Matemáticas Financieras UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE DURANGO Agosto- Diciembre de 2017.

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1 Matemáticas Financieras UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE DURANGO Agosto- Diciembre de 2017.

2 Objetivo General Proporcionar los temas fundamentales de las matemáticas financieras, a partir del concepto de Valor de Dinero en el Tiempo y sus derivaciones, como marco de referencia para la solución de problemas en la operación y evaluación de los instrumentos de inversión, deuda y cobertura que se operan en los mercados financieros.

3 Criterios de evaluación y acreditación Examen: 60% Trabajo final y exposición: 30% Participación: 10%

4 Contenido 1.1. 2.2. 3.3. 4.4. 5.5. 6.6. 7.7. 8.8. Conceptos Básicos Interés Simple Interés Compuesto Tasas equivalentes, efectivas y nominales Inflación Técnicas de evaluación de proyectos de inversión Anualidades y Perpetuidades Amortización

5 Capítulo 1 CONCEPTOS BÁSICOS

6 Conceptos Básicos Capítulo 1. Conceptos Básicos Matemáticas Financieras  Sonunaramadelasmatemáticasqueexplicaelqueexplicael comportamiento del dinero a través del tiempo.  Es una herramienta básica para la toma de decisiones de tipo social, económico y financiero

7 CAMPO DE APLICACIÓN FUNDAMENTOSAPLICACIONES Procesos de Capitalización a Interés Simple y Compuesto Amortizaciones de valores o extinción de deudas Tasas y sus relaciones Sistemas de amortizaciones Monto en el campo continuo Tasa instantánea de interésProblemas relativos a la tasa de interés Procesos de ActualizaciónValuación de deudas Descuentos de tasasEmisión de empréstitos Valor Actual en el campo continuo Análisis en contextos inflacionarios Tasa instantánea de descuento Capítulo 1. Conceptos Básicos Yasukawa (2000)

8 Valor del Dinero en el tiempo  Aquí es importante familiarizarse con 2 elementos: Capítulo 1. Conceptos Básicos Dinero Tiempo  Estos dos factores están estrechamente relacionados debido a que el valor del dinero dependerá del momento en que lo utilicemos.

9 Ejemplo: Sirecibimosunaciertacantidaddedineroeldíadehoy, probablementenos sería más útil a que si nos la entregaran en dos meses Ahora si decidimos no utilizar el dinero en este momento estamos sacrificando un beneficio presente por uno futuro Este sacrificio debe ser compensado por una ganancia adicional. Esta ganancia es la tasa de interés que no esmás que el pago por el uso del dinero Consumo (Gasto) Ahorro Inversión PRESENTE Consumo (Gasto) Ahorro Inversión FUTURO Tiempo = Tasa de interés Capítulo 1. Conceptos Básicos

10 Capítulo 1. Conceptos Básicos La tasa de interés dependerá de la oferta y la demanda Si hay escasez de dinero el precio será alto y por tanto la tasa de interés será alta Si hay abundancia de dinero el precio bajará y las tasas también TASA DE INTERÉS Características

11 Ahorrador o inversionista Sacrifica el gasto presente Capítulo 1. Conceptos Básicos Disponeexcesoderecursos enun ahorro o inversión Recibe un rendimiento sobre sus ingresos connecesidades Persona financieras Acude aInstituciones financierasparaallegarsede recursos Costo del Dinero Elcostodeldinerodependedelpapelqueseasumaenalguna operación financiera, es decir acreedor o deudor Acreedor Deudor

12 Tasas de interés Capítulo 1. Conceptos Básicos Tasa Activa laInstitución Activode Financiera hacerhacer Eldeudorpagarápor uso del dinero prestado Tasa Pasiva PasivodelaInstitución Financiera La institución financiera ofrece al acreedor a cambio de resguardar el dinero por un determinado tiempo

13 Costo del dinero Deudor Ahorrador RENDIMIENTO (Tasa de interés pasiva) Exceso de dineroFalta de dinero Institución Financiera (Banco) COSTO DE CAPITAL (Tasa de interés activa) Capítulo 1. Conceptos Básicos

14 RESUMEN Conceptos: Matemáticas Financieras y aplicaciones Valor del dinero en el tiempo Tasa de interés Costo del dinero Acreedor Deudor Tasa Activa Tasa Pasiva Capítulo 1. Conceptos Básicos

15 Capítulo 2 INTERÉS SIMPLE

16 Características Capítulo 2. Interés Simple Rendimiento Secobraráopagará(dependiendolasituación)alfinaldeun intervalo de tiempo Utilizado en deudas a corto plazo (de un año o menos).

17 Componentes Capítulo 2. Interés Simple SiglaDefiniciónDescripción MMonto Capitalmásintereses intervalo de tiempo. generadosalfinaldel CCapital Inicial Cantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del período IInterés Rendimientogeneradoalfinaldelperíodo procedente del Capital Inicial i Tasa de interés Relación que se da entre el Interés y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo. tPlazo Intervalo de tiempo que dura la operación financiera. Existen dos criterios para la aplicación del plazo, tomar como base Año Comercial de 360 días o Año Natural 365 días. La tasa de interés y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. ) A menos que se aclare otra base, la tasa de interés se considera anual simple.

