Mecánica cuántica Función de onda Montoya.

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1 Mecánica cuántica Función de onda Montoya

2 Definición F(x) de Onda
En mecánica cuántica, una función de onda es una forma de representar el estado físico de un sistema de partículas. Usualmente es una función compleja, de cuadrado integrable y univaluada de las coordenadas espaciales de cada una de las partículas. Las propiedades permiten interpretarla como una función de cuadrado integrable.

3 SCHRÖDINGER Los descubrimientos de principios del Siglo XX habían culminado con la sorprendente conclusión, por parte de Louis de Broglie, de que la materia se comporta a la vez como cuerpo y como onda, y esto es decisivo cuando nos referimos a partículas subatómicas. Esta doble condición de las partículas tenía que ser utilizada para profundizar en el estudio del mundo de lo muy pequeño.

4 Entre los años 1925 y 1926, introdujo la función de onda, también llamada ecuación de Schrödinger, que no es otra cosa que una ecuación que describe la forma en que una partícula cambia con el paso del tiempo. Se trata de estudiar las partículas del mismo modo en que se estudian las demás ondas que sentimos a nuestro alrededor, como las sonoras o las producidas en el agua cuando se lanza una piedra a un charco.

5 Ecuación de onda (SCHRÖDINGER)
Esta ecuación es de gran importancia en la mecánica cuántica, donde juega un papel central, de la misma manera que la segunda ley de Newton (F = m.a) en la mecánica clásica. Son muchos los conceptos previos implicados en la ecuación de Schrödinger, empezando por los modelos atómicos. Dalton, Thomson, Rutherford, Bohr, Sommerfeld, todos ellos contribuyeron al modelo atómico actual.

6 Esta es una ecuación matemática que tiene en consideración varios aspectos:
- La existencia de un núcleo atómico, donde se concentra la gran cantidad del volumen del átomo. - Los niveles energéticos donde se distribuyen los electrones según su energía. - La dualidad onda-partícula - La probabilidad de encontrar al electrón

7 Limitaciones Con el fin de representar un sistema observable de manera física, la función de onda debe satisfacer ciertas restricciones: Debe ser una solución de la ecuación de Schrodinger. Debe ser normalizable, esto implica que la función de onda se aproxima a cero cuando x se aproxima a infinito. Debe ser una función continua de x.  La pendiente de la función en x, debe ser continua. Específicamente debe ser continua. Estas limitaciones se aplican a las condiciones de contorno en las soluciones, y en el proceso de ayudar a determinar los valores propios de la energía.

8 Descripción matemática
Función de onda. Un cuerpo que posee un movimiento armónico o periódico siempre posee una posición de equilibrio estable. Causas de la oscilación: Producidas por fuerzas restauradoras de medios elásticos. Se distinguen: Amplitud: corresponde al máximo desplazamiento Periodo: tiempo que tarda en un ciclo. Frecuencia: número de ciclos en la unidad de tiempo (Hz)𝑓= 1 𝑇 Frecuencia angular: 𝜔= 2𝜋 𝑇

9 Descripción de parámetros verticales.

10 Fuerza restauradora. FUERZA RESTAURADORA: La que aplica el sistema oscilatoria para volverlo a la posición de equilibrio. 𝐹=−𝐾𝑥 Aceleración del M.A.S: 𝑎= −𝐾𝑥 𝑚 De otro modo: 𝑎= 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 Además: 𝑉= 𝑑𝑥 𝑑𝑡

11 Ecuaciones del movimiento:
La coordenada P de la sombra o proyección de la bola a lo largo del eje X, cambia con el tiempo a medida que la bola Q gira con movimiento circular uniforme anti horario. La velocidad y la aceleración del punto P, son las componentes X de los vectores de la velocidad y aceleración del punto Q.

12 La componente X del factor en el instante t es la coordenada X del punto Q;
𝑥= 𝑥 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 Por otro lado la aceleración del sistema es: 𝑎= 𝜔 2 𝑥 0 Entonces: 𝑎= −𝜔 2 𝑥 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 Como además: 𝐹=−𝐾𝑥 𝑚𝑎=−𝐾𝑥 𝑎= −𝐾𝑥 𝑚 −𝜔 2 𝑥= −𝑘𝑥 𝑚 𝜔= 𝐾 𝑚

13 Desplazamiento, velocidad y aceleración de un M.A.S.
Aun necesitamos obtener el desplazamiento x en función del tiempo para un oscilador armónico. Para un cuerpo con un oscilador armónico simple a lo largo del eje X se puede escribir que: 𝑥= 𝑥 𝑜 𝐶𝑜𝑠(𝜃+𝜙) , Donde 𝜙 corresponde al desplazamiento angular inicial en el tiempo t=o. 𝑥= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛(𝜃+𝜙) , como: 𝜔= 𝜃 𝑡 𝑥= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡+𝜙)  𝑥= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛( 2𝜋 𝑇 𝑡+𝜙)

14 Pero como ∅ 2𝜋 = 𝑥 𝜆 , entonces: 𝑥= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛2𝜋( 𝑡 𝑇 𝑡+ 𝑥 𝜆 )
𝑥= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛2𝜋( 𝑡 𝑇 𝑡+ ∅ 2𝜋 ) Pero como ∅ 2𝜋 = 𝑥 𝜆 , entonces: 𝑥= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛2𝜋( 𝑡 𝑇 𝑡+ 𝑥 𝜆 ) También se puede escribir como: 𝑥= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛( 2𝜋𝑡 𝑇 𝑡+ 2𝜋𝑥 𝜆 ) 𝑥= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡+𝐾𝑥) , donde 2𝜋 𝜆 =𝐾.

15 Rapidez de propagación horizontal.
La rapidez de propagación de una onda mecánica periódica, está dada por la relación: 𝑉=𝜆𝑓 Que es la rapidez de propagación de una “partícula de la onda mecánica” horizontalmente

16 La fase de onda. Ahora bien, para 𝑓 𝑥,𝑡 =0 , los valores que puede tomar la fase de onda son: 0, 𝜋 , 2𝜋 , 4𝜋…. Por otro lado la rapidez con que oscila la perturbación está dada por: 𝑑(𝑓 𝑥,𝑡 ) 𝑑𝑡 = 𝑥 𝑜 𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡±𝐾𝑥) Y la aceleración de la perturbación está dada por: 𝑑 2 (𝑓 𝑥,𝑡 ) 𝑑 𝑡 2 =− 𝑥 𝑜 𝜔 2 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡±𝐾𝑥).

17 La velocidad y aceleración de la perturbación.

18 Función de onda armónica
Esta describe una onda que se mueve en el sentido positivo del eje de las x con amplitud y, longitud de onda λ, período T, frecuencia f = 1/T y velocidad de fase

19 Resumen La función de onda

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22 Elongación de la perturbación.
En general, la elongación de la perturbación está dada por: 𝑓(𝑥,𝑡)= 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡±𝐾𝑥) Considerándose (+) cuando la perturbación se mueve hacia la izquierda, y (-) cuando lo hace hacia la derecha. El factor: 𝜔𝑡±𝐾𝑥 , se denomina “fase de onda” Si, en la perturbación , la elongación con que oscila corresponde a la amplitud de onda , entonces, se verifica que: 𝑓(𝑥,𝑡)= 𝑥 𝑜 , entonces: 𝑥 𝑜 = 𝑥 𝑜 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡±𝐾𝑥) , de donde se deduce que: 1=𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡±𝐾𝑥) , por lo tanto: 𝜔𝑡±𝐾𝑥 , puede tomar los valores: 𝜋 2 ; 5𝜋 2 ; 9𝜋 2 ………..

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24 Velocidad de un M.A.S

25 Aceleración de un M.A.S

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28 Interpretación de los parámetros

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31 Problemas de aplicación.
1.- Un punto material oscila con MAS de 20hz de frecuencia. Calcular su periodo y su pulsación. 2.- un móvil describe un MAS de 5cm de amplitud y 1.25 s de periodo. 2.1.- Escribir su ecuación de su elongación sabiendo que en el instante inicial la elongación es máxima y positiva. 2.2.- Repita considerando que ahora es máxima y negativa. 3.- un móvil describe un MAS de 6cm de amplitud y 1.5 s de periodo. 3.1.- Escribir su ecuación de su elongación sabiendo que en el instante inicial la onda tiene un desfase positivo de 30º.

32 4.- un móvil describe un MAS de 4cm de amplitud y 2 s de periodo.
3.1.- Escribir su ecuación de su elongación sabiendo que en el instante inicial la onda tiene un desfase negativo de un cuarto de longitud de onda.  4.- un móvil describe un MAS de 1,8cm de amplitud y se mueve hacia la izquierda con una rapidez de propagación de 12m/s , la onda tiene una longitud de onda de 80cm. 4.1.- Escribir su ecuación de su elongación sabiendo que en el instante inicial la onda no tiene desfase.  5.- un móvil describe un MAS de 2,3cm de amplitud y se mueve hacia la derecha con una rapidez de propagación de 12m/s, la onda tiene una longitud de onda de 20cm. 4.1.- Escribir su ecuación de su elongación sabiendo que en el instante inicial la onda tiene un desfase de una longitud de onda. 4.2.- Calcule la amplitud e oscilación de la vibración a los 12 s de generada la onda.

33 7.4.- L rapidez del móvil en el punto de abscisa 0.5
6.-Ciertas ondas transversales en un hilo tienen una velocidad de propagación de 12m/s , una amplitud de 0,05 m y una longitud de onda de 0,4m. Las ondas viajan en la dirección positiva de las X ; en t=0 , el extremo x=0 del hilo , tiene un desplazamiento cero y se mueve hacia arriba .Determine: 6.1.-La frecuencia de estas ondas. 6.2.-El periodo de estas ondas. 6.3.-El número de ondas 6.4.-Escriba la función de onda que describa estas ondas. 6.5.-El desplazamiento transversal de un punto en x=0,250m. 7.- Un móvil describe un MAS entre los puntos P (1,0) y Q (-1,0). La frecuencia del movimiento es 0.5 hz e inicialmente se encuentra en el punto P. Determinar: 7.1.- La pulsación del movimiento. 7.2.- La posición del móvil 0.5 s después de iniciado el movimiento. 7.3.- La rapidez de oscilación del móvil en función del tiempo. 7.4.- L rapidez del móvil en el punto de abscisa 0.5 7.5.- La rapidez máxima de oscilación.

34 9.2.-La posición del móvil al cabo de 1s.
8.- Un móvil describe un MAS entre los puntos P (0,3) y Q (0,-3). La pulsación del móvil es 0,4𝜋 hz e inicialmente se encuentra en el punto Q. Determinar: 8.1.- La pulsación del movimiento. 8.2.- La posición del móvil 0.5 s después de iniciado el movimiento. 8.3.- La rapidez de oscilación del móvil en función del tiempo. 8.4.- L rapidez del móvil en el punto de abscisa 0.5 8.5.- La rapidez máxima de oscilación. 9.- Un móvil describe un MAS, siendo los puntos extremos de su trayectorias el punto P (-1,2) y Q (3,2) , coordenadas expresadas en metros . Sabiendo que inicialmente se encuentra en Q y que su aceleración viene dada en todo momento por la expresión: 𝑎=− 𝜋 2 𝑥 , donde x es el desplazamiento horizontal del pulso. Determine: 9.1.- La ecuación de la elongación en función del tiempo. 9.2.-La posición del móvil al cabo de 1s.

35 10.- La elongación de un móvil que oscila con MAS, viene dada por la función de onda:
𝑓(𝑥,𝑡)=2𝑆𝑒𝑛(𝜋𝑡+ 𝜋 4 ). Determine: La amplitud de oscilación de la onda. La frecuencia de oscilación de la onda. El periodo de oscilación del movimiento. el desfase de la onda. 11.- Un móvil describe un MAS de 20 cm de amplitud y 2,5 s de periodo .escriba la ecuación de su elongación en los siguientes casos: El tempo empieza a contarse cuando la elongación es máxima y positiva. El tiempo empieza a contarse cuando la elongación es nula y el movimiento es hacia la derecha. el tiempo empieza a contarse cuando la elongación es nula y la pulsación se mueve hacia la izquierda.

36 12.- un móvil que ejecuta un MAS recorre 6 metros en una oscilación completa y su aceleración máxima es 150 𝑚 𝑠 2 . Escriba la ecuación de su elongación, sabiendo que se empieza a contar el tiempo cuando la elongación es 0.75m, en su movimiento hacia la derecha. 13.- Una partícula de 1mg de masa ejecuta un MAS, que puede expresarse por la ecuación 𝑓 𝑥,𝑡 =−𝐴𝑠𝑒𝑛 2𝜋( 1 𝑇 ) Siendo el periodo 1/100 de segundos. Cuando t= T/12, la rapidez de oscilación de la perturbación es 31,4 cm/s .determinar: La amplitud del movimiento. La energía mecánica de la partícula.

37 15.1.- La velocidad de propagación de la onda
14. Dada la ecuación de una onda y = 10 Sen 2π (t/2 - x/0,1). Calcule la velocidad de propagación, el período y la longitud de onda. (2 S, 5 cm/s, 10 cm) 15. Una onda transversal se propaga en una cuerda según la ecuación y = 0,4 Cos (100t - 0'5x) (S.I.). Calcular: La velocidad de propagación de la onda El estado de vibración de una partícula a 20 cm del foco en el instante 0'5 s. (200 m/s, desplazamiento 0,374 cm con una velocidad de 14,30 m/s y una aceleración de 𝒎 𝒔 𝟐 ) 16.- La ecuación de una onda es y = 0,5 Cos 4π (10t - x) (S.I.). Calcular 16.- La velocidad de propagación de la misma 16.2.-La diferencia de fase entre dos puntos separados 0'5 m. (10 m/s , 6,28 rad )

38 17. Una onda armónica sinusoidal, transversal y polarizada se propaga en una cuerda en el sentido positivo de las X con una amplitud de 10 cm, frecuencia de 20 Hz y velocidad de 8 m/s. Encuentra: La ecuación de la onda 17.2.-La velocidad de vibración de las partículas en función del tiempo 17.3.-La posición de las mismas. (y = 0.1 Cos (40πt – 5πx) (si se hubiese propagado en el sentido negativo del eje X, el signo dentro de la fase hubiese sido positivo), 5π rad/m, y’ = -4π Sen (40πt – 5πx) (m/s)) 18.- Una onda de frecuencia 500 Hz tiene una velocidad (de fase) de 300 m/s. Calcular: La separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de 60º. 18.2.-Escribir la ecuación de la onda. (π/3k. ) 19.- Una onda viene representada por: f(x,t) = 2 Cos 2π(t/4 - x/60). Determinar: El carácter de la onda. 19.2.-La velocidad de propagación- 19.3.-La diferencia de fase en un instante dado de dos puntos separados 120 cm en dirección de propagación de la onda.