Gases ideales. Montoya.-.

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1 Gases ideales. Montoya.-

2 ¿Qué es la Termodinámica?
La termodinámica es una rama de la física que estudia los fenómenos relacionados con el trabajo y el calor. Se ocupa de las propiedades macroscópicas de la materia, especialmente las que son afectadas por el calor y la temperatura, así como de la transformación de unas formas de energía en otras. Es importante saber que la termodinámica estudia los sistemas que se encuentran en equilibrio. Esto significa que la presión, temperatura, volumen y la masa, que se conocen como variables termodinámicas, son constantes.

3 Relación entre trabajo y calor
Tanto el calor como el trabajo son modos en que los cuerpos y los sistemas transforman su energía. Esto permite establecer un equivalente mecánico del calor. Ejemplo: De trabajo mecánico a calor: Frota dos bloques de hielo, y comprobarás que se derriten, aún cuando estés en una cámara frigorífica a una temperatura menor de 0 ºC. De calor a trabajo mecánico: En una máquina de vapor, la expansión del vapor de agua que se calienta produce el desplazamiento del pistón. Trabajo y calor son métodos de transferencia de energía. Utilizan la misma unidad de medida en el Sistema Internacional, el julio (J). Además, es habitual utilizar la caloría (cal) para medir el calor. La conversión entre calorías y julios viene dada por: 1 cal = 4.184 J ⇔ 1 J = 0.24 cal Esta relación entre trabajo y calor, que hoy vemos de manera clara, no lo fue hasta el S. XIX. El estudio del trabajo y del calor eran disciplinas separadas: la mecánica y la termología respectivamente. Así también las unidades en que se medían cada uno, julio y caloría. A mediados del S. XIX el científico inglés James Prescott Joule diseñó un dispositivo capaz de medir el equivalente mecánico del calor, logrando la equivalencia anterior

4 Experimento de Joule Joule ideó una máquina conformada por una pesa unida a unas aspas por medio de un sistema de poleas, que se encuentran sumergidas en un recipiente de vidrio lleno de agua. Cuando se deja caer la pesa desde la posición A hasta B, tal y como se muestra en la figura, esta pierde su energía potencial invirtiéndose en girar las aspas dentro del líquido. La fricción de las aspas con el agua provoca un aumento de la temperatura del mismo. A partir de los resultados obtenidos con esta máquina se obtuvo la equivalencia  1 cal =  J ⇔ 1 J = 0.24 cal

5 ¿Qué estudia la termodinámica?
La termodinámica es la parte de la física que estudia las transferencias de calor, la conversión de la energía y la capacidad de los sistemas para producir trabajo. Las leyes de la termodinámica explican los comportamientos globales de los sistemas macroscópicos en situaciones de equilibrio. Tiene las siguientes características: Se aplica al estudio de sistemas que contienen muchas partículas y no al estudio de moléculas, átomos o partículas subatómicas Estudia el sistema en situaciones de equilibrio, que son aquellas a las que sistema tiende a evolucionar y caracterizadas porque en ellas todas las propiedades del sistema quedan determinadas por factores intrínsecos y no por influencias externas previamente aplicadas Sus postulados son indemostrables, están basados en las experiencias y no en razonamientos teóricos

6 Componentes de un sistema termodinámico
El sistema es la parte del universo que vamos a estudiar. Por ejemplo, un gas, nuestro cuerpo o la atmósfera son ejemplos de sistemas que podemos estudiar desde el punto de vista termodinámico. Los sistemas se clasifican en:

7 Componentes de un sistema termodinámico
Entorno o ambiente Todo aquello que no es sistema y que se sitúa alrededor de él, se denomina ambiente o entorno. Los sistemas interaccionan con el entorno transfiriendo masa, energía o las dos cosas. Frontera o paredes del sistema A través de ellas se comunica el sistema con el entorno. Existen los siguientes tipos: Fijas: Mantienen el volumen constante Móviles: El volumen es variable y depende de la presión en el lado del sistema y de la del entorno Conductoras o diatérmanas: Al conducir calor permiten que la temperatura a ambos lados de la misma sea igual Adiabáticas: No conducen calor. Son los aislantes térmicos