18 Funcionamiento Capital Fecha inicialFecha final Interés Monto PlazoPlazo Capítulo 2. Interés Simple

19 Ejemplo Capítulo 2. Interés Simple El Tesorero del Municipio A decide pedir un préstamo a una institución bancaria por la cantidad de $200,000.00; acordando con el ejecutivo de cuenta que en período de dos meses le entregará al banco la cantidad de $215,000.00. ¿Cuál es el Interés así como la tasa pactada? Se tienen los siguientes datos: C = $200,000 M =$215,000 t= dos meses

20 De acuerdo a la definición de Monto se tiene que: M = C + I Al sustituir los datos a la fórmula se obtiene que: 215,000 = 200,000 + I Entonces si se despeja la fórmula, I = $215,000 – $200,000 I = $15,000 Capítulo 2. Interés Simple

21 La tasa de interés, de acuerdo a la definición, es la relación que existe entre el Interés o Rendimiento generado y el Capital, por lo tanto: i = I / C Sustituyendo, i = $15,000 / $200,000 i = 0.075o bien expresado en porcentaje se multiplica por 100 y se obtiene 7.5% Lo anterior indicaque el préstamo contraído generó un interés del 7.5% en DOS MESES Capítulo 2. Interés Simple

22 Para convertirlo a una tasa anual se tomará como base el año comercial: i (anual) = i (del plazo) / T* 360 Sustituyendo, i(anual) = 7.5% / 60 * 360 i(anual) = 45% anual Capítulo 2. Interés Simple Conversión a Tasa Anual

23 Comprobación Capítulo 2. Interés Simple obtenertambiénelInterésatravésdelasiguiente Podemos ecuación: I = C * i * t Sustituyendo, I = $200,000 * (7.5% / 60 días) * 60 (Recordando la aclaración de que la base de la tasa de interés y el plazo, DEBE SER EL MISMO) I = $15,000

24 VALOR FUTURO Características Capítulo 2. Interés Simple El Valor Futuro es la suma del Capital e Intereses Fórmula: M = C + I Sustituimos I por, I= C * i * t Por tanto, M = C + (C * i * t) Factorizando, M = C (1 + i * t)

25 Ejemplo Capítulo 2. Interés Simple Al jefe del Departamento de Finanzas del Organismo de Agua Potable y Alcantarillado del Municipio H, se le pide abrir una cuenta bancaria para invertir los excedentes de recursos por los próximos dos años Investigando en diversas instituciones, la mejor tasa que le ofrecen es del 12% simple anual. ¿Cuánto obtendrá al término del plazo por el remanente de $300,000?

26 Los datos proporcionados son: C = $300,000 i = 12% ó0.12 t = 2 años Sustituyendo M = C (1 + i * t) M = 300,000 ( 1 + 0.12 * 2 ) M = 300,000 ( 1 + 0.24 ) M= 300,000 ( 1.24 ) M= $372,000 Capítulo 2. Interés Simple

27 Valor Presente Características Capítulo 2. Interés Simple El Valor Presente o Actual se le denomina al Capital Usos:  Conocer la cantidad de ahorro hoy para disponer en un futuro. Ejemplo:¿Qué cantidad setiene que ahorrar hoy para poder disponer de $150,000 en 10 años?  En cuestiones económicas hay necesidad de deflactar.

28 Capítulo 2. Interés Simple Fórmula: M = C (1 + i * t) Despejando la ecuación, C = M / (1 + i * t) EstaecuaciónsugierequeesdescontadoalValorFuturolos intereses generados durante un determinado período de tiempo.

29 Ejemplo: Capítulo 2. Interés Simple Una persona decide retirar el dinero de su Fondo de Ahorro porque desea adquirir un automóvil nuevo. Analizando la compra, se observó que el Primero de Marzo pagó $90,000.00; sin embargo el Primero de Diciembre decide venderlo para pagar unas deudas. Afortunadamente, la persona pudo venderlo a un precio de $110,000.00 Si sabemos que la tasa de mercado es de 11%, ¿Fue conveniente la operación?. (Para poder resolver este tipo de problema es necesario comparar el ingreso de $110,000 a la fecha del primero de marzo en condicione similares de mercado)

30 Por tanto: C1 = $90,000 M = $110,000 i = 11%ó 0.11 anual simple t = 9 meses ó9/12 = 0.75 Sustituyendo los datos: C2 = 110,000 / (1 + 0.11 * 0.75) C2 = 110,000 / ( 1.0825 ) C2 = $101,617 Ahora bien la diferencia entre C2 y C1 es de $11,617.00 lo que significa que a la persona le convino haber adquirido el automóvil y deshacerse de él 9 meses después, que haber invertido su fondo en alguna institución porque financieramente hubiera dejado de ganar dicha cantidad. Capítulo 2. Interés Simple

31 Resumen Interés Simple y sus componentes M = C + I i (anual) = i (plazo) / T * 360 I = C * i * t VF = C * (1 + i * t ) VP = M / (1 +i * t ) Capítulo 2. Interés Simple

32 Capítulo 3 INTERÉS COMPUESTO

33 Características Capítulo 3. Interés Compuesto Es utilizado en operaciones donde el Interés se van capitalizando, es decir, terminando un lapso de tiempo, éste se añade al Capital y se reinvierte Utilizando en operaciones con plazo mayores a un año

34 Componentes SiglaDefiniciónDescripción MMonto Capital más intereses generados al final del intervalo de tiempo. CCapital Inicial Cantidadinvertida,ahorradaoprestadaaliniciodel período IInterés Rendimiento generado al final del período procedente del Capital Inicial iTasa de interés Relación que se da entre el Interés y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo. Período de Capitalización Lapsodereinversióndeintereses(Anual,semestral, trimestral, bimestral, etc.) Frecuencia de Conversión Número de veces que el interés se capitaliza durante un año. tPlazo Intervalo de tiempo que dura la operación financiera. Existen dos criterios para la aplicación del plazo, tomar como base Año Comercial de 360 días o Año Natural 365 días. Capítulo 3. Interés Compuesto

35 Puntos a considerar Capítulo 3. Interés Compuesto La tasa de interés y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. ) A menos que se aclare otra base, la tasa de interés se considera que su capitalización es anual. La tasa de interés anual siempre debe convertirse de acuerdo al período de capitalización establecido. El interés compuesto es mayor al interés simple. A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga siendo igual la tasa anual nominal.

36 Funcionamiento Capital Intereses Fecha 0 Fecha 1 Monto 1 Capital Intereses Monto 2 Monto 1 Fecha 2 Período de capitalización 2 Frecuencia de Conversión = 2 Capítulo 3. Interés Compuesto Período de capitalización 1

37 60% anual capitalizable mensualmente?: i = 60% anual / 12 meses = 5% 36% semestral capitalizable trimestralmente?: i = 36% semestral / 2 trimestres = 18% 12% trimestral? : i = 12% 15% anual?: i = 15% anual / 1 año = 15% 18% anual capitalizable semestralmente?: i = 18% anual / 2 semestres = 9% 18% anual capitalizable mensualmente?: i = 18% anual / 12 meses = 1.5% 6.5% mensual? : i = 6.5% Ejercicios sobre Período de capitalización y frecuencia de conversión: ¿Cuál es la tasa de interés por período de: Capítulo 3. Interés Compuesto

38 ¿Cuál es la frecuencia de conversión?: Capítulo 3. Interés Compuesto   60% anual capitalizable mensualmente?:12 veces en 1 año 36% semestral capitalizable trimestralmente?: 2 veces en 1 semestre 12% trimestral? : 4 veces en 1 año 15% anual?: 1 vez en un año 18% anual capitalizable semestralmente?: 2 veces en 1 año 18% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 año 6.5% mensual? 1 vez al 1 mes

39 Valor Futuro Características Capítulo 3. Interés Compuesto Al Monto se le van adicionando los intereses generados por cada período de tiempo contemplando la tasa de interés capitalizada Fórmula: M = C (1 + i * t) En este casot = 1, ya que es un período, por lo que: M = C (1 + i ) Ahora (1 + i ) representa cada período de capitalización, por lo que el Capital se verá afectado por cada uno de los períodos que dure la operación financiera es decir:

40 M = C (1 + i )* (1 + i ) *(1 + i ) (Para tres períodos de una operación financiera) Porloque,estasucesióndemontosexpresadacomoprogresión geométrica resulta: M = C (1 + i) n C Capítulo 3. Interés Compuesto M3 1 + i M1M2

41 Ejemplo Capítulo 3. Interés Compuesto El jefe del área administrativa de la tesorería del Municipio “Z”, ha recibido una visita de un ejecutivo de una Sociedad de Ahorro y Préstamo para que abra una cuenta de ahorro.¿Cuánto recibirá al término de dos años? Le ofrecen dos opciones: a) Una cuenta a un plazo de 90 días con opción a reinvertirse los intereses, a una tasa anual fija de 9%. Si el Jefe de Administración tiene disponible $14,000.00; b) Una cuenta a un plazo de dos meses reinvirtiendo los intereses, a una tasa fija de 8%. c) Que pasaría si decidiera retirar su dinero al término de 1 año bajo la situación del inciso a

42 Inciso a) Capítulo 3. Interés Compuesto Los datos son: C = 14,000 t = 2 años i = 9% anual capitalizable trimestralmente En primer lugar es necesario convertir la tasa anual a trimestral: i = 9% anual / 4 trimestres = 2.25%ó.0225 Ahora bien en 2 años hay 8 trimestres, por lo tanton = 8 Sustituyendo, M = C (1 + i ) n M = 14,000 ( 1 +.0225 ) 8 M = 14,000 ( 1.194831 ) M = $16,727

43 Inciso b) Capítulo 3. Interés Compuesto b) Una cuenta a un plazo de dos meses reinvirtiendo los intereses, a una tasa fija de 8%. C = 14,000 t = 2 años i = 8% anual capitalizable bimestralmente. Convirtiendo la tasa: i = 8% anual / 6 bimestres = 1.33% ó 0.0133 n = 12 Sustituyendo, M = 14,000 (1 + 0.0133) 8 ¹² M = 14,000 ( 1.111779) M = $16,405.31

44 Inciso c) Capítulo 3. Interés Compuesto c) Que pasaría si decidiera retirar su dinero al término de 1 año bajo la situación del inciso a. n = 4 Sustituyendo, M = 14,000 ( 1 + 0.0225 ) M = 14,000 (1.093083 ) M = $15,303 4

45 VALOR PRESENTE Características Capítulo 3. Interés Compuesto Es utilizado para determinar el Capital necesario para invertir actualmente, a una tasa determinada, para llegar a tener un Monto fijado. Fórmula: M = C (1 + i ) C = M / (1 + i) -n óC = M * (1 + i) n n

46 Ejemplo Capítulo 3. Interés Compuesto Una persona necesita contar con $250,000 para terminar de pagar su casa en dos años, por lo que decide acudir a una Operadora de Fondos de Inversión en donde le ofrecen un instrumento de inversión con una tasa de interés del 13% anual capitalizable semestralmente. ¿Con¿Con Silatasapermaneceráconstanteduranteesteperíodo cuanto dinero deberá de abrir su cuenta en la Operadora?

