ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Presentación del tema: "ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS"— Transcripción de la presentación:

1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
2/18/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PROBLEMA DE VALORES INICIALES

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3  Escriba aquí la ecuación.
2/18/2019 1−𝜆 𝑡 1 +𝜆 𝑡 2 , 1−𝜆 𝑦 1 +𝜆 𝑦 2

4 2/18/2019 𝑦 ′ 𝑡 =𝑓 𝑡,𝑦 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑦 𝑎 = 𝑦 0

5 𝑑𝑧 𝑑𝑡 =𝑓 𝑡,𝑧 +𝛿 𝑡 , 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑧 𝑎 =𝛼+ 𝜀 0 (1)
𝑦 ′ =1+𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑦 , ≤𝑡≤ 𝑦 0 =0 2/18/2019 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑓 𝑡,𝑦 , 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑦 𝑎 =𝛼 𝑑𝑧 𝑑𝑡 =𝑓 𝑡,𝑧 +𝛿 𝑡 , 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑧 𝑎 =𝛼+ 𝜀 (1)

6 𝑧 𝑡 −𝑦 𝑡 <𝑘𝜀 ∀𝑡∈ 𝑎,𝑏 2/18/2019

7 Mostrar que el problema de valores iniciales
Ejemplo: Mostrar que el problema de valores iniciales 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑦− 𝑡 2 +1, ≤𝑡≤ 𝑦 0 =0.5 Está bien planteado en el dominio 𝐷= 𝑡,𝑦 |0≤𝑡≤2, 𝑦∈𝑅 2/18/2019

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10 𝒚 𝒊 ≅𝒚 𝒕 𝒊 El método de Euler consiste en aproximar
𝒚 𝒊 ≅𝒚 𝒕 𝒊 Por lo tanto encontramos la ecuación de diferencias asociada al método de Euler: 𝒚 𝒊+𝟏 = 𝒚 𝒊 +𝒉𝒇 𝒕 𝒊 , 𝒚 𝒊 ∀𝒊=𝟎,⋯,𝑵−𝟏 𝒚 𝒂 = 𝒚 𝟎 2/18/2019

11 2/18/2019 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑦− 𝑡 2 +1, ≤𝑡≤ 𝑦 0 =0.5 ℎ=0.5 𝑓 𝑡,𝑦 =𝑦− 𝑡 2 +1

12 2/18/2019 𝑓 𝑡 𝑖 , 𝑤 𝑖 ≅ 𝑦 ′ 𝑡 𝑖 =𝑓 𝑡 𝑖 ,𝑦 𝑡 𝑖

13 Se ilustra el método de Euler con h=0.5 del problema bien planteado
2/18/2019 Se ilustra el método de Euler con h=0.5 del problema bien planteado 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑦− 𝑡 2 +1, ≤𝑡≤ 𝑦 0 =0.5 Cuya solución real es: 𝒚 𝒕 = 𝒕+𝟏 𝟐 −𝟎.𝟓 𝒆 𝒕

14 Si achicamos el paso, h=0.2 0btenemos:
𝒚 𝒊+𝟏 = 𝒚 𝒊 +𝒉 𝒚 𝒊 − 𝒕 𝒊 𝟐 +𝟏 = 𝒚 𝒊 +𝟎.𝟐 𝒚 𝒊 −𝟎.𝟎𝟒 𝒊 𝟐 +𝟏 =𝟏.𝟐 𝒚 𝒊 −𝟎.𝟎𝟎𝟖 𝒊 𝟐 +𝟎.𝟐 Observamos que el error no decrece sino que aumenta con el número de iteraciones 2/18/2019 𝒕 𝒊 𝒘 𝒊 𝒚 𝒊 =𝒚 𝒕 𝒊 𝒚 𝒊 − 𝒘 𝒊 0.0 0.5 0.2 0.8 0.4 1.152 0.6 1.5504 1.0 1.2 1.4 3.7324 1.6 1.8 2.0 Siendo 𝑤 𝑖 la solución real

15 2/18/2019 Entonces la sucesión de los 𝑦 𝑖 generada por el método de Euler produce la acotación: 𝑦 𝑡 𝑖 − 𝑦 𝑖 ≤ ℎ𝑀 2𝐿 𝑒 𝐿 𝑡 𝑖 −𝑎 −1

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