DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Presentación del tema: "DISTRIBUCIONES MUESTRALES"— Transcripción de la presentación:

1 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

2 Distribución Gamma Definición: La función dada por la relación:
Γ α = 0 ∞ x α−1 e −x dx se conoce como función Gamma. Una variable aleatoria X tiene distribución Gamma si su función de densidad es: f x = x α−1 e − x β β α Γ α ; x> α,β> ; otro caso

3 Distribución Gamma Funciones de densidad gamma para distintos pares de parámetros α, β.

4 Variable aleatoria gamma
Distribución Gamma Resumen Variable aleatoria gamma Función de densidad f x = x α−1 e − x β β α Γ α ; x> α,β> ; otro caso Media μ=αβ Varianza σ 2 =α β 2 Función generatriz de momentos m x t = 1−tβ −α , t< 1 β

5 Distribución Gamma Ejemplo:
Supóngase que el consumo de electricidad X en kilowatts – hora, sigue una distribución gamma con parámetro de forma α=3 y β=3. Encontrar: La media y la varianza de X La probabilidad de que en cierto día el consumo de electricidad sea mayor que 15 kilowatts – hora. La probabilidad de que el consumo diario de electricidad sea de cuando menos 20 kilowatts – hora. La probabilidad de que el consumo por día esté entre 30 y 50 kilowatts – hora.

6 Distribución Gamma Ejemplo:
Supóngase que el consumo de electricidad X en kilowatts – hora, sigue una distribución gamma con parámetro de forma α=3 y β=3. Solución: La media y la varianza de X μ=αβ= 3 3 =9 σ 2 =α β 2 = =27

7 Distribución Gamma Ejemplo:
Supóngase que el consumo de electricidad X en kilowatts – hora, sigue una distribución gamma con parámetro de forma α=3 y β=3. Solución: Con la función de densidad → f x = x α−1 e − x β β α Γ α ; x> α,β> ; otro caso Sustituyendo valores: α=3 y β=3 → f x = x 2 e − x ! ; x> α,β> ; otro caso b) La probabilidad de que en cierto día el consumo de electricidad sea mayor que 15 kilowatts – hora. P X>15 = 15 ∞ f(x) dx= 15 ∞ x 2 e − x dx=0.1247

8 Distribución Gamma Ejemplo:
Supóngase que el consumo de electricidad X en kilowatts – hora, sigue una distribución gamma con parámetro de forma α=3 y β=3. Solución: Con la función de densidad → f x = x α−1 e − x β β α Γ α ; x> α,β> ; otro caso Sustituyendo valores: α=3 y β=3 → f x = x 2 e − x ! ; x> α,β> ; otro caso c) La probabilidad de que el consumo diario de electricidad sea de cuando menos 20 kilowatts – hora. P X≥20 = 20 ∞ f(x) dx= 20 ∞ x 2 e − x dx=

9 Distribución Gamma Ejemplo:
Supóngase que el consumo de electricidad X en kilowatts – hora, sigue una distribución gamma con parámetro de forma α=3 y β=3. Solución: Con la función de densidad → f x = x α−1 e − x β β α Γ α ; x> α,β> ; otro caso Sustituyendo valores: α=3 y β=3 → f x = x 2 e − x ! ; x> α,β> ; otro caso d) La probabilidad de que el consumo por día esté entre 30 y 50 kilowatts – hora. P 30≤X≤50 = f(x) dx= x 2 e − x dx=

10 Funciones de densidad weibull para distintos pares de parámetros α, β.
Distribución Weibull Definición: La variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con una distribución Weibull si su función de densidad es: f x = αx α−1 e − x β α β α ; x≥ α,β> ; otro caso Funciones de densidad weibull para distintos pares de parámetros α, β.