47 Ejemplo Capítulo 3. Interés Compuesto Tenemos los datos: M = $250,000 i = 13% anual capitalizable semestralmente Obteniendo la tasa del período: i = 13% anual / 2 semestres = 6.5% ó 0.065 n = 4 Sustituyendo, C = 250,000 / (1 + 0.065 ) C = 250,000 / 1.286466 C = $194,330 4

48 Resumen VP = M * ( 1 + i ) Capítulo 3. Interés Compuesto Interés compuesto y sus componentes Período de capitalización Frecuencia de c n onversión VF = C * (1 + i ) n VP = M / ( 1 + i )ó -n-n

49 Capítulo 4 TASAS NOMINALES, EFECTIVAS Y EQUIVALENTES

50 TASA NOMINAL durantelavigenciadeladela Tasa anual Permanececonstante operación financiera INICIOFIN 15%

51 Ejemplos:  25% anual capitalizable bimestralmente  18% anual capitalizable trimestralmente  11% anual capitalizable semestralmente  5% anual Capítulo 4. Tasas

52 Período de capitalización (semestral) TASA NOMINAL ( 11 % anual ) + = Tasa nominal capitalizable al semestre ≠ 11% nominal anual capitalizable semestralmente 11% nominal anual TASAEFECTIVA ( Interés efectivamente generado durante un período )

53 TASA EQUIVALENTE Capítulo 4. Tasas Dos tasas nominales anuales con diferentes períodos de capitalización serán equivalentes, Sí Generan los mismos intereses al final de un año.

54 Interés ( 1 + i ) Interés ( 1 + j/m) j = tasa de interés anual nominal m = no. capitalizaciones al año Tasa Equivalente TASA NOMINAL CAPITALIZABLE 1 VEZ AL AÑO TASA NOMINAL CAPITALIZABLE 2 ó MÁS VECES AL AÑO (1 + i ) = ( 1+ j / m ) m Capítulo 4. Tasas

55 Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva de un instrumento financiero pactado a una tasa de17% anual capitalizable mensualmente? Capítulo 4. Tasas Despejandoi : (1 + i ) = ( 1 + j / m ) m m i= ( 1+ j / m )- 1 i= ( 1+ 0.17 / 12)- 1 12 i= 1.183892- 1

56 Capítulo 4. Tasas i= 0.1838ó18.38% Tasa nominal: 17 % anual Tasa efectiva de interés ganado : 18.38% Tasa equivalente a una tasa del 17% capitalizable mensualmente es 18.38% Si la persona decide invertir una cantidad de dinero a una tasa de interés de 17% reinvirtiendo los intereses cada 30 días, obtendrá el mismo rendimiento si lo invierte a una tasa del 18.38% capitalizados anualmente.

57 Resumen Tasa Nominal Tasa Efectiva Tasa Equivalente Capítulo 4. Tasas (1 + i ) = (1 + j / m) m

58 Capítulo 5 INFLACIÓN

59 ¿Qué es la Inflación? y por tanto, la consiguiente pérdida del poder de compra o poder adquisitivo de la moneda. $$$$ Capítulo 5. Inflación Aumento generalizadoy sostenidode los precios de losbienesy servicios

60 ¿Causas? Y Yo O El aumento de emisión de circulante sin un aumento equivalente de la producción de bienes y servicios. P P’ Po E E1E1 OAOA DA’ DA Capítulo 5. Inflación

61 ¿Cómo se mide? Capítulo 5. Inflación Se mide mediante el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), el cual es un indicador que mide el crecimiento promedio que sufren los precios de los bienes y servicios a través del tiempo.

62 ¿Cómo se calcula el INPC? Actualmente el INPC se calcula a través de un sistema de muestreo mediante el cual se recopilan 170,000 cotizaciones de productos específicos, que se agrupan en 313 conceptos genéricos provenientes de 46 localidades agrupadas en siete regiones del país. Banco de México Capítulo 5. Inflación

63 Características FORMAS DE EXPRESION PORCENTAJE (mensual, quincenal, trimestral) Ej. 2.4% INDICE (Respecto al año base) Ej. 126.18028 Capítulo 5. Inflación

64 Efecto compuesto (progresión geométrica) Ejemplo: 31/ 01 /0731/12/0628/02/07 31/03/07 5% 2%3%  (Enero – Marzo) = 5% + 2% + 3% = 10%  (Enero – Marzo) = 5% * 2% * 3% = 0.003% Capítulo 5. Inflación

65 Cálculo de la Inflación  =Índice del período actual - 1 * 100 Índice del período anterior Capítulo 5. Inflación **Su cálculo es un incremento común de valores

66 Ejemplos Capítulo 5. Inflación 1.1.SíelSíelíndicedepreciosafinalesdeMarzodeMarzo 121.06816000yafindeDiciembredelmismo de2006 fuedeañofuedede2006 fuedeañofuede 124.86924600, ¿Cuál fue la inflación en el período de tiempo?  (inicial) = 121.06816000 (final) = 124.86924600 Sustituyendo la fórmula:  (marzo – diciembre ) = ( 124.86924600 / 121.06816000 )-1 * 100  (marzo – diciembre ) = 3.13%

67 1.1. Capítulo 5. Inflación Si la inflación mensual promedio durante seis meses ha sido del 1.2%, ¿de cuánto será la acumulada en el semestre? **Lo que sugiere este ejemplo es que se tendrían que sumar la inflación de cada mes para poder obtener la inflación por el período o simplemente multiplicar 1.2% por 6. Sin embargo, los valores inflacionarios se comportan como una progresión geométrica como es el caso de la ecuación de Valor Futuro con Interés Compuesto [ M = C (1 + i)]. En consecuencia el cálculo correcto es el siguiente: n

68 Cálculo: Capítulo 5. Inflación  (semestre) = [ (1 +  (mensual) ) - 1 ] * 100 Sustituyendo,  (semestre) = ( 1. 012 ) - 1 * 100  (semestre) = 7.41 % n 6

69 Resumen Capítulo 5. Inflación Efecto compuesto: [ M = C (1 + i)]. Fórmula:  = ( Índice del período actual / Índice del período anterior -1 ) * 100 Concepto de inflación Causas de la inflación Medición de la inflación (INPC) Cálculo del INPC Formas de expresión de la infl n ación

70 Capítulo 6 TÉCNICAS DE VALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN

71 Proyectos Capítulo 6. Proyectos de Inversión Definición:  Conjunto de acciones planificadas que al optimizar el uso de los recursos disponibles (humanos, materiales y tecnológicos entre otros), minimiza los costos y maximiza los beneficios económicos y sociales del entorno Tipos:  Privados: busca la mejor opción para el inversionista donde su dinero genere los mayores beneficios, tomando en cuenta el tiempo de recuperación de la inversión y el nivel de riesgo  Sociales: + Complejo. Implica el analizar el impacto que tendrá sobre el bienestar social de la comunidad.

72 Proyectos Componentes:  Estudio de mercado  Estudio técnico  Estudio financiero  Estudio administrativo Aplicación: Valor del dinero en el tiempo Capítulo 6. Proyectos de Inversión

73 Medición de la Rentabilidad Sielvaloractualdelosingresosobeneficiosgeneradosson mayores a los desembolsos = RENTABLE ($ 300,000 ) $ 50,000 $ 150,000 $ 250,000$ 200,000 Desembolsos Beneficios PeríodoPeríodo Capítulo 6. Proyectos de Inversión 01234

74 1. VALOR PRESENTE NETO (VPN) Capítulo 6. Proyectos de Inversión coninterés TienecomobaselaecuacióndeValorPresente compuesto Cálculo similar al empleado en el valor actual de una inversión en bonos u obligaciones. Los administradores calculan el valor actual descontado para evaluar los proyectos de operaciones dentro de la empresa y las posibles compras de otras empresas y proyectos El valor presente neto es el valor actual de los flujos de caja netos menos la inversión inicial.

75 Capítulo 6. Proyectos de Inversión Fórmula: VA = C0 + M1 / (1 + i ) + M2 / (1 + i ) + M3 / (1 + i ) + M4 / (1 + i ) + … + Mn / (1 + i ) Simplificado: 3434 12n12n n VA =Co+  [Mn / (1 + i )] 1 VA = Valor Actual de los flujos Co = Capital inicial en el período cero. M = Flujos positivos o negativos i = tasa de interés cuyo rendimiento iguala el invertir la misma cantidad de dinero en otro instrumento financiero con menos riesgo. Es conocida también como tasa de descuento. n = no. de período n

76 Ejemplo Co = $300,000 F1 = $50,000 F2 = $150,000 F3 = $250,000 F4= $200,000 t = 11% ó 0.11 Sustituyendo: VA = - 300,000 + ( 50,000 / (1 + 0.11 )+ 150,000 / (1 + 0.11)+ 250,000 / (1 + 0.11)+ 200,000 ( 1 + 0.11 ) VA = - 300,000 + 45,045 + 121,743 + 182,797 + 131,746 VA = $181,331 3 2 1 4 Los ingresos futuros respaldan la inversión inicial ya que es mayor a cero, teniendo una ganancia adicional por $181,331.

77 2. PERÍODO DE RECUPERACIÓN DE INVERSIÓN Capítulo 6. Proyectos de Inversión También denominado payback Determina el tiempo necesario para que los flujos de caja netos positivos sean iguales al capital invertido. Brinda un panorama cercano a la realidad para saber en que momento los beneficios igualan a los costos o se recupera la inversión Razón de peso para dar preferencia a los de menor tiempo de recuperación (en los países donde la situación política y económica es muy inestable).

78 Capítulo 6. Proyectos de Inversión generarelproyectoynoelproyectoyno Sebasaenlaliquidezquepueda realmente en la rentabilidad del mismo Desventajas:  Sólo considera los flujos de caja netos positivos durante el plazo de recuperación y no considera estos flujos que se obtienen después de este plazo  No toma en cuenta la diferencia que existe entre los vencimientos de los flujos de caja netos positivos. 2. PERÍODO DE RECUPERACIÓN DE INVERSIÓN (CONT.)

79 Capítulo 6. Proyectos de Inversión Ejemplo: Sumando los flujos positivos M1 + M2 resulta un monto acumulado de $166,788; siendo el remanente $133,212a cubrirse durante el tercerperíodo.Estoindicaquesidividimos133,212/182,746 resultará la porción del tercer año en que se recupera la inversión ( 0.73), por lo tanto tenemos que la inversión se recupera en 2.73 años. PeríodoDesembolsos Ingresos o beneficios Monto Recuperado acumulado 0300,000- 300,000 145,045-254,955 2121,743-133,212 3182,79749,585 4131,746181,331

80 3. TASA INTERNA DE RETORNO Capítulo 6. Proyectos de Inversión El TIR es la tasa específica de descuento para la cual los beneficios descontados igualan el desembolso inicial, es decir, el NPV= 0. Es el costo máximo de Capital que puede respaldar un proyecto de inversión Se compara con la tasa requerida de retorno (RRR) para este tipo de inversión. El RRR es la misma tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN. Se aprobará el proyecto de inversión cuando el TIR sea mayor que el RRR.

81 Capítulo 6. Proyectos de Inversión Fórmula: Si la TIR > ientonces la Inversión es recomendable Si la TIR = ientonces la Inversión es indiferente y su elección dependerá de otros elementos Si la TIR < ientonces la Inversión no es recomendable n VA =Co+  [Mn / (1 + r )] 1 Donde, r = TIR i = tasa de descuento (de acuerdo a condiciones del mercado o el inversionista) que utilizará como punto de comparación (RRR). n

82 Cálculo de TIR Capítulo 6. Proyectos de Inversión ParalaobtencióndelaTIR,elprocedimientoresultauntanto complicado ya que se trata de un polinomio de grado n Recomendable tener una calculadora financiera (ingresar flujos de efectivo) Método alternativo: brinda una aproximación del valor real de la TIR y que se denomina: aproximaciones sucesivas. Dicho cálculo se basa en la regla de “prueba y error”.

83 Ejemplo por el método de aproximaciones su T c IR e 1 s = iv 3 a 0% s Capítulo 6. Proyectos de Inversión TIR2 = 31% TIR3 = 32% Sustituyendo TIR1 = 30%: VA1 = -300,000 + 38,461 + 88,757 + 113,791 + 70,025 VA1 =11,034 Sustituyendo TIR2 = 31%: VA2 = -300,000 + 38,167 + 87,407 + 111,205 + 67,911 VA2 =4,690 Sustituyendo TIR3 = 32%: VA3 = -300,000 + + 37,878 + 86,088 + 108,697 + 65,877 VA3 =-1,460 **La TIR se encuentra en el rango de 31 – 32%, cifra mayor a la tasa de descuento, por lo que la inversión es recomendable

84 3. Relación Costo - Beneficio losbeneficiosoflujos Esteindicadorbuscarmedirquetanto positivos del proyecto superan los costos La decisión de clasificar como rentable o no el proyecto dependerá sólo si la relación es mayor a 1 Fórmula: B/C=Valor Actual de los Beneficios Valor Actual de los Desembolsos > 1> 1 Capítulo 6. Proyectos de Inversión

85 Ejemplo Capítulo 6. Proyectos de Inversión C0 = 300,000 M1 = 45,045 M2 = 121,743 M3 = 182,797 M4 = 131,746 t = 11% ó 0.11 B/C = (45,045 + 121,743 + 182,797 + 131,746) / 300,000 B/C = 481,331 / 300,000 B/C = 1.6 El resultado indica que por cada $1 invertido en el proyecto, se están recuperando $1.6, por lo tanto se considera que el proyecto es rentable.

86 Resumen Proyectos Medición de rentabilidad  VPN  Período de recuperación de inversión  TIR  Relación de Costo Beneficio Capítulo 6. Proyectos de Inversión

87 Capítulo 7 ANUALIDADES Y PERPETUIDADES

88 Anualidades Sonunasucesióndepagosgeneralmenteigualesrealizadosen intervalos iguales de tiempo años,puedenser: Losintervalosnosonnecesariamente mensuales, bimestrales, quincenales, etc. Ejemplos: sueldos quincenales, pagos mensuales por la renta de una casa, pagos mensuales a tarjetas de crédito, pagos anuales de primas de seguros, pagos mensuales de hipotecas Intervalo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro Plazo: tiempo entre el primer y último pago Rentas de una anualidad: son los pagos periódicos por la vida de la anualidad.

89 Clasificación de anualidades ANUALIDADES CIERTAS (Los plazos comienzan y terminan en fechas determinadas ) Se dividen de acuerdo al tiempo en: CONTIGENTES O EVENTUALES (El primer y/o el último pago dependen de algún suceso, sin saber cuando ocurrirá ) VENCIDAS (Los pagos se hacen al final de cada período) ANTICIPADAS (Los pagos se hacen al principio de cada período) DIFERIDAS (Los pagos se aplazan por un cierto tiempo)

90 Ejemplo de Anualidad Vencida La beneficiaria de un seguro de vida recibirá $8,000 mensuales durante 10 años, sin embargo prefiere que le den el equivalente total al inicio del plazo. ¿Cuánto le darán si el dinero otorga un rendimiento promedio de 14% anual capitalizable mensualmente? VA = R1 – (1 + i/p ) -np i / p Donde: R = renta por cada período i = tasa de interés capitalizable en p períodos al año p = frecuencia de capitalización de intereses n = plazo en años Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

91 Los datos que se tiene son: R= $8,000 i = 14% anual capitalizable mensualmente ó 0.14 p = 12 n = 10 Sustituyendo, VA = 8,000 * ( 0.751406 / 0.011667 ) VA = $515,235 VA = 8,000 1 – ( 1.011667 ) -120 0.011667 Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

92 Ejemplo de anualidad anticipada Una persona renta una propiedad, cobrando una renta bimestral de $20,000, acordando con el arrendatario que los pagos deberán depositarse en el banco “X” el primer día de cada bimestre. Si el banco le paga al arrendador una tasa de interés de 6% anual capitalizable bimestralmente, ¿cuánto tendrá la persona al final de un año? VF = R- 1- 1- 1- 1 (1 + i/p ) np + 1 i /p Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

93 Los datos son: R = 20,000 i = 6% anual capitalizable bimestralmente ó 0.06% p = 6 n = 1 Sustituyendo, VF = 20,000 * 6.21 VF = $124,270 VF = 20,000( 0.072135 / 0.01000 )– 1 Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

94 Ejemplo de anualidad diferida Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades ¿Cuánto acumulará el municipio “P” en la fecha de jubilación de cada uno de sus empleados, si 3 años antes hace un depósito de $4,500 seguido de 20 depósitos mensuales de $1,200 cada uno, ganando intereses del 8% anual capitalizable mensualmente? Para poder determinar el monto al final a los tres años con una tasa i =.08 / 12, se tiene que calcular por separado: n El Valor final de $4,500 a tres años (ecuación de Valor Futuro con interés compuesto) n El Valor final de los depósitos a fecha del último de ellos (ecuación de Valor Futuro de una anualidad vencida) n El Valor final del monto acumulado de los depósitos al término de los tres años. n Suma de los resultados del Punto 1 + Punto 3

95 Esto es: M1= 4,500 * (1.006667 )36 M1= $5,716 M 2 = 1,200 * ( 1.006667 )( 1.006667) 20 – 1 0.006667 M2 = 1,280.0004 * ( 21.318869 ) M2 = $25,753 M3 = 25,753 * ( 1.006667 ) 16 M3 = $28,641 M4 = 28,641 + 5,716 M4 = $34,357 Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

96 Perpetuidades Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades Son una variable de las anualidades ciertas Se les llama a aquellos pagos cuyo plazo no tienen fin El número de períodos es muy grande Seestablecelatasadeinterésdelperíododetiempo(nose capitalizan los intereses) El valor de cada pago o renta equivalen a los intereses que se generan

97 Perpetuidades (Cont.) La tasa de interés es casi siempre anual y el valor de cada renta es igual a los intereses que se generan en el periodo Ejemplos: inversiones inmobiliarias de arrendamiento, pensiones o rentas vitalicias. Fórmula: R = I = C * i R = Valor de cada renta I = Interés C = Capital Inicial i= tasa de interés del período Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

98 Ejemplo 1: Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental -entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto debo depositar el día de hoy?. R = I = 2,500 i = 1.5% ó 0.015 C = ? R = I = C * i C = I / i C = 2,500/0.015 = $166,667 (Debo depositar el día de hoy $ 166,6667.Mensualmente el dinero gana $ 2,500 de interés. Este interés constituye la beca) Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

99 Ejemplo 2: Con el producto de sus ventas, la Lotería Nacional instituye una beca trimestral de $6,500. ¿De cuánto deber ser el capital a invertir a la tasa de interés del 15% compuesto trimestralmente? R = $6,500 i = 15% ó 0.015 / 4 = 0.0375 R = I = C * i C = R / i Sustituyendo, C = 6,500 / 0.0375 C = $173,333 Esto indica que mientras los $173,333 permanezcan invertidos con la misma tasa de interés, se podrá otorgar la beca de $6,500 trimestralmente por un tiempo indefinido. Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

100 Resumen Anualidades  Características  Clasificación Perpetuidades  Características Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

101 Capítulo 8 AMORTIZACIÓN

102 Características Capítulo 8. Amortización Concepto: operación mediante la cual se extingue gradualmente una deuda, mediante pagos periódicos, es decir en intervalos de tiempo iguales que comprenden una parte del capital y el interés (pueden ser simples o compuestos según sea el caso) Cada abono reduce el Capital, los intereses que se pagan van disminuyendo y aquella parte la deuda que aún so ha sido saldada se le conoce como saldo insoluto. Aplicación importante de las Anualidades

103 Características Capítulo 8. Amortización Dependiendodeltamañoylafrecuenciadelospagos,existen diferentes sistemas para amortizar un crédito. Estos son:  Amortización gradual: Forma más usual para liquidar deudas, Los abonos (amortización + intereses) periódicos tienen la misma frecuencia y son por cantidades iguales. Es conveniente cuando la inflación es relativamente baja.

104 Características Capítulo 8. Amortización  Amortización constante: LaporcióndelabonoamortizaelCapitaladeudadoes constante. Ventajas:el cálculo del saldo insoluto en cualquier período resulta fácil de realizar Útilencasosderefinanciarocancelarladeudaenese momento.

105 Características Capítulo 8. Amortización  Amortización con renta variable: Cadaabonoysucorrespondienteamortizaciónesmayor que los anteriores. Los primeros pagos son pequeños, haciendo, en ocasiones, queladeudaseincrementeparaluegocomenzara reducirse cuando los pagos son mayores. Utilizadoenoperacionesamedianoylargoplazo,pero sobre todo cuando los índices inflacionarios son altos.

