ECUACIONES DIFERENCIALES PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA
2/16/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA

2 2/16/2019 Los valores dados: 𝑦 𝑎 = 𝑦 0 e 𝑦 𝑏 = 𝑦 1 se llaman condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo I que contiene a y b, cuya gráfica contiene los puntos 𝒂, 𝒚 𝟎 y 𝒃, 𝒚 𝟏 . Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones pueden ser:

3 Donde 𝑦 0 e 𝑦 1 denotan constantes arbitrarias.
𝑦 ′ 𝑎 = 𝑦 𝑦 𝑏 = 𝑦 1 𝑦 𝑎 = 𝑦 𝑦 ′ 𝑏 = 𝑦 1 𝑦 ′ 𝑎 = 𝑦 𝑦 ′ 𝑏 = 𝑦 1 Donde 𝑦 0 e 𝑦 1 denotan constantes arbitrarias. Estos pares de condiciones son sólo casos particulares de las condiciones en la frontera generales: 𝛼 1 𝑦 𝑎 + 𝛽 1 𝑦 ′ 𝑎 = 𝛾 1 𝛼 2 𝑦 𝑏 + 𝛽 2 𝑦 ′ 𝑏 = 𝛾 2 2/16/2019

4 Deflexión de una Viga. Muchas estructuras se construyen usando vigas y estas vigas se flexionan o deforman bajo su propio peso o por la influencia de alguna fuerza externa. Esta deflexión 𝒚 𝒙 está gobernada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden relativamente simple. Supongamos que una viga tiene longitud L, que es homogénea y tiene secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en la viga, una curva que une los centroides de todas sus secciones transversales es una recta conocida con el nombre de eje de simetría. Como lo muestra la figura siguiente: 2/16/2019 Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría la viga experimenta una distorsión y la curva que une a los centroides se llama ahora curva de deflexión o curva elástica. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la deflexión y(x), medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En elasticidad se muestra que el momento de flexión M(x) en un punto x, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación: 𝒅 𝟐 𝑴 𝒅 𝒙 𝟐 =𝒘 𝒙 (𝟏)

5 Ahora, la curvatura está dada por: 𝜿= 𝒚 ´´ 𝟏+ 𝒚 ´ 𝟐 𝟑 𝟐
𝑴 𝒙 =𝑬𝑰𝜿 (𝟐) Donde E e I son constantes. E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga, I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga. El producto EI se llama rigidez flexional de la viga. Ahora, la curvatura está dada por: 𝜿= 𝒚 ´´ 𝟏+ 𝒚 ´ 𝟐 𝟑 𝟐 Cuando la deflexión y(x) es pequeña, la pendiente 𝒚 ´ ≅𝟎. Por lo tanto 𝟏+ 𝒚 ´ 𝟐 𝟑 𝟐 ≅𝟏. Luego 𝜿= 𝒚 ´´ Por lo tanto la ecuación (2) se convierte en: 𝑴 𝒙 =𝑬𝑰 𝒚 ´´ La derivada segunda resulta: 𝒅 𝟐 𝑴 𝒅 𝒙 𝟐 =𝑬𝑰 𝒅 𝟐 𝒅 𝒙 𝟐 𝒚 ´´ =𝑬𝑰 𝒅 𝟒 𝒚 𝒅 𝒙 𝟒 (𝟑) Luego reemplazando en la ecuación (1) obtenemos: 𝑬𝑰 𝒅 𝟒 𝒚 𝒅 𝒙 𝟒 =𝒘 𝒙 (𝟒) 2/16/2019

6 y(0)=0 porque no hay flexión y
Las condiciones de frontera con la ecuación (4) dependen de cómo estén apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo está empotrada o fija en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, un ala de avión y un balcón son ejemplos de tales vigas. Pero incluso árboles, rascacielos y monumentos actúan como vigas en voladizo, debido a que están empotrados en un extremo y sujetos a la fuerza de flexión del viento. 2/16/2019 Para una viga en voladizo la deflexión y(x) debe satisfacer las siguientes dos condiciones en el extremo fijo x=0: y(0)=0 porque no hay flexión y 𝒚 ´ 𝟎 =𝟎 porque la curva de deflexión es tangente al eje x (en otras palabras la pendiente de la curva de deflexión es cero en ese punto). En x=L las condiciones de extremo libre son: 𝒚 ´´ 𝑳 =𝟎 porque el momento de flexión es cero y 𝒚 ´´´ 𝑳 =𝟎 porque la fuerza de corte es cero. La función 𝑭 𝒙 = 𝒅𝑴 𝒅𝒙 =𝑬𝑰 𝒅 𝟑 𝒚 𝒅 𝒙 𝟑 se llama fuerza de corte. Si un extremo de la viga está apoyado o abisagrado entonces se debe tener 𝒚=𝟎 𝒚 𝒚 ´´ =𝟎 en ese extremo.

7 Ejemplo UNA VIGA EMPOTRADA
La siguiente tabla muestra un resumen de las condiciones en la frontera que se relacionan con la figura anterior: Ejemplo UNA VIGA EMPOTRADA Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Encontrar la deflexión de la viga si una carga constante 𝒘 𝟎 está uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, es decir, 𝒘 𝒙 = 𝒘 𝟎 , 𝟎<𝒙<𝑳. De la ecuación (4) sabemos que la deflexión y(x) satisface: 𝑬𝑰 𝒅 𝟒 𝒚 𝒅 𝒙 𝟒 = 𝒘 𝟎 Debido a que la viga está empotrada tanto en su extremo izquierdo (x=0) como en su extremo derecho (x=L), no hay deflexión vertical y es horizontal en esos puntos. Así las condiciones en la frontera son: y(0)= 𝒚 ´ (𝟎)=𝟎 y(L)= 𝒚 ´ (𝑳)=𝟎 Cuya solución analítica es: 𝒚 𝒙 = 𝒘 𝟎 𝟐𝟒𝑬𝑰 𝒙 𝟐 𝒙−𝑳 𝟐 Eligiendo 𝒘 𝟎 =𝟐𝟒𝑬𝑰 𝒚 𝑳=𝟏 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 curva: Extremos de la viga Condiciones de la Frontera Empotrados y= 𝒚 ´ =𝟎 Libres 𝒚 ´´ =𝟎 𝒚 ´´´ =𝟎 Apoyados o abisagrados y= 𝒚 ´´´ =𝟎 2/16/2019

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9 Aproximaciones por Diferencias Finitas.
Veremos un método para encontrar una solución aproximada de un problema con valores en la frontera de segundo orden de la forma: 𝑦 ´´ =𝑓 𝑥,𝑦, 𝑦 ´ 𝑦 𝑎 =𝛼, 𝑦 𝑏 =𝛽 A diferencia del procedimiento utilizado en los problemas con valores iniciales de segundo orden, en los métodos para los problemas con valores en la frontera de segundo orden no se requiere escribir la Ecuación diferencial de segundo orden como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Aproximaciones por Diferencias Finitas. El desarrollo en Serie de Taylor centrado en a resulta ser: 𝑦 𝑥 =𝑦 𝑎 + 𝑦 ´ 𝑎 𝑥−𝑎 + 𝑦 ´´ 𝑎 𝑥−𝑎 2 2! +⋯ Si tomamos h=x-a tenemos: 𝑦 𝑥 =𝑦 𝑎 + 𝑦 ´ 𝑎 ℎ+ 𝑦 ´´ 𝑎 ℎ 2 2! +⋯ Con lo cual podemos escribir: 𝑦 𝑥+ℎ =𝑦 𝑥 + 𝑦 ´ 𝑥 ℎ+ 𝑦 ´´ 𝑥 ℎ 2 2! +⋯ (1) 𝑦 𝑥−ℎ =𝑦 𝑥 − 𝑦 ´ 𝑥 ℎ+ 𝑦 ´´ 𝑥 ℎ 2 2! +⋯ (2) 2/16/2019

10 MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS
Si h es pequeña podemos omitir los términos superiores a ℎ 2 𝑦 obtener una aproximación para la derivada primera obteniendo: 𝑦 ´ 𝑥 ≅ 𝑦 𝑥+ℎ −𝑦 𝑥−ℎ 2ℎ Al sumar (1) y (2) obtenemos una aproximación para la segunda derivada: 𝑦 ´´ 𝑥 = 𝑦 𝑥+ℎ −2𝑦 𝑥 +𝑦 𝑥−ℎ ℎ 2 Este es el método de diferencias finitas que vimos para diferenciación numérica. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS Sea el problema de valores en la frontera de segundo orden: 𝑦 ´´ +𝑃 𝑥 𝑦 ´ +𝑄 𝑥 𝑦=𝑓 𝑥 𝑦 𝑎 =𝛼 𝑦 𝑏 =𝛽 Supongamos que 𝑎= 𝑥 0 < 𝑥 1 <⋯< 𝑥 𝑛 =𝑏 representa una partición del intervalo 𝑎,𝑏 ,𝑒s decir 𝑥 𝑖 =𝑎+𝑖ℎ 𝑐𝑜𝑛 𝑖=0,1,⋯ ,𝑛 𝑦 ℎ= 𝑏−𝑎 𝑛 2/16/2019

