB -40 -20 20 40 60 80 10 -2 -1 100 1 2 -180 -150 -120 -90 Comienza en  y baja con -20 dB/dec n=-1 60 Para  pequeña, |G(jw)|10/w. Para w=1, la asintota cruza 10=20 dB 1 -40 dB/dec n=-2 Comienza fase en -90° El integrador atrasa la fase de forma constante en -90° El polo simple atrasa la fase desde -90 hacia -180° w

53 Otra aplicación: Estabilidad marginal
53 Otra aplicación: Estabilidad marginal La estabilidad en Lugar de las Raíces para un sistema dinámico se refleja en el dominio frecuencial de la siguiente manera : Si para un K=K *>0, s satisface s = jw*, entonces resulta que: la condición de estabilidad en Lugar de las Raíces está dada por: K * L(jw* )= -1 y se cumple la CF: L(jw*) = 180° Ahora, si K<K*, se cumple que la relación de módulos K| L(jw*) | <1 y la la w para esa K es w<w* . Esto sugiere que el SC es estable para esa ganancia K y esa frecuencia w Por el contrario si K>K* (se cumple | K L(jw*)| >1) y la la w para esa K es w>w* . Esto sugiereque el SC es inestable para esa ganancia K y esa frecuencia w Claramente para K=K* y w=w* el SC es marginalmente estable.

54 Ejemplificación de Estabilidad marginal
54 Ejemplificación de Estabilidad marginal Sea el sistema de Control: KDG(s) = K s (s+1)2 Para K=K *=2 dos de las tres ramas del LR de L(s)=G cruzan el eje imaginario para w* =1 rad/s. Esta frecuencia, marca la estabilidad marginal al igual que K* marca la Ganancia Crítica en Lugar de las Raíces. Veamos esto en detalle.

55 Ejemplificación de Estabilidad marginal
55 Ejemplificación de Estabilidad marginal inestable K>K* >* x -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 -0.5 0.5 1 *=1 x estable K*=2 x K<K* <* 1+KDG(s) = s3+2s2+s+K x x x s3+2s2+s+K= K* ? ? s3+2s2+s+2= * ? ? s3 x j(*- * 3 )+(2 - 2* 2) = 0 s2 K x K*=2 s1 (2-K)/ x s0 K * = 1 rad/s 0<K<2

56 Estabilidad marginal (o neutra)
56 Estabilidad marginal (o neutra) El mismo ejemplo analizado en el dominio frecuencial KDG(s) = K s(s+1)2 -80 -40 40 80 10 -2 -1 1 2 -270 -225 -180 -135 -90 Fase en grados Ganancia en dB -120 K1=4 K=K*=2 K2=1 Recordar: K*|DG(jw*)|=1 (0dB) ME K<K*, <* y desfasaje menor a -180° estable inestable K>K*, >* y desfasaje mayor a -180° La fase no se modifica con los cambios de ganancia K *=1 w

57 Justificación teórica del criterio en DB
57 Justificación teórica del criterio en DB Observamos gráficamente que si la curva de ganancia corta a la recta de 0 dB con un desfasaje por debajo de la línea -180º, el sistema es inestable. Además, si la corta en 0 dB justo cuando la curva de fase es -180º, entonces es marginalmente estable. Finalmente, si la curva de ganancia corta a la recta 0 dB cuando el desfasaje esta por arriba de -180º, entonces el sistema es estable. Esto se justifica así: = (Ecuación Característica) K s(s+1)2 De: KDG(s) = Esto mismo trasladado a Diagrama de Bode se interpreta así: Curva de Ganancia para *: |K*| dB + |DG(*)| dB= 0 dB Curva de Fase para *: DG(*) = -180º Si K=K1>K* El sistema es INESTABLE y |K1| + |DG(*)|>0 dB Además existe 1 > * tal que: |K1| + |DG(1)| = 0 dB y DG(1) < -180º

58 Justificación teórica del criterio en DB
58 Justificación teórica del criterio en DB Por el contrario, si: K=K2<K* El sistema de control es ESTABLE Además |K2| + |DG(2)| = 0 dB 2<* DG(2) > -180º En caso de que la curva de ganancia corte al eje de 0 dB y el desfa- saje esté por arriba de -180º, esto es una evidencia de estabilidad. Puede darse el caso de que la curva de ganancia corte varias veces el eje de 0 dB. En este caso si todos se corresponden con una fase que esta por arriba de -180º, entonces el sistema es estable. Puede ser también que el sistema sea condicionalmente estable si una porción de fase está por arriba y otra por debajo de -180o. Cuando se diseña un controlador KD() se tratará de que KDG() cumpla este criterio de estabilidad en el dominio frecuencial. Nota importante: Si la fase no cruza los -180º é incluso está está por arriba de -180º, aún así el sistema puede ser inestable (Véase contraejemplo más adelante).