106 Tablas de amortización Herramienta de registro de la deuda donde que plasma de manera ordenada la deuda inicial, capital pagado, intereses y el saldo insoluto. Para poder construir una tabla de amortización se debe comenzar con la obtención del valor del abono, de acuerdo a lo siguiente: a =C * i 1 - ( 1 + i ) -n Donde: a = Valor del abono C = importe de la deuda i = tasa de interés del período n = no. de períodos en que se va a liquidar la deuda Capítulo 8. Amortización

107 Método de pagos iguales o anualidades Capítulo 8. Amortización Este método consiste en hacer pagos iguales, el pago de capital va en aumento mientras que el pago de intereses va en decremento. El valor del pago se determina con la fórmula de anualidades. (a)(b)(c)(d)(e)(f) PeríodoSaldo InicialPagoInteresesCapitalSaldo Insoluto 1Capitalk(b)1. i(c)1 – (d)1(b)1 – (e)1 2(f)1k(b)2. i(c)2 – (d)2(b)2 – (e)2 3(f)2k(b)3. i(c)3 – (d)3(b)3 – (e)3 n(f)n-1k(b)n. i(c)n – (d)n(b)n – (e)n= 0

108 MÉTODO DE PAGO PERIÓDICO DE INTERÉS. CAPITAL AL VENCIMIENTO. Capítulo 8. Amortización Este método realiza únicamente pagos de interés, haciendo la amortización total al final. Es la forma clásica de un bono. (a)(b)(c)(d)(e)(f) PeríodoSaldo InicialPagoInteresesCapitalSaldo Insoluto 1Capital(d)1(b)1. i0.0(b)1 – (e)1 2(f)1(d)2(b)2. i0.0(b)2 – (e)2 3(f)2(d)3(b)3. i0.0(b)3 – (e)3 n(f)n-1(d)1+ (f)n-1 (b)n. iCapital(b)n – (e)n= 0

109 Ejemplo del método de pagos iguales Capítulo 8. Amortización ElTesorerodelmunicipio“H”, lepideal encargadodel área de finanzas que le realice un plan de pagos del préstamo contraído por $300,000 a 3 años a liquidarse mediante pagos semestrales con una tasa de interés del 17%. Los datos son: C = 300,000 i = 17% / 2ó 0.085 n = 6 pagos Parapoderdeterminarelmontodelospagossemestralesse sustituye en la fórmula los datos:

110 Método de amortizaciones iguales más intereses sobre saldos insolutos. Este método realiza amortizaciones de capital iguales; los intereses y el pago decrecen. La amortización se calcula dividiendo el capital total entre el número total de pagos. (a)(b)(c)(d)(e)(f) PeríodoSaldo InicialPagoInteresesCapitalSaldo Insoluto 1Capital(d)1 + (e)1(b)1. ik(b)1 – (e)1 2(f)1(d)2 + (e)2(b)2. ik(b)2 – (e)2 3(f)2(d)3 + (e)3(b)3. ik(b)3 – (e)3 n(f)n-1(d)n + (e)n(b)n. ik(b)n – (e)n= 0 donde k = Capital n Capítulo 8. Amortización

111 a = 25,500 / 0.387055 a = $65,882 Una vez teniendo el monto del Abono, se empezará a llenar la tabla de amortización. Capítulo 8. Amortización a =300,000 * 0.085 1 - ( 1 + 0.085 ) -6

112 Llenado de la Tabla de Amortización Capítulo 8. Amortización 1.1. Los datos que se sugieren colocar son: Período, Saldo Inicial, Abono, Intereses, Amortización y Saldo Insoluto. 3.3. En la primera columna, se anotará el no. de cada período, que para este ejemplo son 6 5.5. Se empezará a llenar los datos de manera horizontal y de izquierda a derecha comenzando con el Saldo inicial en el período cero (período donde comienza la vida del préstamo y no se pagan ni intereses ni capital). 7.7. Comenzandoelperíodo1,vaciamoslacifradeabonoque permanecerá constante durante la vida del préstamo.

113 Llenado de la Tabla de Amortización (Cont.) Capítulo 8. Amortización 1.1. Se realiza el cálculo de intereses: 300,000 * 0.085 = 25,500 3.3. La amortización como parte del Abono ( Abono = Intereses + Amortización ) se calculará: 65,882.12 – 25,500 = 40,381.12 7.7. El saldo insoluto resultará de restar el Saldo Insoluto del Período anterior (300,000) menos la amortización (40,381.12) 9.9. Se comienza los cálculos del segundo período y así sucesivamente hasta que el Saldo Insoluto del último período sea cero.

114 La tabla llenada: Capítulo 8. Amortización PeríodoSaldo InicialAbonoInteresesAmortizaciónSaldo Insoluto 0300,000.00 1 65,882.1225,500.0040,381.12259,617.88 2 65,882.1222,067.5243,814.60215,803.28 3 65,882.1218,343.2847,538.84168,264.44 4 65,882.1214,302.4851,579.64116,684.80 5 65,882.129,918.2155,963.9160,720.88 6 65,882.125,161.2860,720.880.00

115 Resumen Capítulo 8. Amortización Características Sistemas de amortización Tabla de amortización  Cálculo del Abono  Llenado de tabla