DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Presentación del tema: "DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR"— Transcripción de la presentación:

1 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Dada un función de valor real 𝑓 𝑥 , continua y cuya primera derivada existe, 𝑑𝑓 𝑑𝑥 . Si derivamos la función obtenida como primera derivada, obtenemos la segunda derivada, denotada 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑥 2 . Si volvemos a derivar la encontrada, obtenemos la tercera derivada, denotada 𝑑 3 𝑓 𝑑 𝑥 3 MAESTRANTE: DNIEL SAENZ CONTRERAS

2 Si seguimos el proceso anterior al derivar la función encontrada, obtenemos las derribadas de orden superior

3 Dada la función f(x) Segunda derivada Tercera derivada 𝑑𝑓 𝑑𝑥
Derivamos 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑥 2 𝑑 3 𝑓 𝑑 𝑥 3 Segunda derivada Derivamos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑥 2 Dada la función f(x) Derivamos f(x) 𝑑𝑓 𝑑𝑥

4 Dada la función f(x) Segunda derivada Tercera derivada Cuarta derivada
Derivamos 𝑓 // (𝑥) 𝑓 /// (𝑥) Segunda derivada Derivamos 𝑓 / (𝑥) 𝑓 // (𝑥) Dada la función f(x) Derivamos f(x) 𝑓 / (𝑥) Cuarta derivada 𝑓 (4) (𝑥) 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓 /// (𝑥)

5 Hay que tener en presente que
𝑓 𝑛 𝑥 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑥 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓 (𝑛) 𝑥 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜 𝑓(𝑥)

6 Ejemplo UNO Determine la tercera derivada de la función
𝑓 𝑥 =2 𝑥 4 +5 𝑥 3 +2 𝑥 2 +3 Primera derivada, derivamos la función dada 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =8 𝑥 𝑥 2 +4𝑥 Segunda derivada, derivamos la primera derivada 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑥 2 =24 𝑥 2 +30𝑥+4 Tercera derivada, derivamos la segunda derivada 𝑑 3 𝑓 𝑑 𝑥 3 =48𝑥+30

7 Ejemplo DOS Determine la tercera derivada de la función
𝑓 𝑥 =2 𝑥 4 +2 𝑒 2𝑥 +1 Primera derivada, derivamos la función dada 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =8 𝑥 3 +4 𝑒 2𝑥 Segunda derivada, derivamos la primera derivada 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑥 2 =24 𝑥 2 +8 𝑒 2𝑥 Tercera derivada, derivamos la segunda derivada 𝑑 3 𝑓 𝑑 𝑥 3 =48𝑥+16 𝑒 2𝑥

8 Ejemplo TRES Determine la tercera derivada de la función
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 𝑒 2𝑥 +1 Primera derivada 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =𝟒 𝒙 𝟑 𝒆 𝟐𝒙 +2 𝑥 4 𝑒 2𝑥 Segunda derivada 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑥 2 =𝟏𝟐 𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒙 +𝟖 𝒙 𝟑 𝒆 𝟐𝒙 +8 𝑥 3 𝑒 2𝑥 +4 𝑥 4 𝑒 2𝑥

9 Agrupando términos semejantes
𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑥 2 =𝟏𝟐 𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒙 +𝟏𝟔 𝒙 𝟑 𝒆 𝟐𝒙 +4 𝑥 4 𝑒 2𝑥 Tercera derivada 𝑑 3 𝑓 𝑑 𝑥 3 =𝟐𝟒𝒙 𝒆 𝟐𝒙 +𝟐 𝟒𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒙 +𝟒𝟖 𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒙 +𝟑𝟐 𝒙 𝟑 𝒆 𝟐𝒙 +16 𝑥 3 𝑒 2𝑥 +8 𝑥 4 𝑒 2𝑥 𝑑 3 𝑓 𝑑 𝑥 3 =24𝑥 𝑒 2𝑥 +72 𝑥 2 𝑒 2𝑥 +48 𝑥 3 𝑒 2𝑥 +8 𝑥 4 𝑒 2𝑥

