Sucesiones y series de números reales.

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1 Sucesiones y series de números reales.
Montoya.-

2 Algunas sucesiones…

3 Solución.

4 Complete la sucesión….

5 Triángulo de Pascal complete las tres siguientes líneas.

6 Compare..

7 Encontrar el término alfanumérico que sigue en la sucesión.

8 Respuesta…..

9 Fibonacci

10

11 Fibonacci y la razón aurea ( El número de oro)

12 Más sobre Fibonacci…

13 Un grande…Leonardo de Pissa

14 Álgebra de Sucesiones Luego el término general es 𝒂 𝒏 = 𝒏 𝒏+𝟏
Termino General de una sucesión: 𝑺= 𝟏 𝟐 , 𝟐 𝟑 , 𝟑 𝟒 ………………………… En el numerador se expresa la serie natural n. En el denominador la serie natural aumentada en 1. Luego el término general es 𝒂 𝒏 = 𝒏 𝒏+𝟏 Ejemplo 2: S= { 3 , 9 , 6 , 15 , 9 , 21 , 12 ……………..} Se puede escribir, 𝑺= 𝟔 𝟐 , 𝟗 𝟐 , 𝟏𝟐 𝟐 , 𝟏𝟖 𝟐 , 𝟐𝟏 𝟐 , 𝟐𝟒 𝟐 ………………………… Luego 𝒂 𝒏 = 𝟑(𝒏+𝟏) 𝟐

15 Cuidado !!! Ej: S = {1, 3, 5 , …………..} Aparentemente el término general es (1) 𝒂 𝒏 =𝟐𝒏−𝟏 Pero también puede ser: 𝒂 𝒏 = 𝒏 𝟑 −𝟔 𝒏 𝟐 −𝒏 𝟔 De modo que de acuerdo a (1) el 4° término no será 7 pero de acuerdo al (2) el 4 ° término será 6. Luego, hemos de establecer que para definir el término general de algunas sucesiones no es suficiente conocer solo los primeros tres términos.

16 Teorema de Bolzano / Weirstrass.
En relación el concepto de punto de acumulación de un conjunto, disponemos de un teorema que señala: “Todo conjunto, acotado, de infinitos números, tiene por lo menos un punto de acumulación”

17 Sucesión de número reales. Formalización.
Concepto: Es una función de la forma 𝒇(𝒏): IN →𝕽 𝒇(𝒏): : 𝒂 𝒏 = { a1, a2 ………………an } En general una secesión está definida por una expresión con una variable que forma valores naturales de 1 en adelante y e forma sucesiva obteniéndose así los términos de la sucesión. Ej: Sucesión formada por término general a1 = 2n Luego S = { 2, 4, 6,………………..2n } El término general de los números impares es: an = 2n -1 S = { 1, 3, 5,……………….2n -1 }.

18 Los términos de an = (-1)n ( 𝒏 𝒏+𝟏 ). 𝒂 𝒏 = 𝟐𝒏+𝟑 𝒏 𝟐 𝒂 𝒏 =𝟐𝒔𝒆𝒏𝟒𝝅+𝟑 𝒙 𝟐 𝒂 𝒏 =𝑳𝒏𝒙+ 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝝅 −𝟑𝒙 , 𝟎<𝝅<𝟏𝟖𝟎

19 Regla de formación de una sucesión
Está definida cuando se conocen cada uno y todos los términos, deduciendo previamente su término general. Sucesiones recurrentes Aquella que se define considerando su primer término 𝒂 𝟏 y una expresión general para 𝒂 𝒏+𝟏 y en función del enésimo término 𝒂 𝒏 . Es decir, se define y en función de, 𝑎 1 𝑦 𝑎 𝑛+1 Ej: Encontrar los 5 primeros términos si 𝒂 𝟏 = 1 y 𝒂 𝒏+𝟏 = ( 𝒂 𝒏 )²+2.

20 Respuesta. Si se tiene que por definición 𝒂 𝒏 = 1 𝒂 𝟐 = ( 𝒂 𝟏 )²+2=3
𝒂 𝟑 = ( 𝒂 𝟐 )²+2=11 𝒂 𝟒 = ( 𝒂 𝟑 ) ²+2=123 𝒂 𝟓 = (123)²+2=15.131 S= { 1 , 3 , 11 , 123 , ……………..…}