59 Ejemplos y Contraejemplos de Análisis de Estabilidad empleando
59 Ejemplos y Contraejemplos de Análisis de Estabilidad empleando Diagramas de Bode

60 Ejemplo 1 – Estabilidad 60 w
Sea un sistema tipo 1: G= 1/[s(s+1)(s+2)] realimentada proporcionalmente con K Diagrama de Bode de Ganancia en dB y Fase en º Lugar de la raíz -100 -50 50 100 dB -4 -2 2 4 -3 -1 1 K*=6 K>0 *=n=1.42 0 dB K<0 x Rango de frecuencias estable Rango de frecuencias inestable -150 10 -2 -1 1 2 -270 -225 -180 -135 -90 -45  º *=1.42 Estabilidad Marginal Existe una sola ganancia crítica en K*=6. -180 º Para K>K*, el SCLC es inestable Para K<K*, el SCLC es estable w

61 Movimiento de los polos
Ejemplo 2 – Estabilidad 61 (s2+0.1s+1.5) s (s+1) (s2+0.5s+1 Sea un sistema condicionalmente estable G(s)= que se realimenta con una ganancia K Diagrama de Bode de Ganancia en dB y Fase en º -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 Lugar de la raíz Análogamente, la curva de ganancia sube y baja entre los límites de K críticos, generando inestabilidad K2* =12.5 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 K =1 Movimiento de los polos del SCLC K1* =0.71 2*=1.22 x 1*=0.84 10 -2 -1 1 2 -270 -225 -180 -135 -90 -45 La fase siempre esta por debajo de -180º en el intervalo de ganancia: Para K=1 K (0.71, 12.5)  Según el Lugar de las raíces, el sistema tiene 2 ganancias críticas K1* =0.71 y K2* =12.5. En ese intervalo de ganancias, el sistema es inestable. En particular, K=1 genera un SCLC inestable. y el intervalo de frecuencia:  (0.84, 1.22)  2*=1.22 1*=0.84 w Según este patrón que se presenta en la Ganancia y la Fase en los cruces en 0dB y en -180º, respectivamente, el SCLC es inestable para ese intervalo de frecuencias críticas.

62 Contraejemplo 1 de Estabilidad
62 Sea el sistema inestable G(s) = 1.9 (s+0.5) / [(s+1) (s-1)] realimentado con una ganancia K -120 -80 -40 40 10 -2 -1 1 -180 -150 -90 D. Bode - Ganancia en dB -3 -2 -1 1 2 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 Lugar de la raíces K=0.5 D. Bode - Fase en grados KG/(1+KG) es inestable para K=0.5 w El SCLC es inestable para K=0.5. El Lugar de las Raíces lo registra correctamente, pero el DB no, pues concluye que, para cualquier K, el SCLC siempre es estable, lo cual es incorrecto. Además puede cortar a la línea 0 dB dos veces en lugar de una.

63 Contraejemplo 2 de Estabilidad
63 Contraejemplo 2 de Estabilidad Sea el sistema de fase no mínima G(s) = 10 (s-2) / [(s+1) (s+2)] que se realimenta con una ganancia K -60 -40 -20 40 10 -1 1 2 -90° 0° 90° 180° -3 -2 -1 1 2 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 Lugar de la raíces K=1 K*=0.1 D. Bode - Ganancia en dB K=1 KG/(1+KG) es Inestable para K>0.1 Bode indica estabilidad para cualquier K. Sin embargo el sistema es inestable para K>0.1 D. Bode - Fase en grados w

64 Contraejemplo 3 de Estabilidad
64 Contraejemplo 3 de Estabilidad Sea un sistema de retardo puro G(s) = e-sTd con Td=1 seg. que se realimenta con una ganancia K Lugar de la raíces -4 -2 2 4 Pade [2,2] Fase en ° Ganancia en dB -60 -40 -20 40 10 -1 1 2 -270° -180° -90° 0° K=2 K*=1 K<1 w =2p Bode es ambiguo respecto a la estabilidad. La ganancia corta infinitas veces el 0 dB si K=1, o nunca si K=1. Sin embargo el sistema es estable/inestable según K respecto a K*=1, en donde el sistema es ME w

65 Ejemplo 3 de Estabilidad
65 Ejemplo 3 de Estabilidad e-s s+1 Sea un sistema de primer orden con retardo puro G(s) = que se realimenta con una ganancia K -3 -2 -1 1 2 3 ) Lugar de la raíces Fase en ° Ganancia en dB -60 -40 -20 40 10 -1 1 2 -270° -180° -90° 0° K=8.5 K=K*=2.3 K=8.5 Pade(5,5) Este sistema de tipo cero, amerita una interpretación particular cuando K<0. En este caso, nunca se corta la línea 0dB y esto implicaría estabilidad. K*=2,3 w En cambio, en los sistemas de tipo mayor a cero, el corte del eje 0 dB se da siempre con cualquier ganancia por pequeña que sea.