10 ACTIVIDAD 𝑓 𝑥 =2 𝑥 4 +5 𝑥 −2 +4𝑥 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠2𝑥+𝑆𝑒𝑛3𝑥
DETERMINE LAS TERCERAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 𝑓 𝑥 =2 𝑥 4 +5 𝑥 −2 +4𝑥 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠2𝑥+𝑆𝑒𝑛3𝑥 𝑓 𝑥 = 2𝑥+1 𝑥+3 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 𝑆𝑒𝑛2𝑥

11 Regla de la segunda derivada para máximos y mínimos
Sea 𝑓(𝑥) una función continua y derivable, la cual tiene definida su segunda derivada. Para clasificar los valores extremos de la función, procedemos de la siguiente manera. Buscamos los puntos críticos 𝑥 0 ,𝑓 𝑥 0 Calculamos la segunda derivada de la función Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos Clasificamos los valores extremos de acuerdo a laos siguientes criterios

12 Si la segunda derivada de la función evaluada en un punto critico 𝑥 0 es:
Mayor que cero, el punto s un mínimo 𝒇 // 𝒙 𝟎 >𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 Menor que cero, el punto es un máximo 𝒇 // 𝒙 𝟎 <𝟎 , 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 Igual a cero, el punto es de inflexión. 𝒇 // 𝒙 𝟎 =𝟎 , 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏

13 𝑓 // 𝑥 0 <0 𝑓 // 𝑥 0 =0 𝑓 // 𝑥 0 =0 𝑓 // 𝑥 0 >0 𝑓 // 𝑥 0 >0

14 Ejemplo UNO Determine los valores extremos relativos de
𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 −6𝑥+1 Buscamos los valores críticos 𝑓 / 𝑥 =6𝑥−6 , Igualamos la derivada a cero 6𝑥−6=0 𝑥=1

15 Buscamos la segunda derivada 𝑓 // 𝑥 =6
𝑓 // 𝑥 =6 Como la segunda derivada es mayor que cero , en 𝑥=1 hay un mínimo 𝑓 1 =3 (1) 2 −6 1 +1 𝑓 1 =3−6+1 𝑓 1 =−2 (1,−2)

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17 Ejemplo DOS Encuentra los valores extremos relativos de
𝑓 𝑥 =−4 𝑥 3 +3 𝑥 2 +18𝑥 Buscamos los valores críticos 𝑓 / 𝑥 =−12 𝑥 2 +6𝑥+18 Igualamos la derivada a cero −12 𝑥 2 +6𝑥+18=0 Simplificamos por −6 2 𝑥 2 −𝑥−3=0

18 Ejemplo factorizamos 2𝑥−3 𝑥+1 =0 2𝑥−3=0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥= 3 2
2𝑥−3 𝑥+1 =0 2𝑥−3=0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥= 3 2 𝑥+1=0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥=−1 Buscamos la segunda derivada 𝑓 // 𝑥 =24𝑥+6

19 Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos
Para 𝑥= −1 𝑓 // −1 =−24 −1 +6=30>0 𝑒𝑛 𝑥=−1 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑓 −1 =−4 − − −1 =−11 (−1,−11)

20 Para 𝑥= 3 2 𝑓 // =− =−30<0 𝑒𝑛 𝑥=−1 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑓 =− = 81 4 3 2 , 81 4

21 Buscamos el punto de inflexión
Hacemos la segunda derivada igual a cero 𝑓 // 𝑥 =0 −24𝑥+6=0 𝑥= 1 4 𝑓 =− = 19 8 1 4 , 19 8

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23 ACTIVIDAD Aplique el criterio de la segunda derivada para clasificar los extremos relativos de 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 1 3 𝑥 3 − 3 2 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −6 𝑥 2 +9𝑥−8 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 =−3 𝑥 5 +5 𝑥 3 +1 𝑓 𝑥 = −𝑥 2 +6𝑥+3 𝑓 𝑥 =2 𝑥 3 +3 𝑥 2 −12𝑥