PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS MATEMÁTICAS II.

Presentación del tema: "PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS MATEMÁTICAS II."— Transcripción de la presentación:

1 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS MATEMÁTICAS II

2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Una función f:A  se dice que es continua en un punto x = a A si:  >  > 0 tal que si |x – a| <   |f(x) – f(a)| <    Esto es equivalente a decir que f es continua en x = a si se verifican: Existe f(a) Existe limxaf(x) limxaf(x) = f(a)

3 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
CONTINUIDAD LATERAL El límite contemplado en la definición anterior existirá si existen los límites laterales y son iguales, es decir: limxa+ f(x) = ℓ+ limxa  f(x) = ℓ ℓ = ℓ+  limxa f(x) = ℓ  Así, diremos f es continua por la derecha en x = a si: limxa+ f(x) = f(a) Y que f es continua por la izquierda en x = a si: limxa f(x) = f(a) De esta manera, la condición para que f sea continua en x = a podemos re-escribirla así: Existe f(a) Existe limxa f(x) = ℓ Existe limxa+ f(x) = ℓ+ ℓ = ℓ+ = f(a)

4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Una función f se dice que es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de sus puntos. Una función f se dice que es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en cada uno de los puntos de (a, b) y además es continua por la derecha en x = a, y es continua por la izquierda en x = b.

5 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
3x – k si x < 3 x2 + k si x  3 Ejercicio: Encuentra los valores de k para que la función f(x) = sea continua en todo La función 3x – k es continua para cualquier valor de x puesto que es una función polinómica. Por tanto es continua en (, 3). La función x2 + k es continua para cualquier valor de x puesto que es una función polinómica. Por tanto es continua en (3, +). Queda estudiar la continuidad en x = 3, para lo cual vemos si se verifica la definición dada anteriormente: Existe f(3) = 32 + k = 9 + k Existe limx3 f(x) = 3·3 – k = 9 – k Existe limx3+ f(x) = 32 + k = 9 + k Si queremos que ℓ = ℓ+ = f(3), entonces 9 – k = 9 + k  k = 0 Así pues, para que la función dada sea continua en todo debe ser k = 0

6 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TIPOS DE DISCONTINUIDAD DISCONTINUIDAD EVITABLE La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en x = a si existe límxa f(x) = ℓ, pero ℓ  f(a) o no existe f(a) 2x2 – 4x si x  1 si x = 1 Ejercicio: Estudia la continuidad, en x = 1, de la función f(x) = Comprobamos las condiciones de continuidad en x = 1: Existe f(1) = 2 Existe limx1 f(x) = 2·12 – 4·1 = – 2 Pero f(1) = 2  – 2 Entonces f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = 1. En cambio, si fuese f(1) = – 2, la función sería continua en x = 1.

7 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TIPOS DE DISCONTINUIDAD DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO La función f(x) presenta una discontinuidad de salto finito en x = a si existen los límites laterales ℓ– y ℓ+, son finitos, pero son distintos. 2x2 – 4x si x ≤ 1 x si x > 1 Ejercicio: Estudia la continuidad, en x = 1, de la función f(x) = Comprobamos las condiciones de continuidad en x = 1: Existe f(1) = 2·12 – 4·1 = – 2 Existe limx1– f(x) = 2·12 – 4·1 = – 2 = ℓ– Existe limx1+ f(x) = 1 = ℓ+ Evidentemente, puesto que ℓ–  ℓ+, NO existe límx1f(x). Por tanto, f(x) tiene una DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO en x = 1 SALTO FINITO La diferencia ℓ+ – ℓ– = 1 – (–2) = 3 < +∞ se llama “salto” de la función en x = 1.

8 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TIPOS DE DISCONTINUIDAD DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO La función f(x) presenta una discontinuidad de salto infinito en x = a si existen los límites laterales ℓ– y ℓ+, y, al menos, uno de ellos es infinito. Ejercicio: Estudia la continuidad, en x = 1, de la función f(x) = Comprobamos las condiciones de continuidad en x = –1: 1. Existe f(–1) = ½ ·(–1) + 1 = ½ 2. Existe limx–1– f(x) = limx–1 = –∞ 3. Existe limx–1+ f(x) = limx–1( ½ x + 1) = ½ Evidentemente, puesto que ℓ–  ℓ+, NO existe límx–1f(x). Por tanto, f(x) tiene una DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO en x = –1

9 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS Dadas las funciones f y g continuas en x = a se verifica que: La función (f + g)(x) = f(x) + g(x) es continua en x = a. La función (f – g)(x) = f(x) – g(x) es continua en x = a. La función (f · g)(x) = f(x) · g(x) es continua en x = a. La función (f / g)(x) = f(x) / g(x) es continua en x = a, si g(x)  0.

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

11 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Ejercicio: Estudia la continuidad de la función f(x) = f1(x) = x3 es una función polinómica, por tanto es continua en todo f2(x) = es una función irracional de índice par. Para que tenga sentido y sea continua, debe ser x + 2 – x2 ≥ 0. Resolvemos la ecuación x + 2 – x2 = 0  x2 – x – 2 = 0  x1 = –1 y x2 = 2. Observamos que en x + 2 – x2, el signo de x2 es negativo. Por tanto, x + 2 – x2 ≥ 0  x  [–1, 2]. Por otra parte, el denominador no debe anularse nunca. Así pues, el dominio de continuidad de la función f(x) es (–1, 2).