8 Variables y ecuación de estado
Las variables de estado son el conjunto de valores que adoptan ciertas variables físicas y químicas, que nos permiten caracterizar el sistema. A las variables de estado también se las llama funciones de estado. No todos los sistemas termodinámicos tienen el mismo conjunto de variables de estado. En el caso de los gases son: Presión Volumen Masa Temperatura Las variables de estado de una sustancia se relacionan a través de una ecuación de estado propia de la sustancia de manera que, estableciendo un valor a varias de ellas, quedan determinadas el resto. Por ejemplo, se comprueba experimentalmente que si establecemos  el volumen y la temperatura de una determinada cantidad de un gas, su presión no se puede modificar. La ecuación de estado de los gases ideales sigue la expresión: 𝒑∙𝑽=𝒏∙𝑹∙𝑻 P=Presión (atm; pa) R= cte. universal de gases (J / mol·K) V= Volumen ( 𝒎 𝟑 ;𝑳𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔) N= Numero de moles (mol) T= Temperatura (Kelvin; Celsius)

9 Gases ideales

10 Propiedades generales de un gas ideal
Homogeneidad. Las moléculas se pueden considerar como masas puntuales Las paredes del recipiente que las contiene son rígidas.

11 Condiciones físicas A presiones bajas o moderadas y a temperatura
No muy bajas , se comportan matemáticamente del mismo modo, por tanto obedecen a las mismas leyes.

12 Variables de estado

13 Propiedades de los gases
El estado gaseoso es un estado disperso de la materia, es decir , que las moléculas del gas están separadas unas de otras por distancias mucho mayores del tamaño del diámetro real de las moléculas. Resuelta entonces, que el volumen ocupado por el gas (V) depende de la presión (P) , la temperatura (T) y de la cantidad o numero de moles ( n). Las propiedades de la materia en estado gaseoso son:  Se adaptan a la forma y el volumen del recipiente que los contiene. Un gas, al cambiar de recipiente, se expande o se comprime, de manera que ocupa todo el volumen y toma la forma de su nuevo recipiente. Se dejan comprimir fácilmente. Al existir espacios intermoleculares, las moléculas se pueden acercar unas a otras reduciendo su volumen, cuando aplicamos una presión. Se difunden fácilmente. Al no existir fuerza de atracción intermolecular entre sus partículas, los gases se esparcen en forma espontánea. Se dilatan, la energía cinética promedio de sus moléculas es directamente proporcional a la temperatura aplicada.

14 Variables que afectan el comportamiento de los gases
PRESIÓN: Es la fuerza ejercida por unidad de área. En los gases esta fuerza actúa en forma uniforme sobre todas las partes del recipiente. La presión atmosférica es la fuerza ejercida por la atmósfera sobre los cuerpos que están en la superficie terrestre. Se origina del peso del aire que la forma. Mientras más alto se halle un cuerpo menos aire hay por encima de él, por consiguiente la presión sobre él será menor. TEMPERATURA: Es una medida de la intensidad del calor, y el calor a su vez es una forma de energía que podemos medir en unidades de calorías. Cuando un cuerpo caliente se coloca en contacto con uno frío, el calor fluye del cuerpo caliente al cuerpo frío. La temperatura de un gas es proporcional a la energía cinética media de las moléculas del gas. A mayor energía cinética mayor temperatura y viceversa. La temperatura de los gases se expresa en grados kelvin. CANTIDAD: La cantidad de un gas se puede medir en unidades de masa, usualmente en gramos. De acuerdo con el sistema de unidades SI, la cantidad también se expresa mediante el número de moles de sustancia, esta puede calcularse dividiendo el peso del gas por su peso molecular. VOLUMEN: Es el espacio ocupado por un cuerpo. DENSIDAD: Es la relación que se establece entre el peso molecular en gramos de un gas y su volumen molar en litros.

15 Variables y ecuación de estado
Variables Intensivas: Son aquellas que no dependen del tamaño del sistema. Por ejemplo la presión, la temperatura, la concentración o la densidad. Variables Extensivas: Son aquellas que dependen del tamaño del sistema. Por ejemplo el volumen, la masa o la energía.