21 Operatoria con sucesiones.
Adición y sustracción de Sucesiones Si tenemos las sucesiones 𝑆 1 = { 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 𝒂 𝒏 .. } 𝑆 2 = { 𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 𝒃 𝒏 } 𝑆 1 + 𝑆 2 = { ( 𝑎 1 + 𝑏 1 ) , ( 𝑎 2 + 𝑏 2 ) , ( 𝑎 3 + 𝑏 3 ) + ……. ( 𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏 )} 𝑆 1 + 𝑆 2 : Es una sucesión obtenida por la adición o sustracción de las sucesiones 𝑆 1 𝑦 𝑆 2 : Ej. 𝑆 1 , está dada por el término general 𝒂 𝒏 =4n ; y 𝑆 2 : por el término, 𝒃 𝒏 = 𝑛 𝑛+1 Entonces 𝑆 1 + 𝑆 2 =4𝑛+ 𝑛 𝑛 ; Es decir: 𝑆 1 + 𝑆 2 = 4𝑛 2 +5𝑛 𝑛+1 Verificando para los 3 primeros términos 𝑎 1 = 𝑏 1 = 1 2 𝑎 2 = 𝑏 2 = 2 3 𝑎 3 = 𝑏 3 = 3 4 Ʃ 𝑛 2 +5𝑛 𝑛+1 = =

22 Multiplicación de Sucesiones.
La multiplicación de las sucesiones cuyos términos generales son y 𝑎 𝑛 𝑦 𝑏 𝑛 , es una operación que nos permite encontrar otra sucesión cuyos términos son el producto de los términos correspondientes Es decir: 𝑎 𝑛 ×𝑏 𝑛 , = { 𝑎 1 · 𝑏 1 , 𝑎 2 · 𝑏 2 ,…… 𝑎 𝑛 ×𝑏 𝑛 … } Ej.: Si las sucesiones 𝑆 1 y 𝑆 2 están representadas por los términos generales 𝑎 𝑛 = 𝑛 𝑛 y 𝑏 𝑛 𝑛+1 𝑛 entonces 𝑎 𝑛 ×𝑏 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑛 = 𝑛 𝑛+3 𝑎 𝑛 ×𝑏 𝑛 = 𝑛 𝑛+3 Pruebe que esta igualdad se verifica, considerando los tres o cuatro primeros términos.

23 División de Sucesiones
La división de las sucesiones 𝑎 𝑛 𝑦 𝑏 𝑛 ; con, 𝑎 𝑛 𝑥 𝑏 𝑛 ≠0 es una operación que nos permite encontrar otras sucesiones cuyos términos son los cocientes de los términos respectivos. Es decir, si: 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ……………. 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 3 …………….𝑏 Entonces: 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑎 1 𝑏 1 , 𝑎 2 𝑏 3 ……………… Ejemplo: Ej 𝑎 𝑛 =𝑛+1 y 𝑏 𝑛 = 1 𝑛 Entonces: 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑛+1 1 𝑛 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = n(n+1)

24 Sucesiones Monótonas 1) Creciente: Cuando cada uno de sus términos es menor o igual que el siguiente Es decir: 𝑎 1 ≤ 𝑎 2 ; 𝑎 2 ≤ 𝑎 3 ; 𝑎 3 ≤ 𝑎 4 ≤ 𝑎 5 ; 𝑎 𝑛−1 ≤ 𝑎 𝑛 Ej. La sucesión de FIBONACCI 1, 1, 2, 3, 5,8… es monótona creciente. 2) Decreciente: Si cada uno de sus términos es mayor o igual al siguiente. Es decir: 𝑎 1 ≥ 𝑎 2 ; 𝑎 2 ≥ 𝑎 3 , 𝑎 𝑛−1 ≥ 𝑎 𝑛 Ej. La sucesión 5, , 3 , , , es monótono decreciente. Si se verifica la condición < ó > serán estrictamente creciente o decreciente.

25 ¿Cómo determinar si una sucesión es creciente o decreciente.

26 Sucesión Acotada Sucesión Acotada
Un número real p es una cota superior de la sucesión 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ……………. 𝑎 𝑛 si todos los términos de la sucesión son menores o iguales que p, 𝑎 1 ≤𝑝, 𝑎 2≤ 𝑝, 𝑎 3≤ 𝑝……………. 𝑎 𝑛 ≤𝑝 Entonces 𝑎 𝑛 está acotada superiormente. Ej. La sucesión 𝑎 𝑛 = 𝑛+3 𝑛+𝑛 , n € IN 𝑎 𝑛 = {2, , , , 4 3 − − − } es decreciente y está acotada superiormente, cuya cota es 2(todos los términos son menores que 2)

27 Supremo /ínfimo. Se denomina supremo de una sucesión a la menor de las cotas superiores en el segundo ejemplo de los ya vistos anteriormente, el 2 es el supremo. Del mismo modo un número real 𝑞 es una cota inferior de la sucesión 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 , 𝑎 2 , −−− 𝑎 𝑛 , si todos los términos de la sucesión son mayores o iguales que 7. Si 𝑎 1 ≥𝑞 : 𝑎 2 ≥𝑞 : 𝑎 3 ≥𝑞: entonces 𝑎 𝑛 está acotada inferiormente. Ej. La sucesión de 𝑎 𝑛 =2𝑛−1 𝑎 𝑛 = { 1 , 3 , 5 , } está acotada inferiormente, 1 es la cota inferior. Se denomina ínfimo de una sucesión a la mayor de las cotas inferiores.

28 Diagrama.

29 Sucesiones Convergentes o Divergentes
Convergentes: Son las que tienden a un único valor o número real.  Ejemplo: 𝑎 𝑛 = 1 𝑛 ;𝑛 ∈𝐼𝑁 € 𝑎 𝑛 = 1 , 1 2 , , , , −−−− 1 𝑛 Como el numerador permanece convergente y el numerador crece indefinidamente, entonces la fracción 1/n se acerca cada vez más al cero, luego podemos decir que cuando n tiende el valor de la fracción 1/n tiende a cero. Notación: tiende:” →” El número real al cual tiende la sucesión se denomina límite de la sucesión lo que se abrevia Lím, si por ejemplo: lim 𝑛→∞ 1 𝑛 = 0

30 La sucesión de Euler En la sucesión
𝑎𝑛= 𝑛 𝑛 , cuyos primeros términos son: 𝑎𝑛={ 2 ;2,25 ;2,37 ; −−−−2,71828−−−que tiende al irracional 𝑒=2, … O sea: lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 =𝑒 Que es la constante usada como base de los logaritmos naturales (Ln)

31 Sucesiones divergentes.
Se denominan sucesiones divergentes las que tienden a menos infinito (−∞) o más infinito (+∞). Estas sucesiones se caracterizan por crecer o decrecer en forma indefinida, es decir, por no tener limite. Ej: 𝑎 𝑛= 2 𝑛 = 2 , 4 , 8 , 16…..2 → +∞ 𝑎 𝑛=1−2𝑛= −1 , −3 , −5 , −7….. →−∞

32 Ejercicios de aplicación.
1.- Considere los conjuntos 𝑍 0 − y 𝑍 0 + : 1.1- ¿Está acotado superiormente el conjunto 𝑍 0 − ¿ 1.2- ¿cuáles son sus cotas? 1.3.- ¿Cuáles son las cotas inferiores de 𝑍 0 + 2.- Dado el conjunto A = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 ,3}C IR encuentre: cotas superiores de A cotas inferiores de A 2.3-El supremo de A 2.4.-El ínfimo de A

33 3.- Representa cada uno de los siguientes entornos:
< x < I x – 3 I < I x – 5 I < 1 4.- Escribe cada uno de los siguientes entornos en notación de desigualdad y de valor absoluto. 4.1.- Centro 2 y radio 0, Centro 5 y radio 3 4..3- Centro 0.8 y radio Centro 4 y radio 0.6 5.- Indica tres puntos de acumulación para cada uno de los conjuntos siguientes: 5.1.- [ -5 , 1 ] ] 2 , 7/3 ] 5.3.- [ -3/4 , 1/8 [ ] -4 , 3 [

34 6.- Escribe los primeros términos de la sucesión cuyo término general es:
𝑎 𝑛 = 4+𝑛 𝑛 𝑎 𝑛 = ( 1+ 1 𝑛 ) 𝑛 6.3.− 𝑎 𝑛 = ( −1 ) 𝑛 ( 𝑛 ) 𝑎 𝑛 𝑛+2 ; si 𝑛 es impar 1 ; si 𝑛 es par 7.- Hallar una expresión o fórmula para el término enésimo de la sucesión 𝑎 𝑛 =4 , 8 , 12 , 𝑎 𝑛 =1 , 4 , 7 ,10 𝑎 𝑛 = , −1 3 , , −1 5

35 8.- Escribe los 5 primeros términos de las sucesiones recurrentes dadas:
𝑎 𝑛 = ; 𝑎 𝑛+1 = 𝑎𝑛 2 8.2.- 𝑎=1; ; 𝑎 𝑛+1 = 𝑎𝑛 (67) 9.- Sean las sucesiones: 𝑎 𝑛 =2𝑛+3 y 𝑏 𝑛 =3𝑛−1 encuentra las sucesiones: ( 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 ) y calcula los 5 primeros términos. 10.- Sean 2 sucesiones 𝑎 𝑛 =4𝑛−5 , 𝑏 𝑛 =2( 2𝑛−1 ) encuentra la sucesión ( 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 ), y calcula los 6 primeros términos.