12 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES TEOREMA DEL SIGNO Si una función real f(x) es continua en x = a y f(a)  0, entonces existe un entorno de centro a en que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).

13 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES TEOREMA DE BOLZANO Si f(x) es una función real continua en un intervalo cerrado [a, b] y f(a)·f(b) < 0, entonces existe, al menos, un valor c  (a, b) tal que f(c) = 0. Ejemplos de situaciones en que no se cumplen las hipótesis del teorema:

14 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Ejercicio: Demuestra que la ecuación tiene al menos una solución y hállala con una aproximación a las décimas. Consideramos la función f(x) = Observamos que f(x) es continua en [0, +∞), y, por tanto en cualquier intervalo cerrado de la forma [0, b] Elegiremos b de manera que se cumplan las hipótesis del teorema de Bolzano. f(0) = 1 >0. Por tanto, elegiremos b de manera que f(b) < 0. Por ejempo b = 3. f(3) ≈ –0,59 (¡Ojo! Ángulo en radianes) El teorema de Bolzano, nos dice que hay un valor c tal que 0 < c < 3 y f(c) = 0. Ya tenemos localizada la solución pedida en el intervalo (0, 3). Ahora usaremos el método de bisección, que consiste en ir dividiendo en dos el intervalo hasta conseguir “encerrar” la solución en un intervalo de longitud adecuada; en nuestro caso, de longitud 0,1. Para evitar complicarnos aún con decimales, probaremos el intervalo (2, 3).

15 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Ejercicio: Demuestra que la ecuación tiene al menos una solución y hállala con una aproximación a las décimas. f(2) ≈ 0,495 >0. Así pues c (2, 3). Tomamos el valor medio entre 2 y 3, o sea, 2,5. f(2,5) ≈ 0,017 >0. Así pues c (2,5; 3). Tomamos el valor medio entre 2,5 y 3, o sea, 2,8 (redondeando a las décimas). f(2,8) ≈ –0,338 < 0. Así pues c (2,5; 2,8). f(2,6) ≈ –0,097 < 0. Así pues c (2,5; 2,6). f(2,55) ≈ –0,039 < 0. Así pues c (2,5; 2,55). Por tanto, la solución aproximada es 2,5. Gráficamente:

16 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS Sea f(x) es una función real continua en un intervalo cerrado [a, b]. Si M es un valor comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe, al menos, un valor c  (a, b) tal que f(c) = M.

17 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Ejercicio: Dada la función f(x) = a) Comprueba que es continua en el intervalo cerrado [0, 1]. b) Comprueba que existe un número real c para el que la función toma el valor ½ . a) f(x) es una función exponencial. Por tanto es continua en todo En particular, será continua en el intervalo cerrado [0, 1]  Se verifican las hipótesis del teorema de los valores intermedios: f(0) = f(1) = 1/e /e < ½ < 1 Así pues se verificará la tesis: c (0, 1)/ f(c) = ½  En este caso podemos comprobar la veracidad obteniendo el valor de c:

18 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Ejercicio: Dada la función f(x) = , ¿se puede asegurar que no existe ningún valor en el intervalo [–⅓, ½ ] en el que la función tome el valor 1? f(x) es una función racional cuyo denominador no se anula para ningún valor real. Por tanto es continua en todo Por otra parte, f(–⅓) = 9/10; f( ½ ) = 4/5. Como 1 no es un valor comprendido entre estos dos, no se verifica una hipótesis del teorema de los valores intermedios y, por tanto, no podemos concluir la tesis. Sin embargo, es fácil observar que f(0) = 1.

19 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Una función f(x) definida en un subconjunto A de números reales se dice que está acotada superiormente [inferiormente] en A, si existe un número real M que es mayor [menor] o igual que todos los valores que f toma en A. Al número M se le llama cota superior [inferior] de f. Una función se dice acotada en A, si lo es superior e inferiomente. La menor de las cotas superiores de una función f(x) en A se llama supremo de la función en A. Si, además, dicho supremo se alcanza para cierto valor de A, entonces se denomina máximo absoluto de f en A. La mayor de las cotas inferiore de una función f(x) en A se llama ínfimo de la función en A. Si, además, dicho ínfimo se alcanza para cierto valor de A, entonces se denomina mínimo absoluto de f en A.

20 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES TEOREMA DE WEIERSTRASS Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces está acotada en [a, b]. Como consecuencia, f(x) alcanza mínimo absoluto y máximo absoluto en dicho intervalo.

21 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Ejercicio: a) Estudia la acotación de la función f(x) = –x2 + 4x en todo su dominio. b) Estudia la acotación en [1, 4] e indica los valores, si es que existen, del supremo, ínfimo, máximo y mínimo. a) f(x) es una función polinómica. Por tanto es continua en todo En particular, será continua en cualquier intervalo cerrado [a, b]  Por tanto, por aplicación del teorema de Weierstrass, es una función acotada en cualquier intervalo [a, b]. No podemos garantizar la acotación en otro caso. Como es una función conocida, sabemos que su gráfica es una parábola con vértice en el punto (2, 4), y por consiguiente, no es acotada inferiormente y alcanza un máximo absoluto en dicho vértice. b) Como aplicación particular de lo dicho anteriormente, podemos afirmar que el valor máximo absoluto es f(2) = 4. El mínimo absoluto se alcanzará en uno de los extremos del intervalo: f(1) = f(4) = Por tanto, mínimo absoluto f(4) = 0

22 FIN DE PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS