ECUACIONES EXPONENCIALES

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1 ECUACIONES EXPONENCIALES
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta: 1Las propiedades de los logaritmos. 1 2 3 4 5 6 7 ECUACIONES EXPONENCIALES En las ecuaciones exponenciales la incógnita aparece en el exponente. Para resolver ecuaciones exponenciales vamos a tener en cuenta Propiedades del logaritmos Propiedades de la potenciación X=Y  log 𝒃 𝑿 = log 𝒃 𝒀 𝒂 𝒙 . 𝒂 𝒚 = 𝒂 𝒙+𝒚 log 𝑏 𝑋.𝑌 = log 𝑏 𝑋 + log 𝑏 𝑌 𝒂 𝒙 𝒚 = 𝒂 𝒙.𝒚 log 𝑏 𝑋 𝑌 = log 𝑏 𝑋 − log 𝑏 𝑌 𝒂 𝒙 : 𝒂 𝒚 = 𝒂 𝒙−𝒚 log 𝑏 𝑋 𝑛 = 𝑛 log 𝑏 𝑋 𝒂 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙=𝒚 log 𝑏 𝑛 𝑋 = 1 𝑛 log 𝑏 𝑋

2 Estrategias de resolución
Primer Caso: ecuación donde figuran las siguientes operaciones : multiplicación división potenciación y radicación Trabajando con propiedades de la potenciación Trabajando con propiedades del logaritmo El 9 y el 27 son potencias de 3 El 9 y el 27 son potencias de 3 por eso aplicaremos ]logaritmo en esa base 9 𝑥+2 = 27 𝑥 9 𝑥+2 = 27 𝑥 𝐥𝐨𝐠 𝟑 9 𝑥+2 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 27 𝑥 Potencia de potencia 3 2 𝑥+2 = 𝑥 Logaritmo de una pot potencia 𝑥−2 log = xlog 3 27 Cancelativa 3 2.(𝑥+2) = 3 3𝑥 𝑥−2 .2 = 𝑥.3 2𝑥+4=3𝑥 2𝑥+4=3𝑥 4=3𝑥−2𝑥 4=𝑥 4=𝑥

3 Estrategias de resolución
Primer Caso: ecuación donde figuran las siguientes operaciones : multiplicación división potenciación y radicación Trabajando con propiedades de la potenciación Todas las bases se pueden expresar como potencias de 2 en esa base 4. 8 𝑥−1 = 2 𝑥 2 +1 Potencia de otra potencia 𝒂 𝒙 𝒚 = 𝒂 𝒙.𝒚 𝟑 𝒙−𝟏 = 2 𝑥 2 +1 𝟑.(𝒙−𝟏) = 2 𝑥 2 +1 Producto de potencias de igual base: 𝒂 𝒙 . 𝒂 𝒚 = 𝒂 𝒙+𝒚 2 𝟐+𝟑𝒙−𝟑 = 2 𝑥 2 −1 Cancelativa: 𝒂 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙=𝒚 3𝑥−1= 𝑥 2 +1 Ecuación cuadrática 𝑥 2 −3x+2=0→ 𝑎=1 𝑏=−3 𝑐=2 𝑥 1,2 = 3± −3 2 − 𝑥 1 =2 𝑥 2 =1

4 Estrategias de resolución
Primer Caso: ecuación donde figuran las siguientes operaciones : multiplicación división potenciación y radicación Trabajando con propiedades del logaritmo 7 x−1 =4 Aplicamos logaritmo en ambos miembros log 7 x−1 =𝑙og4 Logaritmo de una potencia (x−1)log 7 =𝑙og4 Despejar 𝑥−1= 𝑙og4 𝑙𝑜𝑔7 𝑥= 𝑙og4 𝑙𝑜𝑔7 +1 x=2,4

5 Estrategias de resolución
Segundo Caso: ecuación donde figuran términos con potencias con incógnita en el exponente que se pueden sumar o restar 2 𝑥 𝑥−1 =8+ 2 𝑥 Si en el exponente se expresa una suma, se puede expresar como Producto de potencias de igual base 3. 4 𝑥 𝑥 =80 2 𝑥 . 𝟐 𝟐 +𝟔. 2 𝑥 . 𝟐 −𝟏 =8+ 2 𝑥 5. 4 𝑥 =80 𝟒. 2 𝑥 +𝟔. 𝟏 𝟐 .2 𝑥 − 2 𝑥 =8 4 𝑥 =80 :5 Una vez que se definen los coeficientes es el momento de efectuar las sumas y las restas 𝟒. 2 𝑥 +𝟑. 2 𝑥 −𝟏. 2 𝑥 =8 4 𝑥 =16 8. 2 𝑥 =8 4 𝑥 = 4 2 2 𝑥 =8:8 2 𝑥 =1 𝑥=2 2 𝑥 = 2 0 𝑥=0

6 Estrategias de resolución
Tercer Caso: ecuación con términos que contienen potencias con exponente que tienen coeficientes distinto de 1 en la incógnita (ejemplo: 2 2𝑥 , 3 2𝑥+1 , 2 2𝑥 Normalmente, en estos caso se resuelve con un cambio de variable Por ejemplo: 2 𝑥 =𝑡 para que 2 2𝑥 = 2 𝑥 2 = 𝑡 2   𝑥 𝑥 −24=0 𝑥 𝑥 −24=0 Aplicaremos el cambio de variable  2 𝑥 =𝑡 obtendremos una ecuación de segundo grado 3. 𝑡 𝑡−24=0 𝑡 1,2 = −6± −4.3.(−24) 2.3 𝑡 1,2 = −6±  Para cada uno de los valores que arroja la fórmula se sustituye a 𝑡 por 2 𝑥 𝑡 2 =2 2 𝑥 = 2 1 𝑥=1 𝑡 1,2 = −6±18 6  En esta ecuación no se tiene solución real (porque la potencia " 2 𝑥 " de base positivo no puede ser negativo)_ 𝑡 1 =−4 2 𝑥 =−4