Capítulo 10 Test de Hipótesis Capítulo 10 Test de Hipótesis.

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1 Capítulo 10 Test de Hipótesis Capítulo 10 Test de Hipótesis

2 Contraste de Hipótesis Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si cierta propiedad supuesta para una población es compatible con lo observado en una muestra de ella. Tipos de Hipótesis: 3 Hipótesis Alternativas 3 Hipótesis Anidadas Alternativas: Hipótesis A v/s Hipótesis B, donde A y B no pueden cumplirse simultáneamente. Anidadas: Hipótesis A y B, donde A es un caso especial de B.

3 Contraste de Hipótesis Hipótesis Simple: El parámetro tiene un único valor. Hipótesis Compuesta: El parámetro tiene varios valores. Hipótesis Nula: (H 0 ) es la hipótesis que se contrasta. Esta hipótesis se mantendrá a no ser que los datos indiquen lo contrario. Esta hipótesis nunca se considera probada aunque puede ser rechazada por los datos. Hipótesis Alternativa: (H 1 ) es la hipótesis contrapuesta a H 0.

4 Elementos de una Prueba de Hipótesis 1.- Hipótesis Nula (H 0 ), Hipótesis Alternativa. 2.- Estadística de Prueba (Discrepancia). 3.- Región de Rechazo (Región Crítica). 4.- Regla de Decisión.

5 Definiciones Prueba (Contraste) de Hipótesis Estadística: es una regla  (Procedimiento) para decidir si rechazamos una hipótesis H 0. Estadística de Prueba: Es una función de la muestra. Interesa que contenga el máximo de información sobre H 0. Es en base a la información contenida en esta función que decidiremos respecto de la aceptación o rechazo de H 0. Región Crítica: Define los valores del estadístico de Prueba para los cuales se contradice H 0.

6 Definiciones Regla de Decisión: Procedimiento que acepta o rechaza H 0, dependiendo del valor del estadístico de Prueba. Nivel de Significación: Este valor  determina un valor crítico c : P ( d > c / H 0 ) = . El procedimiento de selección de “c” a partir de  tiene varias críticas: i. El resultado del Test depende mucho de . ii. Dar sólo el resultado del Test no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra indica a favor o en contra de H 0.

7 Definiciones Nivel crítico p: Se define el nivel crítico p del contrate como la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra bajo H 0. donde: : valor observado p: depende de la muestra

8 Consideremos H 0 :    0 v / s H 1 :    1 Sea  : Estado de Naturaleza  =  0   1  : Espacio de Información  = C  C C Regla de Decisión:x  C  H 0 es F x  C C  H 0 es V Error tipo I: Rechazar H 0 (cuando es verdadero) Error tipo II: Aceptar H 0 (cuando es falso) P(Error tipo I) = P  ( C ) = ,    0 P(Error tipo II) = P  (C C ) = ,    1 Fijada la región crítica C podemos definir:  C :   0,1    C (  ) = P  (C) Función Potencia

9 En la práctica interesa que ,  sean pequeños. Un método para construir un Test apropiado es: 1.- Fijar C : P  ( C )   dado  Sea  = {C : P  ( C )   } 2.- Elegir C : P  ( C C ) =  sea mínimo para C  . Toda región C   región crítica : P  ( C )   si    y P  ( C ) máxima    1, se dice Región Crítica Óptima.

10 Test de Comparación de Medias Supuesto: Independencia ~ ~ Caso Normal: Estadística de Prueba  i conocidos  i desconocidos pero iguales

11 donde Para el caso de  i desconocidos y distintos no hay solución exacta. Región crítica C se modifica

12 Ejemplo Una v.a. X tiene una ley de Probabilidades dada por: X123456 Bajo H 0 p 1/61/61/61/61/61/6 Bajo H 1 p2/151/61/51/51/62/15 Regla: Se decide rechazar H 0 si X = 3 ó 4 Determinar:  = Error tipo I ;  = Error tipo II y la Potencia del Test

13 Solución  = P Ho ( C ) = P Ho (  3, 4  ) = 2/6 = 1/3  = P H1 ( C C ) = P H1 (  1, 2, 5, 6  ) = 1 - 2/5 = 3/5  C (  ) = P  (C) = 1 -  = 2/5

14 Resumen

15 HipótesisEstadística de Prueba (  conocido) (  desconocido) idem 

16 HipótesisEstadística de Prueba    

17 Problema Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes y después de su instalación una m.a. respectiva arrojó la siguiente información del porcentaje de impurezas: AntesDespués ¿ El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de impurezas significativamente ?

18 Desarrollo 

19 Nivel de significancia  =0,05 t 0,975(15)gl = 2,131 Región crítica C = ] -  ; -2,131 ]  [ 2,131 ;  [ t 0  C C  Se acepta H 0 Es decir, el dispositivo nuevo no reduce significativamente el porcentaje de impurezas. Región crítica C = ] 0 ; 0,204 ]  [ 4,53 ;  [ F 0  C C  Se acepta H 0 :  1 2 =  2 2 