11 𝑥 1 =𝑎+ℎ, 𝑥 2 =𝑎+2ℎ, ⋯ , 𝑥 𝑛−1 =𝑎+ 𝑛−1 ℎ
Los puntos: 𝑥 1 =𝑎+ℎ, 𝑥 2 =𝑎+2ℎ, ⋯ , 𝑥 𝑛−1 =𝑎+ 𝑛−1 ℎ Se llaman puntos de malla interiores al intervalo 𝑎,𝑏 . Si hacemos: 𝑦 𝑖 =𝑦 𝑥 𝑖 , 𝑃 𝑖 =𝑃 𝑥 𝑖 , 𝑄 𝑖 =𝑄 𝑥 𝑖 𝑦 𝑓 𝑖 =𝑓 𝑥 𝑖 Reemplazando las aproximaciones de las derivadas primeras y segundas que obtuvimos antes resulta: 𝑦 𝑖+1 −2 𝑦 𝑖 + 𝑦 𝑖−1 ℎ 2 + 𝑃 𝑖 𝑦 𝑖+1 − 𝑦 𝑖−1 2ℎ + 𝑄 𝑖 𝑦 𝑖 = 𝑓 𝑖 Después de simplificar obtenemos: 1+ ℎ 2 𝑃 𝑖 𝑦 𝑖+1 + −2+ ℎ 2 𝑄 𝑖 𝑦 𝑖 + 1− ℎ 2 𝑃 𝑖 𝑦 𝑖−1 = ℎ 2 𝑓 𝑖 La última ecuación se conoce como ecuación de diferencias finitas, que permite aproximar la solución y(x) en los puntos de la malla 𝑥 1 <⋯< 𝑥 𝑛−1 . Si i toma los valores 1,2,…, n-1, se obtienen, n-1 ecuaciones con n-1 incógnitas. 2/16/2019

12 La ecuación en diferencias es: 𝑦 𝑖+1 −2.25 𝑦 𝑖 + 𝑦 𝑖−1 =0
2/16/2019 Para usar la ecuación anterior identificamos: P(x)=0, Q(x)=-4, f(x)=0 y h=1/4 La ecuación en diferencias es: 𝑦 𝑖+1 −2.25 𝑦 𝑖 + 𝑦 𝑖−1 =0 Ahora los puntos de la malla son: 𝑥 1 =0.25, 𝑥 2 =0.5, 𝑥 3 =0.75 Reemplazamos y obtenemos el siguiente sistema: 𝑦 2 −2.25 𝑦 1 + 𝑦 0 =0 𝑦 3 −2.25 𝑦 2 + 𝑦 1 =0 𝑦 4 −2.25 𝑦 3 + 𝑦 2 =0

13 La solución del sistema es: 𝑦 1 =0.7256, 𝑦 2 =1.6327 𝑦 𝑦 3 =2.9479
Con las condiciones en la frontera 𝑦 0 =0 𝑦 𝑦 4 =5 el sistema anterior se convierte en: 𝑦 2 −2.25 𝑦 1 =0 𝑦 3 −2.25 𝑦 2 + 𝑦 1 =0 −2.25 𝑦 3 + 𝑦 2 =−5 La solución del sistema es: 𝑦 1 =0.7256, 𝑦 2 = 𝑦 𝑦 3 =2.9479 Ejemplo: Resolver el siguiente problema de valores en la frontera, usando n=10 𝑦 " +3 𝑦 ′ +2𝑦=4 𝑥 2 𝑦 1 =1 𝑦 2 =6 Los puntos interiores son: 𝑥 1 =1.1, 𝑥 2 =1.2, 𝑥 3 =1.3, 𝑥 4 =1.4, 𝑥 5 =1.5, 𝑥 6 =1.6, 𝑥 7 =1.7, 𝑥 8 =1.8, 𝑥 9 =1.9 Usando las condiciones en la frontera obtenemos el sistema que tiene nueve ecuaciones y nueve incógnitas: 2/16/2019

14 1.15 𝑦 2 −1.98 𝑦 =− 𝑦 3 −1.98 𝑦 𝑦 1 = 𝑦 4 −1.98 𝑦 𝑦 2 = 𝑦 5 −1.98 𝑦 𝑦 3 = 𝑦 6 −1.98 𝑦 𝑦 4 = 𝑦 7 −1.98 𝑦 𝑦 5 = 𝑦 8 −1.98 𝑦 𝑦 6 = 𝑦 9 −1.98 𝑦 𝑦 7 = −1.98 𝑦 𝑦 8 =−6.7556 FIN 2/16/2019