Unidad 3 Capítulo VII Velocidad de escape

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1 Unidad 3 Capítulo VII Velocidad de escape

2 U-3. Cap. VII. Velocidad de escape
Considere el movimiento sin fricción de un cuerpo que es lanzado desde la corteza terrestre con una velocidad inicial cuyo valor es lo suficientemente alto de tal manera que el cuerpo no regrese a la tierra. y El peso del cuerpo actúa como una fuerza opuesta al movimiento y al no existir resistencia, el modelo del fenómeno es análogo al de caída libre, excepto por el signo:  R

3 U-3. Cap. VII. Velocidad de escape
Además, dado que el cuerpo se alejará cada vez más de la corteza terrestre, no se puede considerar que su peso sea constante. Es decir, el peso del cuerpo estará determinado por la ley de atracción gravitacional: que, evaluado a nivel del mar (y = 0) es igual al producto mg, por lo que:

4 Por tanto, el modelo del fenómeno bajo análisis queda:
U-3. Cap. VII. Velocidad de escape Por tanto, el modelo del fenómeno bajo análisis queda: Ahora, como la velocidad v es función de la distancia y, y la distancia lo es del tiempo t, se observa que: De esta manera, la ecuación que representa el movimiento descrito es:

5 cuya solución general es:
U-3. Cap. VII. Velocidad de escape Ejemplo: Una esfera de masa m se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0. Si supone que el movimiento es vertical y que no existe resistencia del aire, determine una expresión para la velocidad inicial si se pretende que la esfera nunca regrese a la tierra (velocidad de escape, ve). Solución: El modelo que representa tal fenómeno es la siguiente ecuación separable: cuya solución general es:

6 U-3. Cap. VII. Velocidad de escape
Dado que la velocidad inicial (t = y = 0) es v0, la solución particular es: Es decir: Como se pretende que el cuerpo nunca regrese, se debe garantizar que la velocidad sea cero en el límite y  :

7 El límite, tiene la siguiente propiedad:
U-3. Cap. VII. Velocidad de escape El límite, tiene la siguiente propiedad: por lo que Así que la velocidad de escape que se obtiene al resolver el límite indicado es: Como el radio de la tierra es de 6400 km, aproximadamente: