PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR

Presentación del tema: "PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR"— Transcripción de la presentación:

1 PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR
Señales matemáticas 2018 Clases expositivas en diapositivas animadas . Realización : Prof. LUIS ERNESTO FIORANTE Profesor Luis Ernesto Fiorante

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Profesor Luis Ernesto Fiorante Profesor Luis Ernesto Fiorante

3 PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE 2DO. ORDEN - con coeficientes constantes. Ecuación diferencial lineal de segundo orden: c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = t(x) ʌ y = ƒ(x) comenzaremos un estudio de aquellas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y segundo miembro cero : t(x) = 0 c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = 0 ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantes denominada HOMOGENEA Profesor Luis Ernesto Fiorante Profesor Luis Ernesto Fiorante

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PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = (1) Consideremos una o varias posibles soluciones : y = e r x derivamos y sustituimos en el miembro izquierdo de la ecuación diferencial (1) y’ = r e r x , y’’ = r 2 e r x En (1) : c2 r 2 e r x + c1 r e r x + c0 e r x = e r x = ( c2 r c1 r + c0 ) Para que y = e r x sea solución la constante r es solución de la ecuación denominada CARACTERISTICA c2 r c1 r + c0 = 0 Profesor Luis Ernesto Fiorante

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PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR c2 r c1 r + co = 0 Ecuación característica : PRIMER CASO c12 – 4 c2 . co > 0 Determinamos las soluciones , en este caso dos reales distintas : a ≠ b , r = a ˅ r = b B = { e a x , e b x } Conjunto base de dos soluciones particulares linealmente independientes . Esto significa que : La solución general es : y = k1 e a x + k2 e b x . Profesor Luis Ernesto Fiorante

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EJEMPLIFICAMOS EL PROCEDIMIENTO EN UN EJERCICIO. Profesor Luis Ernesto Fiorante

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PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR 2 y’’ + 8 y’ – 90 y = 0 La ecuación característica asociada : 2 r r – 90 = 0 = 2 ( r – 5 ) ( r + 9 ) r =  r = – 9 ▲ soluciones - raíces reales distintas del polinomio B = { e 5 x , e - 9 x } La solución general es : y = k1 e 5 x + k2 e - 9 x Profesor Luis Ernesto Fiorante

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PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = (1) Si c12 – 4 c2.c0 = 0 y r : raíz doble entonces 2 r = – c1 / c2 Consideremos una posible solución: y = x e r x, si la ecuación característica tiene una sola solución . Derivamos y sustituimos en el miembro izquierdo de la ecuación diferencial lineal : y’ = e r x + x r e r x, y’’ = r e r x + r e r x + x r 2 e r x En (1): c2 (2r er x + x r2 er x) + c1(er x + x r er x) + c0 x er x = x er x ( c2 r 2 + c1 r + c0 ) + er x ( c2 2 r + c1 ) = c2 2 r + c1 = c2(– c1/c2) + c1 = 0 Para que y = x e r x sea solución la constante r es única solución de la ecuación CARACTERISTICA : c2 r 2 + c1 r + c0 = 0 Profesor Luis Ernesto Fiorante

9 Conjunto base de dos soluciones particulares .
PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Ecuación característica : c2 r c1 r + co = 0 SEGUNDO CASO c12 – 4 c2 . co = 0 En este caso una sola solución real doble : r = a B = { e a x , x . e a x } Conjunto base de dos soluciones particulares . B = { e a x , x . e a x } Conjunto base de dos soluciones particulares linealmente independientes . Esto significa que : La solución general es : y = k1 e a x + k2 x e a x . Profesor Luis Ernesto Fiorante

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EJEMPLIFICAMOS EL PROCEDIMIENTO EN UN EJERCICIO. Profesor Luis Ernesto Fiorante

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PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR 4 y’’ – 40 y’ y = 0 La ecuación característica asociada : 4 r 2 – 40 r = 0 = 4 ( r – 5 ) ( r – 5 ) r = 5 ◄ solución única - raíz doble del polinomio B = { e 5 x , x e 5 x } La solución general es : y = k1 e 5 x + k2 x e 5 x Profesor Luis Ernesto Fiorante

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c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = (1) PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Si c2 r2+ c1 r+ co = 0, c12 – 4c2.co < 0 y r = a + bi ˅ r = a – bi entonces 2a = – c1/c2 y c2 (a2 – b2) + c1 a + co = 0 Consideremos una posible solución : y = g(x) eax si la ecuación característica tiene soluciones complejas imaginarias conjugadas , discriminante negativo. Si g(x) = cos (b x) ó g(x) = sen (b x) con - b2 g(x) = g’’(x) Derivamos y sustituimos en el miembro izquierdo de la ecuación diferencial c1 y’ = c1 ( g’(x) eax + g(x) a eax ) , c2 y’’= c2 ( g’’(x) eax + 2 g’(x) a eax + g(x) a2 eax ) , co y = co g(x) eax En (1): g(x) eax (c2 a2+c1 a + co) + g’(x) eax(2a c2 + c1) + c2 g’’(x) eax = RECORDANDO - b2 g(x) = g’’(x) g(x)eax(c2 (a2 – b2) + c1 a+co)+g’(x)eax(2ab c2+b c1) = c2 (a2 – b2) + c1 a + co = 0 2a b c2+ b c1= c2(– c1/c2) b+ b c1= 0 Para que y = g(x) ea x sea solución , a + b i y a – b i son soluciones complejas imaginarias conjugadas de c2 r c1 r + co = 0 Profesor Luis Ernesto Fiorante

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PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR c2 r c1 r + co = 0 Ecuación característica : TERCER CASO c12 – 4 c2 . c0 < 0 Las soluciones en este caso dos complejos imaginarios conjugados : b ≠ 0 , r = a + b i ˅ r = a – b i B = { e a x cos (b x) , e a x sen (b x) } Conjunto base de dos soluciones particulares linealmente independientes . Esto significa que : La solución general es : y = e a x ( k1 cos ( b x ) + k2 sen ( b x ) ) . Profesor Luis Ernesto Fiorante

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EJEMPLIFICAMOS EL PROCEDIMIENTO EN UN EJERCICIO. Profesor Luis Ernesto Fiorante

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PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR 9 y’’ – 36 y’ + 45 y = 0 La ecuación característica asociada : 9 r 2 – 36 r = 0 = 9 ( r – 2 ) r = 2 – 1 i  r = i ▲ soluciones no reales – raíces complejas imaginarias del polinomio. B = { e 2x cos (1 x) , e 2x sen (1 x) } La solución general es : y = e 2 x ( k1 cos x + k2 sen x ) Profesor Luis Ernesto Fiorante

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HASTA PRONTO … Ahora lo que sigue es tu voluntad de estudiar y ejercitar el tema. jueves, 03 de enero de 2019 2018 . Profesor Luis Ernesto Fiorante