11 Variable aleatoria weibull
Distribución Weibull Resumen Variable aleatoria weibull Función de densidad f x = αx α−1 e − x β α β α ; x≥ α,β> ; otro caso Media μ=Γ 1 α +1 Varianza σ 2 =Γ 2 α +1 − Γ 1 α

12 Distribución Weibull Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulada Weibull con parámetros: α=20 y β=100. Calcular: a) P X≤105 b) P 98≤X≤102

13 Distribución Weibull Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulada Weibull con parámetros: α=20 y β=100. Solución: Con la función de densidad → f x = αx α−1 e − x β α β α ; x≥ α,β> ; otro caso Sustituyendo valores: α=20 y β=100 → f x = 20x 19 e − x ; x≥ α,β> ; otro caso a) P X≤105 = f(x) dx= x 19 e − x dx=0.9296

14 Distribución Weibull Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulada Weibull con parámetros: α=20 y β=100. Solución: Con la función de densidad → f x = αx α−1 e − x β α β α ; x≥ α,β> ; otro caso Sustituyendo valores: α=20 y β=100 → f x = 20x 19 e − x ; x≥ α,β> ; otro caso b) P 98≤X≤102 = f(x) dx= x 19 e − x dx=0.2866

15 Distribución Normal Definición:
La variable aleatoria X se distribuye según una normal con parámetros μ y σ, si la función de densidad de X es: f x = 1 σ 2π e − x−μ σ ; −∞<x<∞ −∞<μ<∞ σ> ; otro caso Se utiliza la expresión: X~N μ, σ 2 para indicar que X es normal con parámetros μ y σ 2 .

16 Funciones de densidad normal para distintos pares de parámetros μ, σ 2 .

17 Variable aleatoria normal
Distribución Normal Resumen Variable aleatoria normal Función de densidad f x = 1 σ 2π e − x−μ σ ; −∞<x<∞ −∞<μ<∞ σ> ; otro caso Media μ Varianza σ 2 Función generatriz de momentos m x t = e tμ+ t 2 σ 2 2

18 Distribución Normal Ejemplo:
La intensidad del viento en m s se distribuye normalmente con parámetros: μ=10 y σ 2 =4. ¿Qué porcentaje (probabilidad) de la intensidad del viento cae entre 9 y 14 m s ? Con la función de densidad → f x = 1 σ 2π e − x−μ σ ; −∞<x<∞ −∞<μ<∞ σ> ; otro caso Sustituyendo valores: μ=10 σ 2 =4 → f x = e − x− π ; −∞<x<∞ −∞<μ<∞ σ> ; otro caso P 9<X<14 = 9 14 f(x) dx= e − x− π dx=0.6687=66.87% Solución:

19 Distribución Lognormal
Definición: Una variable aleatoria X se dice que es lognormal si: log X ~N μ, σ 2 Si X es variable aleatoria lognormal, entonces su función de densidad es: f x = 1 xσ 2π e − log(x)−μ σ ; x> σ> ; otro caso

20 Variable aleatoria lognormal
Distribución Lognormal Resumen Variable aleatoria lognormal Función de densidad f x = 1 xσ 2π e − log(x)−μ σ ; x> σ> ; otro caso Media μ x = e μ+ σ ; μ=Media de log X . Varianza σ x 2 = e σ 2 −1 e 2μ+ σ 2 ; μ y σ=Media y desviación estándar de log X .

21 Distribución Lognormal
Ejemplo: La variable aleatoria X tiene una distribución lognormal con μ=10 y σ 2 =4. Calcular: a) El promedio y la varianza. b) P X≤1000

22 Distribución Lognormal
Ejemplo: La variable aleatoria X tiene una distribución lognormal con μ=10 y σ 2 =4. Solución: El promedio y la varianza μ x = e μ+ σ = e 10+2 = e 12 = σ x 2 = e σ 2 −1 e 2μ+ σ 2 = e 4 −1 e 20+4 = e 4 −1 e 24 = x

23 Distribución Lognormal
Ejemplo: La variable aleatoria X tiene una distribución lognormal con μ=10 y σ 2 =4. Con la función de densidad →f x = 1 xσ 2π e − log(x)−μ σ ; x> σ> ; otro caso Sustituyendo valores: μ=10 σ 2 =4 → f x = e − log⁡(x)− x2 2π ; −∞<x<∞ −∞<μ<∞ σ> ; otro caso b) P X≤1000 = f(x) dx= e − log⁡(x)− x2 2π dx=0.0610 Solución:

24 Distribución ji-cuadrada
Definición: Sea Z 1 , Z 2 , Z 3 ,…, Z k variables aleatorias independientes con distribución normal estándar, entonces la variable aleatoria dada por: X= Z 1 2 , Z 2 2 , Z 3 2 ,…, Z k 2 tiene una distribución conocida como ji-cuadrada con υ=k grados de libertad. Sea X la variable aleatoria ji-cuadrada con υ=k grados de libertad =n−1; donde: n es el tamaño de la muestra; entonces su función de densidad es: f k x = k 2 Γ k 2 x k 2 −1 e − x ; x≥ ; otro caso

25 Variable aleatoria ji-cuadrada
Distribución ji-cuadrada Resumen Variable aleatoria ji-cuadrada Función de densidad f k x = k 2 Γ k 2 x k 2 −1 e − x ; x≥ ; otro caso Media μ=k Varianza σ 2 =2k Función generatriz de momentos m x t = 1−2t − k 2 ; t< 1 2

26 Distribución ji-cuadrada
Ejemplo: Sea X una variable aleatoria ji-cuadrada con 9 grados de libertad, encontrar el valor de k tal que: a) P(X>k)=0.025 b) P X<k =0.025

27 𝛂 Distribución ji-cuadrada Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria ji-cuadrada con 9 grados de libertad, encontrar el valor de k tal que: Solución: a) P(X>k)=0.025 En la tabla de la distribución ji-cuadrada se busca el valor de α=0.025 En la columna de grados de libertad se localiza el 9. 𝛂

28 𝛂 Distribución ji-cuadrada Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria ji-cuadrada con 9 grados de libertad, encontrar el valor de k tal que: Solución: a) P(X>k)=0.025 En la tabla de la distribución ji-cuadrada se busca el valor de α=0.025 En la columna de grados de libertad se localiza el 9. El cruce de fila y columna es el valor buscado: k=19.023 P X> =0.025 𝛂

29 Distribución ji-cuadrada
Ejemplo: Sea X una variable aleatoria ji-cuadrada con 9 grados de libertad, encontrar el valor de k tal que: Solución: b) Para P X<k = se utiliza el complemento → P X<k =1−P X>k =0.025 ∴P X≥k =0.975 En tabla se busca el valor de α=0.975 En la columna de grados de libertad se localiza el 9. El cruce de fila y columna es el valor buscado: k=2.700 P X<2.7 =0.025

30 Distribución t de Student
Definición: Sea X y Y variables aleatorias independientes, tales que X~N 0, 1 y Y~ji−cuadrada con n grados de libertad, entonces la variable: W= X Y n es una variable t de Student con n grados de libertad. Los grados de libertad corresponden a los grados de libertad de la ji-cuadrada del denominador.

31 Distribución t de Student
Ejemplo: Sea X una variable aleatoria distribuida como t de Student con 10 grados de libertad, encontrar la probabilidad: a) P(X<k)=0.95 b) P X>k =0.05

32 𝛂 Distribución t de Student Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria distribuida como t de Student con 10 grados de libertad, encontrar la probabilidad: Solución: a) P(X<k)=0.95 En la tabla de la distribución t de Student se busca el valor de α=0.95 En la columna de grados de libertad se localiza el 10. 𝛂 El cruce de fila y columna es el valor buscado: k=1.812 P(X<1.812)=0.95

33 Distribución t de Student
Ejemplo: Sea X una variable aleatoria distribuida como t de Student con 10 grados de libertad, encontrar la probabilidad: Solución: b) Para P X>k =0.05 se utiliza el complemento → P X>k =1−P X<k =0.05 ∴P X≤k =0.95 Se llega al resultado del inciso anterior: k=1.812 ∴P(X>1.812)=0.05

34 Distribución F Definición:
Sea X 1 y X 2 variables aleatorias independientes con distribución ji-cuadrada con grados de libertad v 1 y v 2 , respectivamente; entonces, la variable aleatoria: F= X 1 v X 2 v 2 tiene distribución F con v 1 y v 2 grados de libertad. Los grados de libertad son los de las variables ji- cuadrada que están en el numerador y denominador.

35 Distribución F Ejemplo:
Encontrar el valor de k en: P X>k =0.05 para v 1 =6 y v 2 =10: Solución: Grados de libertad: v 1 =6 v 2 =10 α=0.05 De la tabla de distribución F El cruce de fila y columna es el valor buscado: k=3.22 ∴P X 6, 10 >3.22 =0.05