Applications of the Derivative

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Chapter 4 Applications of the Derivative Aplicaciones de la derivada Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

4.1 Maxima and Minima Máximos y mínimos
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Supongo que f esta definida en un intervalo I que contiene a c
Supongo que f esta definida en un intervalo I que contiene a c. Luego, f tiene un máximo absoluto en el intervalo I en el punto c si f(c)>=f(x) para toda x en I. Similarmente, f tiene un mínimo absoluto en el intervalo I en el punto c si f(c) <=f(x) para toda x en I. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

La función f(x)=x2 tiene diferentes extremos absolutos dependiendo del intervalo de interés

No tiene valor máximo absoluto
Mínimo absoluto Mínimo absoluto de 0 en x= y x=1

Teorema de valor extremo
Una función que es continua en un intervalo cerrado tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo

Máximo absoluto Máximo local Mínimo absoluto Mínimo local

Suponga que I es un intervalo en el cual f es definida y c es un punto interior de I. Si f(c)>=f(x) para todo x en algún intervalo que contiene a c, luego f(c) es un máximo local de f. Si f(c)<=f(x) para todo x en algún intervalo abierto que contiene c, luego f(c) en un mínimo local de f. O Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Máximo local en c Pendiente de las líneas secantes >=0 Pendiente de las líneas secantes <=0

Teorema: Teorema de puntos extremos locales
Si f tiene un mínimo o máximo local en c y f’(c) existe. Luego f’(c)=0 Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Un máximo local en c donde f’(c) no existe
Un mínimo local en c donde f’(c) no existe Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

f’(c)=0, pero no existe mínimo/máximo local en c.
f’(c) no existe, pero no hay mínimo/máximo local en c. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Mínimo local (y absoluto)

Procedimiento para localizar los máximos y mínimos absolutos
Asuma que la función f es continua en el intervalo cerrado Localice los puntos críticos en (a,b), donde f’(c)=0 o f’(c) no existe. Estos puntos son los candidatos para máximo y mínimo absoluto. Evalué f en los puntos críticos y en los extremos de Elija el valor más grande y más pequeño de f del paso 2 para el valor máximo y mínimo absoluto

Máximo absoluto en (-2,32) Mínimo local y absoluto en (3/2,-27/16)

What Derivatives Tell Us
4.2 What Derivatives Tell Us Qué nos dicen las derivadas? Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

f tiene un mínimo local en c
f tiene un máximo local en c

Teorema. Test de la primera derivada
Suponga que f es continua en un intervalo que contiene al punto critico c y asuma que f es diferenciable en un intervalo que contiene a c, excepto quizás en c Si f’ cambia de signo positivo a negativo a medida que x incrementa al pasar sobre c, luego f tiene un máximo local en c Si f’ cambia de signo negativo a positivo a medida que x incrementa al pasar sobre c, luego f tiene un mínimo local en c. Si f’ no cambia de signo en t, luego f no tiene valor extremo en c

Teorema. Un extremo local implica un extremo absoluto
Suponga que f es continua en un intervalo I que contiene al punto critico c Si un mínimo local ocurre en c, luego f(c) es el mínimo absoluto de f en I. Si un máximo local ocurre en c, luego f(c) es el máximo absoluto de f en I. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Creciente Decreciente Puntos críticos mínimo

Creciente Decreciente Puntos críticos mínimo máximo

Creciente Decreciente Puntos críticos máximo mínimo

Creciente Decreciente Puntos críticos máximo

Creciente Decreciente Puntos críticos mínimo máximo

Creciente Decreciente Puntos críticos mínimo

f‘(x) disminuye a medida que x incrementa
Cóncava hacia arriba f‘(x) disminuye a medida que x incrementa f‘(x) aumenta a medida que x incrementa Cóncava hacia abajo Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Definición: Concavidad y puntos de inflexión
Sea f un función diferenciable en el intervalo abierto I. Si f´ incrementa en I, luego f es cóncava hacia arriba en I. Si f’ disminuye en I, luego f es cóncava hacia abajo en I. Si f es continua en c y f cambia de concavidad en c (de cóncava hacia arriba a hacia abajo, o viceversa), luego f tiene un punto de inflexión. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Teorema: test de concavidad
Si f’’>0 en I, luego f es cóncava hacia arriba en I Si f’’<0 en I, luego f es cóncava hacia abajo en I Si c es un punto de I en donde f’’(c)=0 and f’’ cambia de signo en c, luego f tiene un punto de inflexión. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

C no es un punto de inflexión
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Punto de inflexión: concavidad cambia en c Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba C no es un punto de inflexión Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Teorema: Test de la segunda derivada para extremos locales
Suponga que f’’ es continua en el intervalo que contiene a c con f’(c)=0 Si f’’(c)>0, luego f tiene un mínimo local en c Si f’’(c)<0 , luego f tiene un máximo local en c Si f’’(c) =0, luego el test no nos permite concluir Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Paso para graficar una función
Identificar el dominio de interés Explotar la simetría de la función Encontrar la primera y la segunda derivadas Encontrar los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión Encontrar los intervalos en los cuales la función esta aumentando/disminuyendo y donde es cóncava hacia arriba/abajo Identifique los valores extremos y puntos de inflexión Localice las asíntotas horizontales/verticales Encuentro los interceptos Realice la grafica Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Incrementa cóncava hacia abajo Disminuye cóncava hacia abajo
Disminuye cóncava hacia arriba Incrementa cóncava hacia arriba Disminuye cóncava hacia arriba Incrementa cóncava hacia arriba Mínimo local Máximo local Mínimo local Punto de inflexión Punto de inflexión Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva 47

Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva
Creciente Decreciente

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

Asíntotas verticales

Encontrar dos números x y y, tal que su suma sea 20 y su producto máximo

Maximizar el volumen de una caja, sujeto a la restricción que 2 veces la base mas la altura es igual a 64.

Puntos clave para el estudio de problemas de optimización
1.Lea el problema cuidadosamente, identifique las variables clave, y organice la informacion en una figura. 2. Identifique la función objetivo (la función a ser optimizada). Escriba esta en términos de las variables del problema. 3. Identifique las restricciones. Escríbalas en términos de las variables del problema 4. Use las restricciones para eliminar todas las variables a excepción de la variable independiente. 5.Con la función objetivo expresada en términos de una sola variable, encuentre el intervalo de interés para esa variable. 6. Use métodos de calculo para encontrar el máximo y mínimo absoluto de la función objetivo en el intervalo de interés.

Teorema. Regla de L’Hospital
Suponga que f y g son diferenciables en el intervalo abierto I que contiene a con g’(x) diferente de 0 en I cuando x es diferente de a. Si , luego Donde el limite de la derecha puede ser finito o infinito. La regla también aplica si el limite cambia de a a infinito, a por la derecha, a por la izquierda Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Teorema. Regla de L’Hospital (infinito sobre infinito)
Suponga que f y g son diferenciables en el intervalo abierto I que contiene a, con g’(x) diferente de 0 en I cuando x es diferente de a. Si , luego Donde el limite de la derecha puede ser finito o infinito. La regla también aplica si el limite cambia de a a infinito, a por la derecha, a por la izquierda Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Procedimiento. Formas indeterminadas 1∞, 00, ∞0
Asuma tiene la forma indeterminada 1∞, 00, ∞0 Evalué Este limite puede ser escrito usualmente en la forma 0/0 o ∞/ ∞, las cuales podemos resolver usando regla de l’Hopital’s Luego Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

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