Tema 8: Integrales y sus aplicaciones

Tema 8: Integrales y sus aplicaciones
08/11/2018 Tema 8: Integrales y sus aplicaciones Empezaremos el tema con un pequeño guión-índice de los aspectos más importantes que trataremos durante este nuevo tema. Espero que te pueda servir de algo y ante cualquier duda no dudes en consultarme. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Integrales y sus aplicaciones Integrales indefinidas Primitiva de una función. Integral indefinida. Operaciones en la integral. Método de integración: Integración mediante tabla. Cambio de variable. Integrales definidas Área bajo una curva (Integral definida) Propiedades de la integral definida. Regla de barrow Problemas aplicados. Área limitada por una función, las rectas x=a, x=b y el eje y. Área limitada por dos funciones y las rectas x=a y x=b. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Integrales y sus aplicaciones Integral indefinida Propiedades: Por integrales inmediatas Tabla de integrales inmediatas. utilizamos Métodos de integración Cambio de variables Regla de la cadena. Por partes Utilizamos la fórmula 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida
08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. NOTACIÓN. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Primitiva de una función. Notación.
08/11/2018 Tema 8: Primitiva de una función. Notación. La operación que consiste en obtener f´(x) a partir de la función f(x) se denomina derivación. La operación inversa a la derivación se denomina integración. Función Primitiva de f(x) Función derivada derivación integración Diremos por tanto, que una función F es una primitiva de f si y solo sí F´(x)=f(x) 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Primitiva de una función. Notación. Veamos algunos ejemplos de la primitiva de una función: Constantes de integración 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Primitiva de una función. Notación. Encuentra las primitivas de la función: Elige las posibles primitivas Indica cual de las primitivas anteriores pasa por el punto (0,1) 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida INTEGRAL INDEFINIDA 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Integral indefinida.
08/11/2018 Tema 8: Integral indefinida. La integral indefinida de una función f es el conjunto de todos las primitivas de f, y se representa por: Se lee: - Integral de f(x) diferencial de x - C es un número cualquiera y se denomina constante de integración Ejemplos de aplicación. Halla la integral indefinida de la función. Si queremos calcular la primitiva que pasa por el punto (0,-2) 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Integral indefinida.
08/11/2018 Tema 8: Integral indefinida. Ejemplos de aplicación. Halla la integral indefinida de la función. Si queremos calcular la primitiva que pasa por el punto (0,-3) La primitiva que pasa por dicho punto tiene la expresión siguiente: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida OPERACIONES EN LA INTEGRAL INDEFINIDA 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Operaciones en la integral indefinida.
08/11/2018 Tema 8: Operaciones en la integral indefinida. Las siguientes propiedades son las que hemos utilizado también en el tema de derivadas. Nota: La integral de un producto y una división no tiene una fórmula para resolverlas. Debemos utilizar uno de los siguientes métodos de integración. Integración mediante tabla de integrales inmediatas. Integración por cambio de variable. Integración por partes. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Métodos de integración.
08/11/2018 Tema 8: Métodos de integración. En general, el cálculo de una integral indefinida depende del tipo de función que integramos. Por este motivo, existe una gran variedad de métodos de integración. Veremos, en este curso los siguientes: Integración mediante tabla de integrales inmediatas. Integración por cambio de variable. Integración por partes. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Utilizando las integrales inmediatas
08/11/2018 Tema 8: Utilizando las integrales inmediatas Consiste en transformar la función dada, mediante la operatoria matemática, en funciones que se encuentran en la siguiente tabla. Tabla de integrales inmediatas 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Utilizando las integrales inmediatas
08/11/2018 Tema 8: Utilizando las integrales inmediatas Para ver como se utiliza la tabla de integrales inmediatas, veamos los siguientes ejemplo: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Métodos de integración.
08/11/2018 Tema 8: Métodos de integración. En general, el cálculo de una integral indefinida depende del tipo de función que integramos. Por este motivo, existe una gran variedad de métodos de integración. Veremos, en este curso los siguientes: Integración mediante tabla de integrales inmediatas. Integración por cambio de variable. Integración por partes. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Integración por cambio de variable
08/11/2018 Tema 8: Integración por cambio de variable Este método consiste en introducir una variable t, que sustituye a una expresión apropiada en función de x, de forma que la integral se transforme en otra de variable t, más fácil de integrar. No existe ningún método para utilizar el cambio apropiado, la mejor manera es realizando muchas integrales. Ejemplos de aplicación: a) 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Integración por cambio de variable b) c) 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Integración por cambio de variable Ejercicio: Practica la integración por cambio de variable realizando los siguientes ejercicios: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida ÁREA BAJO LA CURVA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida)
08/11/2018 Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida) El área entre la gráfica de la función f(x) y el eje X en el intervalo [a,b] se designa por: Ejemplo: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida) Si la curva está por encima del eje X, la integral es positiva (área positiva). En caso contrario diremos que la integral es negativa. Para entender dicho concepto de área bajo una curva, es decir, una integral definida, veamos los siguientes ejemplos gráficos: Ejemplo 1º. Calcula el área que encierra la curva f(x)=-x/3+1 y el eje x. Para ello, lo primero que vamos a realizar es su representación gráfica. Para ello, utilizando La tabla de valores, se obtiene la gráfica. x 1 3 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida) 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida PROPIEDADES. REGLA DE BARROW 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Propiedades. Regla de Barrow
08/11/2018 Tema 8: Propiedades. Regla de Barrow Hemos trabajado la idea de aparición del concepto de integral. Veamos ahora, una regla que hemos utilizado ya aunque no la hemos nombrado así como una serie de propiedades que recordaremos de la integral indefinida que también se verifican para la integral definida. Las propiedades que vamos a utilizar son las siguientes: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Propiedades. Regla de Barrow 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Propiedades. Regla de Barrow En la práctica, el procedimiento para calcular la integral definida se denomina regla de Barrow (Matemático inglés del silo XVII) Veamos algunos ejemplos-ejercicios sobre la regla de Barrow en las siguientes páginas. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Ejemplo 1 de la regla de Barrow
08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 1 de la regla de Barrow 1.- Ejemplo de la regla de Barrow: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 2 de la regla de Barrow 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 3 de la regla de Barrow Calcula la integral siguiente Observa en la siguiente gráfica, como debemos calcular dos áreas distintas para los dos pedazos de funciones. -x X2+1 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 3 de la regla de Barrow Debemos aplicar la propiedad de las integrales definidas, que nos dice: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 4 de la regla de Barrow Calcula la integral siguiente Observa en la siguiente gráfica, como debemos calcular dos áreas distintas para los dos pedazos de funciones. Calcula tu el área. -x+1 X2+1 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 5 de la regla de Barrow Calcula la integral siguiente Observa en la siguiente gráfica, como debemos calcular dos áreas distintas para los dos pedazos de funciones. Calcula tu el área. 1 -x+1 x2+1 f(x)=-x+1 f(x)=x2+1 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 6 de la regla de Barrow Calcula la integral siguiente Observa en la siguiente gráfica, como debemos calcular tres áreas distintas para los dos pedazos de funciones porque tenemos un pedazo que nos queda por debajo del eje de las x (es negativa por tanto). Mira la gráfica siguiente y como lo vamos a calcular y date cuenta de lo importante que es en este caso la representación gráfica. 2 -x+1 x2+1 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 6 de la regla de Barrow 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Ejemplo 6 de la regla de Barrow Mira como calculamos el área total de la gráfica a trozos: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida PROBLEMAS APLICADOS DE INTEGRALES 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida Para calcular el área bajo una curva hay que tener en cuenta: La representación gráfica de la función. (rectas y parábolas). La delimitación del recinto cuya área deseamos calcular. Estudio del signo de la función f en el intervalo correspondiente. Este tercer apartado es uno de los más importantes, para ello quiero que observes las siguientes diapositivas 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Cálculo del área de función positiva
08/11/2018 Tema 8: Cálculo del área de función positiva 1º) Si f es positiva en el intervalo [a,b], es decir, que la zona rayada se encuentre por encima del eje X, el área del recinto se calcula: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Cálculo del área de función positiva Ejemplo de función positiva. Halla el área de la zona limitado por la gráfica de la función f(x) = -x2 + 4x y el eje OX. Lo primero que debemos hacer es la representación gráfica. Date cuenta que se trata de una parábola convexa porque el coeficiente a = -1<0. Con eso determinamos que la región que queremos calcular, después de calcular el vértice y los puntos de corte, está comprendida entre los valores [0,3]. Vemos además que el área es positiva, es decir, la zona rayada se encuentra por encima del eje X. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Cálculo del área de función positiva Veamos por tanto como se calcula dicha área utilizando para ello la integral definida. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Cálculo del área de función negativa
08/11/2018 Tema 8: Cálculo del área de función negativa 2º) Si f es negativa en el intervalo [a,b], es decir, que la zona rayada se encuentre por debajo del eje X, el área del recinto se calcula: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Cálculo del área de función negativa Ejemplo de función positiva. Halla el área de la zona limitado por la gráfica de la función f(x) = x y el eje OX. Lo primero que debemos hacer es la representación gráfica. Date cuenta que se trata de una parábola cóncava porque el coeficiente a = 1>0. Con eso determinamos que la región que queremos calcular, después de calcular el vértice y los puntos de corte, está comprendida entre los valores [0,2]. Vemos además que el área es negativa, es decir, la zona rayada se encuentra por debajo del eje X. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Cálculo del área de función negativa Veamos por tanto como se calcula dicha área utilizando para ello la integral definida. OJO con el signo 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 3º) Si f es cambia de signo en el intervalo [a,b], es decir, que la zona rayada se encuentre por encima y por debajo del eje X, el área del recinto se calcula: Observa que el área A1 es positiva mientras que el área A2 es negativa por lo que tenemos que ponerle el menos delante de la integral. - 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Cálculo del área de función + y -
08/11/2018 Tema 8: Cálculo del área de función + y - Ejemplo de función positiva. Halla el área de la zona limitado por la gráfica de la función f(x) = x3 -3x y el eje OX. Lo primero que debemos hacer es la representación gráfica. Date cuenta que se trata de una parábola doble. Con eso determinamos que la región que queremos calcular, después de calcular los vértices y los puntos de corte, está comprendida entre los valores [-3,3]. Vemos además que el área es positiva en el intervalo [-3,0] y negativa en el intervalo [0,3] , es decir, hay zona rayada por encima y debajo del eje X. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Cálculo del área de función + y -
08/11/2018 Tema 8: Cálculo del área de función + y - Veamos por tanto como se calcula dicha área utilizando para ello la integral definida. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Nicolás Manuel Hdez Rguez
Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b 08/11/2018 Normalmente nos van a pedir el área encerrada entre las dos gráficas de dos funciones f(x) y g(x). Para entender dicho concepto, observa la siguiente figura. Los pasos para resolver este tipo de problemas son los siguientes: Hallamos los puntos de corte de las dos gráficas, es decir. f(x) = g(x) Determinar los valores que entran dentro del intervalo de estudio. Observa los casos que debemos conocer con los siguientes ejemplos. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b 08/11/2018 Ejemplo 1: Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x) = x2 + x - 2 y g(x) = 2·x Lo primero que hacemos es calcular los puntos de corte entre las dos gráficas. f(x) = g(x)  x2 + x – 2 = 2·x x2- x -2 = 0 Si resolvemos la ecuación de 2º grado obtenemos los valores x = -1 , x = 2 como podemos ver en la gráfica. Además, la gráfica que está por encima es la de g(x). Por tanto calculamos la siguiente integral: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b 08/11/2018 Ejemplo 2: Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x) = -x2 +1 y g(x) = x2-1 f(x)=-x2+1 g(x)=x2 -1 Lo primero que hacemos es calcular los puntos de corte entre las dos gráficas. f(x) = g(x)  -x2 +1 = x2-1 -x2+1 = 0 Si resolvemos la ecuación de 2º grado obtenemos los valores x = -1 , x = 1 como podemos ver en la gráfica. Además, la gráfica que está por encima es la de f(x). Por tanto calculamos la siguiente integral: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b 08/11/2018 Ejemplo 3: Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x) = 2 y g(x) = x2+1 Lo primero que hacemos es calcular los puntos de corte entre las dos gráficas. f(x) = g(x)  2 = x2+1 x2-1 = 0 Si resolvemos la ecuación de 2º grado obtenemos los valores x = -1 , x = 1 como podemos ver en la gráfica. Además, la gráfica que está por encima es la de f(x). Por tanto calculamos la siguiente integral: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b 08/11/2018 Ejemplo 4: Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x) = x3+1 y g(x) = x+1 Lo primero que hacemos es calcular los puntos de corte entre las dos gráficas. f(x) = g(x)  x3+1=x+1 x3-x = 0 Si resolvemos la ecuación de 3er grado obtenemos los valores x = -1,x = 0,x = 1 como podemos ver en la gráfica. Además, la gráfica que está por encima es la de f(x) en el intervalo [-1,0] y en el intervalo [0,1] está por debajo. Por tanto calculamos la siguiente integral: 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

08/11/2018 Tema 8: Integrales y sus aplicaciones Agradecería cualquier sugerencia que pudieras realizar para poder mejorar las explicaciones. Para ello contacta conmigo personalmente o a través del correo. 08/11/2018 Nicolás Manuel Hdez Rguez

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