2010 DINAMICA DE UNA PARTÍCULA CURSO: FISICA I UNIVERSIDAD NACIONAL

2010 DINAMICA DE UNA PARTÍCULA CURSO: FISICA I UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA I DINAMICA DE UNA PARTÍCULA AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010

I. INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior se estudio el movimiento de partículas sin tener en cuenta las causas que la producen. En este capítulo se estudiará el movimiento teniendo en cuenta las causas que la producen, respondiendo a preguntas como ¿qué mecanismo produce el movimiento?; ¿Porqué un cuerpo lanzado sobre una superficie se detiene?, etc. Por nuestra experiencia se sabe que el movimiento es el resultado de su interacción con otros cuerpos. Para esto se usa el concepto de fuerza

I. INTRODUCCIÓN La cinética básicamente estudia la relación entre las fuerzas y los cambios que originan en el movimiento de las partículas. Es decir la cinética estudia el movimiento teniendo en cuenta las causas que la producen

II. OBJETIVOS Estudiar la segunda ley de Newton del movimiento y la ley de Gravitación universal y definir la masa y el peso. Analizar el movimiento acelerado de una partícula usando las ecuaciones de movimiento con diferentes sistemas de coordenadas. Investigar el movimiento bajo una fuerza central y aplicarlos a la solución en el espacio mecánico

III. CONCEPTO DE FUERZA La idea de fuerza está asociada a muchas actividades del quehacer cotidiano. Por ejemplo halar de la cuerda para subir un bloque, golpear la pelota con el bate. Estos ejemplos muestran que la fuerza está asociada a una actividad muscular.

III. CONCEPTO DE FUERZA Sin embargo, en la naturaleza existen fuerzas que no producen movimiento macroscópico . Un ejemplo es la fuerza de gravedad que actúa sobre un cuerpo ubicado sobre una mesa, o la fuerza de gravedad sobre un auto en reposo

III. CONCEPTO DE FUERZA ¿Qué fuerza hace que un cuerpo celeste distante vague libremente por el espacio ?. Newton dio respuesta a esta inquietud señalando que el cambio en la velocidad es provocado por una fuerza. Por tanto diremos que la fuerza es la causa capaz de producir un cambio en la velocidad, es decir produce aceleración. Por otro lado, diremos que si sobre una partícula actúan varias fuerzas el cuerpo se acelerara si la resultante es diferente de cero. Debe señalarse además que si la fuerza actúa sobre un cuerpo produce deformaciones las mismas que pueden llegar a ser permanentes o no

IV. FUERZAS DE LA NATURALEZA
FUERZAS DE CONTACTO. Aparecen cuando los cuerpos en interacción están en contacto mecánico directo . Son el resultado de las fuerzas entre las moléculas de los cuerpos en interacción . Son ejemplos las fuerzas en resorte, cables, etc

FUERZAS DE CONTACTO. En todos los casos, estas fuerzas están distribuidas en una región. Si el área de contacto es pequeña se dice que la fuerza es concentrada. En caso contario pueden ser linealmente distribuidas o superficialmente distribuidas

FUERZAS DE CUERPO. Pueden ser: Gravitacionales Es la más débil de las cuatro interacciones Se considera despreciable si las partículas en interacción son electrones, protones, neutrones, etc. Es de gran importancia cuando se analiza cuerpos de gran masa tales como planetas satélites, estrellas Son de carácter atractivo La ley establece

FUERZAS DE CUERPO. Pueden ser: ELECTROMAGNÉTICAS. Incluyen a las fuerzas eléctricas y magnéticas La fuerza eléctrica es originada por las cargas eléctricas, siendo de atracción o de repulsión. La fuerza magnética es originada por cargas eléctricas en movimiento. Son de origen dipolar y también son de atracción y repulsión

FUERZAS DE CUERPO. Pueden ser: LA INTERACCIÓN NUCLEAR FUERTE. Tienen lugar entre partículas fundamentales llamadas hadrones (protones, neutrones) Es la que mantiene a los protones en el núcleo Son de corto alcance decreciendo rápidamente con la distancia

FUERZAS DE CUERPO. Pueden ser: D. LA INTERACCIÓN NUCLEAR DÉBIL. también son de corto alcance, Tienen lugar entre electrones y protones Es la responsable de la desintegraciones radioactivas

V. MARCOS DE REFERENCIA MARCO DE REFERENCIA INERCIAL
Lugar del espacio que se considera en reposo o con MRU, en donde en forma real o imaginaria se ubica un observador quien estudiara el movimiento

V. MARCOS DE REFERENCIA MARCO DE REFERENCIA NO INERCIAL
Lugar del espacio que tiene un movimiento con aceleración. Este marco se usa cuando desde tierra que el cuerpo posee dos aceleraciones . Para estos marcos no se cumplen las leyes de Newton

VI. MOMENTUM LINEAL Es una cantidad vectorial definida como el producto de la masa por la velocidad. Es una cantidad importante que combina dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula su masa y velocidad.

VII. CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM LINEAL
Considere dos partículas aisladas sujetas a su interacción mutua como se ve en la figura. Debido a la interacción sus velocidades cambian Sus trayectorias son curvas. El momento del sistema en el instante t es El momento del sistema en el instante t’ es

Cuando el sistema es aislado se cumple El momento de un sistema de dos partículas sujetas sólo a su interacción mutua permanece constante Aún cuando este principio ha sido demostrado para dos partículas se cumple para cualquier sistema de partículas Es decir

Analizando la ecuación de conservación del momento se ve que el cambio de momento de una partícula en un intervalo de tiempo t es igual y opuesto al cambio de momento de la otra. Es decir una interacción produce un intercambio de momento, o el momento ganado por una es igual al momento perdido por la otra

VIII. MASA INERCIAL 8.1 INERCIA. Resistencia que ofrece un cuerpo a cambiar su estado de reposo o movimiento. Por ejemplo se requiere mayor esfuerzo para mover un bloque metálico que uno de madera aún cuando ambos tienen la mismas dimensiones. Es decir el cuerpo metálico tiene mayor inercia 8.2 MASA Es una propiedad intrínseca de la materia que mide su inercia o su resistencia a la aceleración. Para medirla basta comparar las aceleraciones que produce una fuerza a dos cuerpos diferentes. Si dicha fuerza produce aceleraciones a cada cuerpo, la razón entre masas es

IX. SEGUNDA LEY DE NEWTON
La primera ley de Newton explica lo que le sucede a un cuerpo cuando su resultante de fuerzas que actúa sobre ella es nula. La segunda ley de Newton responde a la pregunta ¿qué le sucede a un cuerpo cuando su resultante es diferente de cero Para determinar dicha ley dividamos al intercambio de momento entre el intervalo de tiempo Es decir las variaciones temporales respecto del tiempo de l momento de las partículas son iguales en magnitud pero direcciones opuestas Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero se tiene

IX. SEGUNDA LEY DE NEWTON
Designase al cambio temporal del momento como fuerza sobre un cuerpo. Se tiene Esta ecuación establece que “la razón de cambio del momento lineal de una partícula es igual a la fuerza que actúa sobre ella Teniendo en cuenta que La fuerza se expresa Cuando la masa m permanece constante Es decir la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración siempre y cuando la masa permanezca constante

X. Fuerza debido a la gravedad
La fuerza más común es la debida a la atracción gravitacional entre la tierra y los cuerpos situados muy cerca de ella. Esta fuerza se denomina peso W. Esta fuerza siempre se encuentra dirigida hacia el centro de la tierra. Es decir Debido a que W depende de g el peso varia según la ubicación geográfica

XI. TERCERA LEY DE NEWTON
La tercera ley de Newton establece Si dos cuerpos interactúan mutuamente entre sí, la fuerza que ejerce uno de los cuerpos sobre el otro es igual y opuesta a la fuerza que ejerce el segundo sobre el primero

XII. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Si una partícula de masa m interactúa con otras m1, m2,…… mn, aparece un sistema de fuerzas actuando sobre m. Cuando m es constante En componentes rectangulares se escribe

XIII. FUERZAS DE FRICCIÓN
1. NATURALEZA DE LA FRICCIÓN. La fricción es una fuerza tangente a las superficies de contacto entre cuerpos que tiende a resistir el deslizamiento relativo entre ellos. Se debe a la interacción molecular de las superficies en contacto. Algunas veces se llama adhesión o cohesión En la figura se observa la vista microscópica de dos superficies en contacto

2. CLASES DE FRICCIÓN. ROZAMIENTO SECO También llamado de coulomb , aparece cuando las superficies en contacto son secas. Este rozamiento puede ser: (a) Estático. Aparece cuando las superficies en interacción están en reposo relativo. (b) Cinético. Aparece cuando las superficies en interacción están en movimiento relativo.

2. CLASES DE FRICCIÓN. ROZAMIENTO HUMEDO Se presenta entre capas de fluidos que se mueven a distintas velocidades. Es de importancia cuando se considera el movimiento de fluidos en tubos. También es de importancia cuando se estudia el movimiento de mecanismos lubricados.

2. CLASES DE FRICCIÓN. ROZAMIENTO HUMEDO También se observa rozamiento fluido cuando un cuerpo sólido de mueve en un fluido.

2. CLASES DE FRICCIÓN. ROZAMIENTO POR RODADURA Aparece cuando los cuerpos en interacción tienen un movimiento relativo de rodadura La rueda del tractor gira a la vez que se traslada.

XIV. ROZAMIENTO SECO Cuando un cuerpo se mueve o tiende a moverse por la aplicación de fuerzas, aparece una fricción estática o cinética. La fuerza de fricción estática entre cuerpos aumenta en magnitud en la misma forma que lo hace la fuerza externa. La fuerza de fricción cinética varía con la velocidad.

XIV. ROZAMIENTO SECO Cuando el bloque se encuentra en la superficie horizontal actúan su peo W y la reacción normal. Al aplica P, en la superficie de contacto aparece una fuerza de fricción estática. Conforme P se incrementa la fricción estática también aumenta hasta alcanzar un valor máximo. Al seguir aumentando P llega un instante en que comienza a moverse el cuerpo disminuyendo la fricción

XIV. ROZAMIENTO SECO: Leyes de la fricción
En la tabla se muestran los coeficientes de fricción estática para algunas superficies en contacto La máxima fuerza de fricción estática es. La fuerza de fricción cinética es. La fuerza de fricción estática máxima y la fricción cinética son: 1. Proporcionales a la reacción normal 2. Dependen de las condicione de las superficies en contacto 3. Ambas fuerzas son independientes del área de contacto 4. La fricción cinética es independiente de la velocidad relativa para velocidades moderadas.

XIV. ROZAMIENTO SECO: Coeficiente de fricción
Se observa que Los valores de cada uno de los coeficientes de fricción están en el rango Se define como la razón entre la fuerza de fricción y la reacción normal. Se determinan experimentalmente Dependen de los materiales de los cuales están hechos las superficies y del estado de las superficies

XIV. ROZAMIENTO SECO: Angúlo de fricción
Cuando un cuerpo está en contacto con una superficie pueden ocurrir cuatro situaciones No hay fricción Px = 0 No hay movimiento Px < Fs Inicio del movimiento Px =Fmax Movimiento relativo Px > Fk

ANGULOS DE FRICCIÓN A veces es conveniente remplazar la fuerza normal N y la fuerza de fricción por su resultante R No hay movimiento Movimiento inminented No hay fricción Movimienton

ANGULOS DE FRICCIÓN Si el bloque se encuentra en una superficie inclinada No hay movimiento Movimienton No hay fricción Movimiento inminented

EJEMPLO 01 La caja de 50 kg reposa sobre una superficie horizontal para el cual el coeficiente de fricción cinética es μk = 0.3. Si a la caja se le aplica una fuerza constante de 400 N. Determine la velocidad de la caja después de 3 s

EJEMPLO 02 Se empuja un bloque de 26 kg de masa hacia arriba por un plano inclinado con una fuerza horizontal cuyo módulo es constante e igual a P = 260 N, como se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano inclinado es k = 0,25. Si v0 = 0, y x = 0 cuando t = 0. Determine: (a) La aceleración del bloque, (b)El tiempo que tarda el bloque en recorrer 10 m sobre el plano inclinado, (c)La velocidad del bloque cuando éste haya recorrido 5 m.

EJEMPLO 03 Las masas de los cuerpos A y B son 30 kg y 5 kg, respectivamente. Si el coeficiente de fricción entre el cuerpo A y la superficie horizontal es k = 0,20. Determine la magnitud de la fuerza F que causa una aceleración del sistema de tal manera que la cuerda que sostiene al cuerpo B forma un ángulo constante de  = 20°.

EJEMPLO 04 Un proyectil de 10 kg es lanzado verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad uncial de 50 m/s. Determine la máxima altura a la cual llegará si: (a) Se desprecia la resistencia del aire y, (b) la fuerza de rozamiento debido al aire es

EJEMPLO 05 El bloque indicado en la figura tiene una masa de 50 kg y se encuentra sometido a la acción de una fuerza variable P = (25t) N. determine la velocidad del bloque 4 s después de la aplicación de P. La velocidad inicial es 1 m/s y el coeficiente de fricción cinética es 0,25

EJEMPLO 06 Un collar liso C de 2 kg está unido a un resorte de constante k = 3 N/m y longitud sin deformar de 0,75 m. Si el collar se suelta desde el reposo en A, determine la rapidez del collar cuando este pasa por la posición C distante y = 1 m. desprecie el rozamiento entre el collar y la varilla vertical

EJEMPLO 07 El cilindro A de 100 kg es liberado desde el reposo. Despreciando la fricción y el peso de las poleas y cables. Determine la velocidad del cilindro B de 20 kg después de 2 segundos

EJEMPLO 08 Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque A y la superficie horizontal es k = 0,2. Determine la magnitud de la fuerza que haría que el bloque A acelere hacia la derecha a 5 m/s2. Desprecie la masa de las poleas y de los cables.

Ejemplo 09 Los dos bloques mostrados en la figura se encuentran en reposo al principio. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas, y suponiendo que los componentes de fricción entre ambos bloque y la pendiente son s = 0,25 y k = 0,20. determine: (a) la aceleración de cada bloque, (b) la tensión en el cable

Ejemplo 10 El bloque B de 30 lb está sostenido mediante un bloque A de 55 lb y unido a una cuerda a la cual se aplica una fuerza horizontal de 50 lb, como se muestra en la figura. Sin tomar en cuenta la fricción, determine: (a) la aceleración del bloque A y (b) la aceleración del bloque B relativa a A.

Ejemplo 11 El bloque A pesa 80 lb y el bloque B 16 lb. Los coeficientes de fricción entre todas las superficies de contacto son s = 0,20 y k = 0,15. Si la fuerza horizontal P = 10 lb. Determine: (a) la aceleración del bloque B y (b) la tensión en el cale

Ejemplo 12 El bloque B de 10 kg está sostenido por el bloque A de 40 kg el cual se jala hacia arriba sobre el plano inclinado mediante una fuerza constante de 500 N: si se ignora la fricción entre el bloque y la pendiente y el bloque B no resbala sobre el bloque A. Determine el valor mínimo permisible del coeficiente d fricción estática entre bloques.

Ejemplo 13 Un bloque A de 25 kg descansa sobre una superficie inclinada y un contrapeso B de 15 kg se une al cable en la forma indicada. Si se ignora la fricción. Determine la aceleración de A y la tensión en el cable inmediatamente después de que el sistema empieza a moverse desde el reposo

Ejemplo 14 Si los coeficientes de fricción estático y cinético entre el bloque A de 20 kg y el carro B de 100 kg son esencialmente los mismos y de valor 0,50. Determine la aceleración de cada cuerpo si: (a) P = 60 N y (b) P = 40 N

Ejemplo 15 Las correderas A y B están conectadas mediante una barra rígida liviana de longitud L = 0,5 m y se mueven sin rozamiento por guías horizontales. Para la posición xA = 0,4 m la velocidad de A es vA = 0,9 m/s hacia la derecha. Determine: (a) la aceleración de cada corredera y (b) la fuerza en la barra en ese instante.

Ejemplo 16 El Bloque A de 4 kg mostrado en la figura se conecta al bloque B de 8 kg mediante una cuerda de 1,5 m que pasa por la polea lisa ubicada en C. la ranura horizontal es lisa. Cuando x = 0,8 m la velocidad del bloque B es 1,2 m/s hacia la derecha. Sabiendo que la fuerza P tiene una magnitud de 50 N y es horizontal todo el tiempo, determine: (a) la aceleración del bloque B y (b) la tensión en la cuerda.

Ejemplo 17 Un bloque A de 10 kg de masa descansa sobre un segundo bloque B de 8 kg de masa. Una fuerza F igual a 100 N empuja el bloque A. El coeficiente de rozamiento entre A y B es de 0,50 y entre B y el terreno de 0,10. ¿Cuál será la velocidad bloque A relativa al bloque B después de 0,1 s si el sistema parte del reposo.

Ejemplo 18 El bloque A tiene una masa de 30 kg tiene una masa de 30 kg y el bloque B tiene una masa de 15 kg. Los coeficientes de rozamiento entre todas las superficies de contacto son μS = 0,15 y μK = 0,10. Sabiendo que θ = 30º y que el módulo de la fuerza P aplicada al bloque A es 250 N. Halle: (a)La aceleración del cloque A y (b)La Tensión en la cuerda.

Ejemplo 19 Una barra B de 500 kg descansa sobre un bloque A de 50 kg de masa. Una fuerza F de 10 kN se aplica de repente sobre el bloque A en la posición mostrada. Si el coeficiente de rozamiento cinético para todas las superficies en contacto es de 0,40. ¿Cuál será la velocidad de A cuando éste se haya movido 3 m hacia el extremo de la barra?

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CURVILINEO: Componentes tangencial y normal
Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva es más conveniente expresar las ecuaciones de movimiento en componentes normal y tangencial. La componente normal siempre está dirigida hacia el centro de curvatura. Mientras que la componente tangencial siempre es tangente a la curva y en la dirección del movimiento.

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CURVILINEO: Componentes tangencial y normal
Debido a que la partícula está restringida a moverse en la curva plana no existe movimiento en la dirección binormal. Las ecuaciones de movimiento en este caso son:

EJEMPLO 01 Una esfera de 2 kg gira en un círculo horizontal a una velocidad constante de 1,5 m/s. Si L = 600 mm, determine: (a) el ángulo θ que forma la cuerda con la vertical

EJEMPLO 02 Se proyecta una carretera para que el tráfico circule a 100 km/h. a lo largo de uno de sus tramos, el radio de curvatura es de 270 m. La curva está peraltada según se indica en la figura, de manera que no sea necesario el rozamiento para mantener los automóviles sobre la calzada. Determine: (a) el ángulo de peralta θ que ha de tener la vía y (b) El mínimo coeficiente de rozamiento entre las llantas y el pavimento que impedirá el deslizamiento del auto a esta celeridad si la carretera no está peraltada

EJEMPLO 03 Un vehículo de pequeñas dimensiones entra en el punto más alto A de la trayectoria con una velocidad v0 y gana velocidad conforme desciende por ella. Determine la expresión del ángulo β hasta la posición en que el vehículo abandona su trayectoria y se convierte en un proyectil

EJEMPLO 04 Se coloca un pequeño objeto dentro de la cazoleta cónica, en la posición indicada. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el objeto y la superficie cónica es 0,30. ¿Para que intervalo de velocidades de rotación en torno al eje vertical no se deslizará el objeto?. Considere que los cambios de celeridad son tan pequeños que se puede despreciar la aceleración angular

EJEMPLO 05 Un camión de plataforma abierta que viaja a 100 km/h circula por una curva de 300 m de radio peraltada hacia adentro con un ángulo de 10°. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el piso de la plataforma y la caja de 200 kg que transporta es s = 0,70. Determine la fuerza de rozamiento F que actúa sobre la caja

Ejemplo 06 Un pequeño vehículo de propulsión por cohete, cuya masa es m, viaja hacia abajo por la trayectoria circular de radio efectivo r bajo la acción de su propio peso y del empuje constante T que le proporciona el motor. Si el vehículo parte del reposo en A. Determine: (a) la velocidad del vehículo cuando llega B y (b) la fuerza de reacción NC ejercida por la guía sobre las ruedas justo antes de llegar a B. desprecie el rozamiento y la pérdida de masa del cohete.

Ejemplo 07 La pista de la montaña rusa de la figura está contenida en un plano vertical. El tramo de pista entre A y B es recto y horizontal, mientras que los tramos a la izquierda de A y a la derecha de B tienen los radios de curvatura que se indican. Un coche viaja a 72 km/h cuando de repente se aplican los frenos, haciendo que las ruedas patinen sobre la pista (μK = 0,25). Determine la desaceleración inicial del coche si los frenos se aplican cuando el coche: (a) está a punto de llegar a A, (b) se encuentra entre A y B, (c) acaba de pasar por B.

Ejemplo 08 Un bloque pequeño de m = 0,5 kg es colocado sobre una superficie cónica giratoria a una distancia radial R = 0,25 m medida desde el eje de rotación. Si el coeficiente de fricción estática entre el pequeño bloque y la superficie cónica es s = 0,75. Determine la máxima velocidad angular alrededor del eje vertical a la cual debe girar el cono de tal manera que el bloque no deslice sobre la superficie. Desprecie los cambios de velocidad angular.

Ejemplo 09 Los bloques A (WA = 250N) y B (WB = 375 N) y el entramado sobre el que descansan giran en torno a un eje vertical con celeridad angular constante de 50 rpm, según se indica en la figura. Considerando que el coeficiente de rozamiento entre los bloques y el entramado es 0,25, determine: (a) La tensión T del cable que conecta los cuerpos y (b) La fuerza que el tope B ejerce sobre B.

Ejemplo 10 Una esfera de 5 kg está unida a una barra vertical mediante dos hilos, según se indica en la figura. Cuando el sistema gira en torno al eje de la barra, los hilos se tensan según se indica en la figura. Determine:(a) Las tensiones de los hilos cuando la velocidad angular del sistema es ω = 5 rad/s. (b) La velocidad angular del sistema cuando el hilo B esté tenso pero sin carga.

Ejemplo 11 Una bola de 2 kg atada al extremo de un hilo de 2 m recorre una circunferencia en un plano vertical, según se indica e la figura. Si la velocidad de la bola es de 4,5 m/s en la posición más alta. Determine la tensión del hilo y la velocidad lineal de la bola: (a) cuando el ángulo θ = 45° y (b) cuando el ángulo θ = 270°.

EJEMPLO 05 El disco D de 3 kg está unido al extremo de una cuerda, como se muestra en la figura. El otro extremo de la cuerda está unido a una articulación de rótula localizada en el centro de la plataforma. Si la plataforma está girando a una rapidez muy grande, y el disco se suelta sobre ella desde el reposo. Determine el tiempo que requiere el disco para alcanzar una rapidez lo suficientemente grande como para romper la cuerda. La tensión máxima en la cuerda es 100 N y el coeficiente de rozamiento cinético entre cuerpos es 0,1

EJEMPLO 12 En el instante en que θ = 60°, el centro de gravedad G del niño está momentáneamente en reposo. Considerando que el niño tiene una masa de 30 kg. Determine: (a) la velocidad del centro de masa del niño cuando θ = 90° (b) ¿Cuál será la tensión en el cable que soporta a la silla y al niño?. Desprecie el tamaño y peso de la silla y el cable

Ejemplo 13 Una esfera de masa 3 kg está soportada por una varilla ligera de masa despreciable y un hilo, como se indica. Determine la tensión del hilo: (a) cuando la esfera se halla en la posición mostrada, (b) inmediatamente después de cortar el hilo y (c) cuando la esfera pasa por su posición más baja

Ejemplo 14 Una esferita de masa 0,5 kg esta montada en el aro de la figura y puede deslizarse libremente (rozamiento nulo) sobre él cuando éste gire. Determine el ángulo θ y la fuerza que el aro ejerce sobre la bola cuando aquel gire en torno a un diámetro vertical con una velcoidad angular constante de 120 rpm

Ejemplo 15 Un bloque de 5 kg de masa descansa sobre una superficie cónica lisa que gira en torno a un eje vertical con velocidad angular constante ω. El bloque está unido al eje giratorio mediante un cable, según s indica en la figura. Determine: (a) La tensión del cable cuando el sistema gira a 20 rpm, (b) la velocidad angular, en rpm, cuando sea nula la fuerza entre la superficie cónica y el bloque.

Ejemplo 16 Una plataforma gira a 2 rad/s. Un cuerpo C que pesa 450 N descansa sobre la plataforma y está conectado mediante un cordón flexible y ligero con una masa de 225 N de peso, la cual está sujeta de forma que no puede salir afuera de la plataforma. ¿ Para que rango de valores de x permanecerán los bloques C y B estacionarios respecto a la plataforma?. El coeficiente de rozamiento estático para todas las superficies es de 0,40.

Ejemplo 17 El bloque B de masa m = 0,5 kg se ,mueve por una guía circular lisa contenida en un plano vertical, según se indica en la figura. Cuando el bloque se halla en la posición representada, su rapidez es 2 m/s hacia arriba y a la izquierda. Si la longitud natural del resorte (k = 25 N/m) es 300 mm, determine la aceleración del bloque y la fuerza que sobre el ejerce la superficie de la guía.

Ejemplo 18 Un automóvil que viaja a 95 km/h se aproxima a una curva de 40 m de radio. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre las ruedas y la carretera es 0,70, halle en cuanto debe reducir la velocidad el conductor para tomar la curva sin peligro si el ángulo de peralte es θ = 10º.

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CURVILINEO: Componentes radial y transversal
Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva es a veces necesario expresar las ecuaciones de movimiento en componentes radial y transversal (coordenadas polares ). La componente radial se dirige a lo largo de la posición, mientras que la componente transversal siempre es perpendicular a la componente radial.

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CURVILINEO: Componentes radial y transversal
Las ecuaciones de movimiento en este caso son:

ECUACIONES DE MOVIMIENTO: COORDENADAS CILÍNDRICAS
Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son descompuestas en coordenadas cilíndricas esto es a lo largo de los vectores unitarios La ecuación de movimiento se expresa en la forma Es decir en componentes Las aceleraciones son

Ejemplo 01 El miembro OA rota alrededor de un eje horizontal que pasa por O animado de una velocidad angular constante antihoraria  = 3 rad/s. Cuando pasa por la posición θ = 0, se le coloca un pequeño bloque de masa m a una distancia radial r = 450 mm . Si se observa que el bloque resbala para θ = 50°. Determine el coeficiente de rozamiento estático s entre el bloque y OA.

EJEMPLO 02 El tubo A gira en torno al eje vertical O a una velocidad angular constante  y contiene un pequeño embolo cilíndrico B de masa m, cuya posición radial está limitada por la cuerda que atraviesa libremente el tubo y el eje y está arrollado al tambor de radio b Determine la tensión T en la cuerda y la componente horizontal de la fuerza Fθ de la fuerza ejercida por el tubo sobre el émbolo si la velocidad angular del tambor es o cuyo sentido es primero el correspondiente al caso (a) y luego al caso (b). Desprecie la fricción

SOLUCIÓN En la figura se muestra el DCL del embolo B, la fuerza que actúan son su peso W = mg; la tensión en el cable T la fuerza que ejerce la parte inferior del brazo sobre el embolo NC y la fuerza Fθ que ejerce el brazo sobre la parte izquierda del émbolo Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene según el sistema de referencia mostrado

SOLUCIÓN Caso (a) La velocidad lineal comunicada por el tambor de radio b al hilo es Las fuerzas son Caso (b)

EJEMPLO 03 Un péndulo cónico consiste en una esfera que pesa 50 N sostenida por un hilo de 1,8 de longitud que gira en torno a un eje vertical con una velocidad angular constante  tal que mantenga el hilo formando un ángulo de 30°con la vertical como se indica. Determine: (a) la tensión en el hilo (b) la celeridad lineal de la esfera

Solución- 03 En la figura se ve el DCL y cinético de la esfera. Las fuerzas que actúan son su peso W = mg y la tensión en el hilo T. Así mismo se muestran el sistema de coordenadas cilíndricas vía las vectores unitarios

Solución- 03 Las ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas es Debido a que la esfera describe un circulo de radio constante se tiene Por otro lado la esfera gira a velocidad angular constante, entonces De igual forma al describir una circunferencia de radio constante la aceleración en la dirección z es nula. Es decir

Solución 03 Remplazando valores en las ecuaciones de movimiento se tiene Remplazando (4) en (5) se tiene La celeridad lineal es

EJEMPLO 04 El cilindro C de 2 kg indicado en la figura tiene una clavija P a través de la ranura en el brazo OA. Si el brazo gira en el plano vertical a una razón constante  = 0,5 rad/s determine la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante en que θ = 60°. Desprecie la fricción y considere que el cilindro ajusta en forma suelta en la ranura recta horizontal G.

SOLUCIÓN EJEMPLO 04 En la figura se muestra el DCL del cilindro. Las fuerzas que actúan son la fuerza sobre la clavija FP que actúa perpendicularmente a la ranura del brazo, la fuerza normal Nc que es la fuerza ejercida por la pared de la ranura sobre el cilindro y el peso del cilindro W = mg = 19,62N

SOLUCIÓN EJEMPLO 04 Derivando
Aplicando las ecuaciones de movimiento según el sistema de referencia se tiene Cinemática: De la grafica se observa que

SOLUCIÓN EJEMPLO 04 Derivando la velocidad respecto del tiempo
Como el brazo gira a velocidad angular constante, se tiene Derivando la posición respecto del tiempo

SOLUCIÓN EJEMPLO 04 Teniendo en cuenta que θ = 60°, se tiene
La aceleración radial y transversal serán Remplazando estos valores en la ecuación de movimiento se tiene

Ejemplo El brazo ranurado OB gira en un plano horizontal en torno al punto O de la leva circular fija con una velocidad angular  = 15 rad/s. El resorte tiene una constante k = 5 kN/m y está en su longitud natural cuando θ = 0°. El rodillo tiene una masa de 0,5 kg. Determine la fuerza normal N que la leva ejerce sobre A y también la fuerza R que sobre A ejerce los costados de la ranura cuando θ = 45°. Las superficies son todas lisas. Solución

Solución

MOMENTO ANGULAR_1 Cuando una partícula de masa m se mueve con una velocidad tendrá momento lineal ( ) ver figura. El momento angular es un vector perpendicular a y se define como el producto vectorial Su magnitud será

MOMENTO ANGULAR_2 En general es perpendicular al plano de y
Si la partícula se mueve en un plano y O esta en el plano la dirección de permanece constante, es decir el momento angular es perpendicular al plano debido a que r y v están en el plano. Para el movimiento circular r y v son perpendiculares y v = r de mod que La dirección de L e la misma que de . Entonces

MOMENTO ANGULAR_3 Si el movimiento es plano en general la velocidad se descompone en componentes radial y transversal y el momento angular se escribe La magnitud será Esta expresión es idéntica al de movimiento circular

COMPONETES RECTANGULARES DE L MOMENTO ANGULAR
Las componentes rectangulares del momento angular son Es decir Si la partícula se mueve en el plano se tiene

DERIVADA RESPECTO DEL TIEMPO MOMENTO ANGULAR
Derivando el momento angular respecto del tiempo se tiene La razón de cambio del momento angular es igual momento o torque de la fuerza F respecto a O Esta ecuación en cinética de Cuerpos Rígidos constituye la ecuación de movimiento de rotación

MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL : Conservación de H
Si la única fuerza que actúa sobre la partícula es acercándose o alejándose el origen se dice que la fuerza es central. Debido a que la línea de acción de F pasa por el centro se tiene Por tanto Es decir el momento angular se conserva

Por tanto una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central experimenta un movimiento en un plano perpendicular a H, Debido a que el momento angular es constante entonces se tiene Esta ecuación es aplicable al movimiento bajo una fuerza central de cualquier partícula. Un ejemplo especial lo es el movimiento planetario en el que cada planeta es sometido a la acción de una central llamada fuerza gravitacional que se encuentra dirigida hacia el sol

Otra forma de expresar la conservación del momento angular de una partícula O bien dividiendo por la masa m y representando por h el momento angular por unidad de masa Esta ecuación admite una interpretación geométrica. El radio vector OP barre un área infinitesimal La velocidad areolar es En un movimiento bajo un fuerza central, la velocidad areolar se mantiene constante

EJEMPLO Se lanza un satélite en dirección paralela a la superficie terrestre con una velocidad de mi/h desde una altura de 240 mi. Determine la velocidad del satélite cuando éste alcanza su altura máxima de 2340 m. Recuerde que el radio de la tierra es 3960 mi

Solución

Ejemplo 02 Un collarín de 300 g puede deslizarse sobre una varilla horizontal que gira libremente alrededor de un eje vertical. El collarín se sostiene inicialmente en A mediante una cuerda unida al eje y comprime un resorte de constante k = 5 N/m, el resorte está sin deformar cuando el collarín se localiza a 750 mm del eje. Cuando el eje gira a  =12 rad/s, la cuerda se corta y el collarín se mueve hacia afuera a lo largo de la varilla. Si se desprecia la fricción y la masa de la varilla determine, para la posición B del collarín : la componente transversal de la velocidad del collarín, (b) las componentes radial y transversal de la aceleración, (c) la aceleración relativa del collarín respecto a la varilla

Ejemplo 02 Aplicando la segunda ley de Newton se tiene
Aceleración de B relativa a la barra Debido a que la fricción y la masa de la barra son despreciables, la única fuerza que actúa es la fuerza elástica. Por tanto se conserva el momento angular Cálculo de la fuerza elástica

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Newton en su ley de gravitación universal afirma que dos partículas de masa M y m separadas por una distancia r se atraen entre sí con fuerzas F y –F dirigidas a lo largo de la línea que las une como se ve en la figura. Es decir la fuerza puede expresarse Donde G es igual a

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Su efecto se manifiesta cuando los cuerpos tienen gran masa como es el caso del movimiento de un planeta alrededor del sol, movimiento de satélites alrededor de la tierra, etc, o de la caída de los cuerpos sobre la superficie terrestre. Como la fuerza que la tierra ejerce sobre un cuerpo de masa m en la superficie o cerca de ésta, es el peso W = mg se tiene Donde M es la masa de la tierra, R su radio. Al no ser la tierra completamente esférica g varía con la altitud y la latitud

2010 DINAMICA DE UNA PARTÍCULA CURSO: FISICA I UNIVERSIDAD NACIONAL

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