16 El cero absoluto Con n y p constante ( Ley de Charles ), el volumen decrece con la temperatura y ( si el gas permanece como ideal) este podría llegar a cero cuando T=0ºK . Similarmente con n y V constante (Ley de Gay Lussac) , la presión podría decrecer hasta cero con la temperatura. Esta temperatura única , para la cual p y V podrían llegar a ser cero , se llama cero absoluto. Las condiciones estándar (TPE) se definen como T=273,15K=0ºC ; p= 1,013 𝑥10 5 𝑝𝑎=1𝑎𝑡𝑚 ; Bajo estas condiciones 1Kmol de gas ideal ocupa un volumen de 22,4 𝑚 3

17 pregunta Considere los siguientes gases en condiciones TPE
2 kg de Hidrogeno 32Kg de oxigeno 28 Kg de nitrógeno ¿Qué volumen ocupa cada uno de ellos bajo estas condiciones?

18 Gases

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20 Masa molecular, cte. R y densidad de algunos gases

21 Número de Avogadro

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23 Capacidad calorífica de un gas ideal
Para un gas ideal se definen dos capacidades caloríficas molares: a volumen constante (CV), y a presión constante (Cp). CV: es la cantidad de calor que es necesario suministrar a un mol de gas ideal para elevar su temperatura un grado mediante una transformación isócora. Cp: es la cantidad de calor que es necesario suministrar a un mol de gas ideal para elevar su temperatura un grado mediante una transformación isóbara. El valor de ambas capacidades caloríficas puede determinarse con ayuda de la teoría cinética de los gases ideales. Los valores respectivos para gases monoatómicos y diatómicos se encuentran en la siguiente tabla:  R es la constante universal de los gases ideales, R = 8.31 J/mol K.

24 Leyes de los gases Eventos físicos que alteran el comportamiento de los gases y que son: Temperatura (T): Ejerce gran influencia sobre el estado de las moléculas de un gas aumentando o disminuyendo la velocidad de las mismas. Para trabajar con nuestras fórmulas siempre expresaremos la temperatura en grados Kelvin . Cuando la escala usada esté en grados Celsius, debemos hacer la conversión, sabiendo que 0º C equivale a 273,15 º Kelvin . Presión (P): Se define como la relación que existe entre una fuerza (F) y la superficie (S) sobre la que se aplica, y se calcula con la fórmula

25 1 mol de (moléculas o átomos) = 6,022•10 23
Leyes de los gases Volumen: Recordemos que volumen es todo el espacio ocupado por algún tipo de materia. En el caso de los gases, estos ocupan todo el volumen disponible del recipiente que los contiene. Hay muchas unidades para medir el volumen, pero en nuestras fórmulas usaremos el litro (L) Cantidad de gas: Otro parámetro que debe considerarse al estudiar el comportamiento de los gases tiene que ver con la cantidad de un gas la cual se relaciona con el número total de moléculas que la componen. Para medir la cantidad de un gas usamos como unidad de medida el mol. 1 mol de (moléculas o átomos) = 6,022•10 23

26 Ley de Avogadro Esta ley relaciona la cantidad de gas (n, en moles) con su volumen en litros (L), considerando que la presión y la temperatura permanecen constantes. El enunciado de la ley dice que: El volumen de un gas es directamente proporcional a la cantidad del mismo. Esto significa que: Si aumentamos la cantidad de gas, aumentará el volumen del mismo. Si disminuimos la cantidad de gas, disminuirá el volumen del mismo. Podemos expresarlo con la siguiente fórmula:

27 Gráfico

28 Aplicando la ley de Avogadro
Tenemos 3,50 L de un gas que, sabemos, corresponde a  0,875 mol. Inyectamos gas al recipiente hasta llegar a 1,40 mol, ¿cuál será el nuevo volumen del gas? (la temperatura y la presión las mantenemos constantes). Datos: V1: 3,50L N1: 0.875mol V2: ? N2: 1,40mol Solución L

29 Ley de Boyle La ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante. Si la presión disminuye, el volumen aumenta. Si la presión aumenta, el volumen disminuye.

30 Gráfico

31 ¿Por qué ocurre esto? 𝑷×𝑽=𝒌 𝑷 𝟏 × 𝑽 𝟏 = 𝑷 𝟐 × 𝑽 𝟐
Al aumentar el volumen, las partículas del gas tardan más en llegar a las paredes del recipiente y por lo tanto chocan menos veces por unidad de tiempo contra ellas. Esto significa que la presión será menor ya que ésta representa la frecuencia de choques del gas contra las paredes. Cuando disminuye el volumen la distancia que tienen que recorrer las partículas es menor y por tanto se producen más choques en cada unidad de tiempo: aumenta la presión. Boyle descubrió es que si la cantidad de gas y la temperatura permanecen constantes, el producto de la presión por el volumen siempre tiene el mismo valor. 𝑷×𝑽=𝒌 Supongamos que tenemos un cierto volumen de gas V1 que se encuentra a una presión P1 al comienzo del experimento. Si variamos el volumen de gas hasta un nuevo valor V2, entonces la presión cambiará a P2, y se cumplirá: 𝑷 𝟏 × 𝑽 𝟏 = 𝑷 𝟐 × 𝑽 𝟐

32 Aplicando la ley de Boyle
Un tanque contiene 200 litros de aire y soporta una presión de 1 atm. ¿Cuál será el volumen si la presión varía a 2 atm? Datos: V1: 200 L P1: 1 atm P2: 2 atm V2: ? Solución: 𝑃 1 𝑉 1 = 𝑃 2 𝑉 2 𝑉 2 =( 𝑃 1 𝑉 1 𝑃 2 ) 𝑉 2 = 1𝑎𝑡𝑚 200𝐿 (2𝑎𝑡𝑚) 𝑽 𝟐 =𝟏𝟎𝟎𝑳

33 Ley de Gay-Lussac 𝑷 = 𝒌×𝑻
Establece la relación entre la presión y la temperatura de un gas cuando el volumen es constante La presión del gas es directamente proporcional a su temperatura: Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión. Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión. 𝑷 = 𝒌×𝑻

34 Gráfico

35 ¿Por qué ocurre esto? 𝑷 𝟏 𝑻 𝟏 = 𝑷 𝟐 𝑻 𝟐
Al aumentar la temperatura las moléculas del gas se mueven más rápidamente y por tanto aumenta el número de choques contra las paredes, es decir aumenta la presión ya que el recipiente es de paredes fijas y su volumen no puede cambiar. Gay-Lussac descubrió que, en cualquier momento de este proceso, el cociente entre la presión y la temperatura siempre tenía el mismo valor: 𝑷 𝑻 =𝒌 Supongamos que tenemos un gas que se encuentra a una presión P1 y a una temperatura T1 al comienzo del experimento. Si variamos la temperatura hasta un nuevo valor T2, entonces la presión cambiará a P2, y se cumplirá: 𝑷 𝟏 𝑻 𝟏 = 𝑷 𝟐 𝑻 𝟐

36 Aplicando la ley de Gay-Lussac
Un gas ideal se encuentra en un recipiente cerrado de volumen constante, a la presión de 2 atmosferas y 75°C de temperatura. ¿Cuál sería su nueva presión si la temperatura bajo a 50°C? Datos: T1: 75°C 348Kelvin T2: 50°C 323Kelvin P1: 2 atm P2: ? Solución: 𝑃 2 = 𝑇 2 × 𝑃 1 𝑇 1 𝑃 2 = 323𝐾 × 2𝑎𝑡𝑚 348𝐾 𝑷 𝟐 =𝟏,𝟖𝟔𝒂𝒕𝒎

37 Ley de Charles En 1787, Jack Charles estudió por primera vez la relación entre el volumen y la temperatura de una muestra de gas a presión constante y observó que cuando se aumentaba la temperatura el volumen del gas también aumentaba y que al enfriar el volumen disminuía. El volumen es directamente proporcional a la temperatura del gas: Si la temperatura aumenta, el volumen del gas aumenta. Si la temperatura del gas disminuye, el volumen disminuye. 𝑷=𝒌×𝑻