36 11.- Sean S : 𝑎 𝑛 = 2𝑛 + 1 𝑛 y 𝑏 𝑛 = 𝑛−1 𝑛+1 encuentre los 5 primeros términos de:
𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 × 𝑏 𝑛 12.- Dados 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 del ejercicio anterior hallar el término general de: 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 13.- Dado S : 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 −1 𝑛 , 𝑏 𝑛 = 𝑛 𝑛+𝑛 encuentra el termino general de: 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛

37 14.- Indique para cada uno de las siguientes ecuaciones si es creciente o decreciente.
𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 n 15.- indique para cada una de las sucesiones diferentes si es acotada o no es acotada a) 2𝑛−1 𝑛 b) 1 2𝑛+1 c) 2𝑛−1 𝑛 d) 1 𝑛 − 1 2 𝑛

38 16.- indica para cada uno de las sucesiones siguientes si es convergente o divergente
a) 2 𝑛 −2 b)4+ 1 𝑛 c) (−1) 𝑛+1 ∗ 1 𝑛 d) 1 𝑛 2 +1 17.- escribe tres sucesiones que sean: a) creciente b) decrecientes c) acotadas d) no acotadas e) convergente f) divergente

39 Respuestas. 1) sí; 0, 1, 2, 3… ; 0,-1,-2,-3… 2) 3,4,5 ; -2,-3,-4
2) 3,4,5 ; -2,-3,-4 4) 1,5<x<2,5; |x-2|<0, ; 2<x<8; |x-5|< ; ,6<x<1; |x-0,8|<0,2 ; 3,4<x<4,6; |x-4|<0.6

40 5) 0,-1, ; , , , −3 4 , −5 16 , ; d)-4; 0;-2 6) 𝑎 𝑛 = 4+𝑛 𝑛 = 5 , 3 , ; 2 , , 5 3 ………. ; 2 , ; , ………. ; c) {-2, -5, -10, 17…} ; ; 1 , , 1 , 2 7 , 1 ………. 7) 𝑎 𝑛 =4𝑛 , 𝑎 𝑛 =3𝑛−2 ; 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛 𝑛+1 8) {16, 8,4, 2,1} ; {1, 4, 19, 364, 132, 499} 9) 𝑎 𝑛 =5𝑛+2 ; {7, 12, 17, 22, 27} 10) 𝑎 𝑛 =2𝑛−3 ; {-1, 1, 3, 5, 7,9…} 11) 3 , ; , 9 4 , ………. ; 0 , ; , 3 5 , ………. ; 3 , ; , , ………. ; 0 , ; , , ………. 12) 𝑎 𝑛 = 3𝑛 2 +2𝑛+𝑎 𝑛(𝑛+1) ; 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 +4𝑛+1 𝑛(𝑛+1) 13) a) 𝑎 𝑛 = 𝑛−1 , 𝑎 𝑛 = (𝑛−1)(𝑛+1) 2 𝑛 2 14) creciente; creciente; creciente; decreciente 15) acotada; acotada; acotada ; acotada 16) convergente; convergente; oscilante ; convergente; convergente.

41 Entorno de un numero. El cuerpo de los números reales.
Número real: Cualquier número decimal (finito o infinito), de modo que: ℝ=ℚ ∪𝐼 Además en ℝ se verifican las siguientes propiedades para la Adición y multiplicación. La verificación de estas propiedades le asigna a ℝ la estructura algebraica de grupo Abeliano. Adición (+) Producto (*) Cerrada Cerrado conmutativa conmutativo asociativa asociativo ∃ Neutro ∃ Opuesto ∃ Inverso

42 Si además estas dos operaciones en forma conjunta satisfacen la ley de distribución de la multiplicación sobre la adición esto es: Por la izquierda: 𝑎 𝑏+𝑐 =𝑎 𝑏+𝑎 𝑐 Por la derecha: 𝑏+𝑐 𝑎=𝑏 𝑎+𝑐 𝑎 Se afirma que (ℝ, +, o); Es decir el conjunto de los números reales provisto de estas dos operaciones constituye un cuerpo algebraico:

43 Orden en IR Orden en ℝ Recuerde que la igualdad en ℝ es una relación de equivalencia, ya que cumple las propiedades siguientes: a) Refleja ∀ a∈ IR ; a=a b) Simétrica ∀a, b ∈ IR; a=b ⇒ b=a c) Transitiva ∀a, b, C ∈ IR; a=b ^ b=c ⇒ a=c