38 Gráfico

39 ¿Por qué ocurre esto? 𝑽 𝑻 =𝒌 𝑽 𝟏 𝑻 𝟏 = 𝑽 𝟐 𝑻 𝟐
Cuando aumentamos la temperatura del gas las moléculas se mueven con más rapidez y tardan menos tiempo en alcanzar las paredes del recipiente. Esto quiere decir que el número de choques por unidad de tiempo será mayor y se producirá un aumento de la presión en el interior del recipiente y aumentará el volumen (el émbolo se desplazará hacia arriba hasta que la presión se iguale con la exterior). Charles descubrió es que si la cantidad de gas y la presión permanecen constantes, el cociente entre el volumen y la temperatura siempre tiene el mismo valor. 𝑽 𝑻 =𝒌 Supongamos que tenemos un cierto volumen de gas V1 que se encuentra a una temperatura T1 al comienzo del experimento. Si variamos el volumen de gas hasta un nuevo valor V2, entonces la temperatura cambiará a T2, y se cumplirá: 𝑽 𝟏 𝑻 𝟏 = 𝑽 𝟐 𝑻 𝟐

40 Aplicando la ley de Charles
Un gas ideal ocupa un volumen de 1,28 litros a 25°C, si aumentamos la temperatura a 50°C ¿Cuál es el nuevo volumen si la presión permanece constante? Datos: T1: 25°C  298Kelvin T2: 50°C  323Kelvin V1: 1,28Litros V2: ? Solución: 𝑉 2 = 𝑇 2 × 𝑉 1 𝑇 1 𝑉 2 = 323𝐾 1,28𝐿 298𝐾 𝑽 𝟐 =𝟏,𝟑𝟗𝑳

41 “Pancho Villa no toca rancheras”
En resumen “Pancho Villa no toca rancheras”

42 Ley de Dalton de las presiones parciales.
La presión parcial del componente de una mezcla de gases se define como la presión que ejercería el gas componente , si ocupara solo el volumen completo. Entonces , la presión total de la mezcla de gases ideales , es la suma de las presiones parciales de los gases que la componen.

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45 Resumen

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47 Constante de Planck 𝑬=hv
La constante de Planck es la relación entre la cantidad de energía y de frecuencia asociadas a un cuanto o a una partícula elemental.  Es una constante física que desempeña un papel central en la teoría de la mecánica cuántica y recibe su nombre de su descubridor, Max Planck, uno de los padres de dicha teoría. La constante de Planck (representada por la letra h) relaciona la energía (E) de los fotones con la frecuencia (ν)de la onda lumínica (letra griega nu) según la fórmula: 𝑬=hv

48 Constante de Planck En el año 1901, el físico alemán Max Planck afirmó que sólo era posible describir la radiación del cuerpo negro con una fórmula matemática que correspondiera con las medidas experimentales, si se aceptaba la suposición de que la materia sólo puede tener estados de energía discretos y no continuos. Esto quiere decir que ciertas propiedades físicas sólo toman valores múltiplos de valores fijos en vez de un espectro continuo de valores. La idea era que la radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro se podía modelar como una serie de osciladores armónicos con una energía cuántica. Relacionando la energía (E) de los fotones de la radiación, con su frecuencia y con su momento angular, se obtiene:

49 Constante de Planck Este modelo se mostró muy exacto y desde entonces se denomina ley de Planck y significa que el universo es cuántico y no continuo. A nivel macroscópico no parece ser así, pues el valor de la constante de Planck es tan pequeño que el efecto de esta "cuantización" de los valores de la energía de cualquier sistema aparentemente varían de forma continua. La constante de Planck es uno de los números más importantes del universo y ha dado lugar a que la mecánica cuántica ha sustituido a la física tradicional. La constante de Planck aparece igualmente dentro del enunciado del principio de incertidumbre de Heisenberg.

50 EJEMPLOS DE LA LEY DE PLANCK
La aplicación de la Ley de Planck al Sol con una temperatura superficial de unos 6000 K nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 0,15 μm (micrómetros o micras) y 4 micras y su máximo (Ley de Wien) ocurre a 0,475 micras. Como 1 nanómetro 1 nm = m=10-4 micras resulta que el Sol emite en un rango de 150 nm hasta nm y el máximo ocurre a 475 nm. La luz visible se extiende desde 400 nm a 740 nm. La radiación ultravioleta u ondas cortas iría desde los 150 nm a los 400 nm y la radiación infrarroja u ondas largas desde las 0,74 micras a 4 micras. La aplicación de la Ley de Planck a la Tierra con una temperatura superficial de unos 288 K (15 °C) nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 3 μm (micrómetros o micras) y 80 micras y su máximo ocurre a 10 micras. La estratosfera de la Tierra con una temperatura entre 210 y 220 K radia entre 4 y 120 micras con un máximo a las 14,5 micras.

51 Aplicaciones 1.-Una masa de oxigeno a 5ºC ocupa 0, 𝑚 3 a la presión atmosférica . Determine su volumen si su presión se incrementa hasta 108Kpa , mientras su temperatura cambia a 30ºC 2.- un día en el que la presión atmosférica es de 76cm de Hg , el manómetro de un estanque marca la lectura de la presión interna del mismo en 400cm de Hg . El gas en el estanque tienen una temperatura de 9ºC. Si en el deposito la temperatura aumenta a 31ºC debido a la energía solar y además no existen escapes para el gas en el deposito. Determine la lectura de la presión en eñl manómetro.

52 3.- La presión manométrica en la llanta de un automóvil es de 305 Kpa cuando su temperatura es de 15ºC . Después de correr a alta velocidad , el neumático se calentó y su presión subió a 360Kpa .¿Cual es entonces la temperatura del gas en la llanta? 4.- un gas a temperatura y presión ambiente esta contenido en un cilindro por medio de un pistón . Este es empujado de modo que su volumen se reduce a una octava parte de su valor inicial. Después de que la temperatura del gas ha vuelto a ser igual a la del ambiente . ¿Cuál será la presión manométrica del gas? (La presión atmosférica es de 740mm de Hg)

53 5. - UN gas ideal tiene un volumen de 1 litro a 1 atm y a -20ºC
5.- UN gas ideal tiene un volumen de 1 litro a 1 atm y a -20ºC .¿A cuantas atmosferas de presión se debe someter para comprimirlo hasta ½ litro cuando su temperatura es de 40ºC? 6.- cierta masa de gas hidrogeno ocupa 370 mL a 16ºC y 150 Kpa . Encuentre su volumen a -21ºC y 420Kpa. 7.- La densidad del nitrógeno en condiciones TPE es de 1,25 𝑘𝑔 𝑚 Determine su densidad a 42ºC y 730 mm de Hg 8.- un estanque de 3 litros contiene oxigeno a 20ºC y a una presión manométrica de 2500Kpa .¿Cual es la masa del gas almacenado en el estanque ? (Considere la presión atmosférica normal) 9.- Determine el volumen ocupado por 4 gr de oxigeno a TPE 10.- Una gotita de nitrógeno liquido de 2mg esta presente en un tubo de 30mL al llenarse a muy baja temperatura ¿Cuál será la presión del nitrógeno en el tubo cuando este se encuentre a 20ºC?

54 10. - 200 gramos de Helio están confinados en un estanque de 20 litros
gramos de Helio están confinados en un estanque de 20 litros. La presión manométrica del estanque es de 4 atmosferas cuando la presión atmosférica del lugar es de 1,02 atmosferas. Calcular A)La temperatura a que se encuentra el gas. B) Suponga que el estanque puede variar su volumen por algún mecanismo, determine la presión manométrica del “nuevo estanque” cuando su volumen a disminuido en un 30ª y la temperatura a aumentado en 40ºC

55 11.- Con el extremo abierto hacia abajo , un tubo de ensayo cilíndrico de 15cm de largo es sumergido en un lago. ¿Qué tan profundo en el lago debe estar el tubo para que el volumen de aire en el sea de un tercio de cuando fue introducido? 12.- Un estanque contiene 18 gramos de gas Nitrógeno a una presión de 4,50 atm . ¿Qué cantidad de gas de hidrogeno a 3,5 atm contendría el mismo depósito?

56 13.- En una mezcla gaseosa a 20ºC las presiones parciales son las siguientes: Hidrogeno , 200mm de Hg ; dióxido de carbono , 150mm de Hg ; metano, 320mmHg ; Etileno , 105 mmHg ¿Cuál es la presión de la mezcla y la fracción de masa de hidrogeno? ( 𝑀 𝐻 =2 ; 𝑀 𝐶𝑂 2 =44 ; 𝑀 𝑀𝑒𝑡𝑎𝑛𝑜 =16 ; 𝑀 𝐸𝑡𝑖𝑙𝑒𝑛𝑜 =30 )

57 Montoya.-