44 El cuerpo de los reales. Relación de orden en IR
Dados a, b ∈ IR, se dice “a” es menor o igual que “b”, si “b-a” es mayor o igual que cero: Es decir: ∀a, b ∈ IR; a ≤ b  b-a ∈ IR Esta relación menor o igual que (≤) entre números reales es una relación de orden, ya que cumple con las tres propiedades o acciones de orden siguientes: Refleja: ∀a ∈ IR: a≤b Anti simétrica: ∀a,b ∈ IR; a ≤ b ᶺ b ≤ a => a = b Transitiva: ∀a, b C ∈ IR; a≤b ᶺ b ≤ c => a ≤ c Con base a lo anterior se puede decir que: (IR,+, •, ≤) es un cuerpo ordenado.

45 Relación de orden total.
Pero además, en el conjunto IR la relación menor o igual que (≤) cumple la propiedad o acción de tricotomía que expresa: ∀ a, b ∈ IR, se cumple una, solo una de las tres alternativas siguientes: a<b ⋁ a=b ⋁ b<a Por lo anterior, se afirma que: (IR, +, °, ≤) Es un cuerpo ordenado total. Ejemplo: El ordenamiento de los elementos químicos en la tabla periódica, de acuerdo a su número atómico, es una relación de orden total.

46 Intervalos en IR -Si X es un número real cualquier comprendido entre otros dos reales a>b entonces podemos escribir: a < x < b Como X es un número real cualquiera esta expresión se satisface para los infinitos valores que pueden formar X de los que existen entre a y b. Gráficamente,

47 Intervalos en IR Intervalo: Es la expresión {X ∈ IR /a<x<b}
a=Cota inferior. b=Cota superior. Todos los intervalos son acotados porque sus fronteras, los reales a y b, están determinados. Su cardinalidad (número de elementos) es infinita, por cuanto existen infinitos números reales entre a y b.

48 ALGUNOS EJEMPLOS: Intervalo abierto ] a, b [= {X∈ IR /a<X<b}
Intervalo semi cerrado [a, b [= {X ∈IR /a<X<b} Intervalo cerrado [a, b]= {X ∈IR /a<X<b}

49 Conjuntos acotados Conjunto acotado superiormente
Conjunto acotado superiormente Todo elemento b E IR se denomina cota superior de un conjunto se A C IR; si ∀ x ∈A, x ≤ b Al existir para el conjunto A a lo menos una cota superior, se dice que A esta acotado superiormente Ej.: Considere A= [-2,5] : { x I∈R / -2 ≤ x ≤ 5} Podemos ver que cualquier número b ≥ 5 es una cota superior Ej.: 7 es cota superior de A 6 es cota superior de A. etc.

50 Conjunto acotado inferiormente
Al existir para el conjunto A a lo menos una cota inferior, se dice que A esta acotado inferiormente Ej.: en el conjunto A= [-2, 5] cualquier a ∈ IR tal que a ≤ -2, es una cota inferior del conjunto A. Por lo anterior se puede señalar que: un conjunto A está acotado si tiene a lo menos una cota inferior y una superior simultáneamente. Es decir: A C IR está acotado si -] a, b E IR tal que: ∀ × ∈ A , a ≤ × ≤ b

51 Supremo e ínfimo de un conjunto
Supremo Si un conjunto A C IR está acotado, es decir, tiene a lo menos una cota inferior y una superior, entonces: Se denomina supremo de A a la menor de todas las cotas superiores de A Ínfimo: a la mayor de todas las cotas inferiores de A

52 Axioma de completitud de un conjunto , Entorno.
Se establece que: *todo conjunto A C IR no vacío y acotado superiormente, tiene supremo. *todo conjunto A C IR no vacío y acotado inferiormente, tiene ínfimo. Entorno de un número real Se denomina vecindad o entorno de un número real a, al conjunto de números reales x, tales que: Se denomina entorno simétrico del punto a y radio ε.

53 Ejemplo. Y mediante el valor absoluto | x-4|< 0,1
Ej: el entorno simétrico del número real 4 y radio =0,1, se expresa 4 - 0,1 < x < 4 + 0,1 3,9 < x < 4,1 Y mediante el valor absoluto | x-4|< 0,1 En un intervalo simétrico respecto de un punto a y radio ε, la distancia entre los extremos del intervalo es 2ε. Esta medida se denomina amplitud del intervalo. En el ejemplo la amplitud es 0,2

54 Punto de acumulación de un conjunto
Un número real es un punto de acumulación de un conjunto A C IR, si en todo entorno de a existen infinitos números del conjunto A.

55 Gracias.