PF9308 – Conceptos iniciales de las ecuaciones diferenciales Luis Quirós.

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1 PF9308 – Conceptos iniciales de las ecuaciones diferenciales Luis Quirós

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3 ¿De donde obtenemos las ecuaciones diferenciales? Ecuaciones de conservación: ▫Energía. ▫Materia/masa. ▫Cantidad de movimiento. ▫Carga eléctrica. Modelo constitutivos ▫Conducción de calor de Fourier ▫Elasticidad lineal ▫Hiperelasticidad ▫“Ley” de gas ideal

4 Image source: http://i.imgur.com/Ow3kQfD.gif Image source: https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/Images/nseqs.gif

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6 Sistemas de coordenadas. Coordenadas cartesianas: ▫3 coordenadas (X, Y, Z) Coordenadas cilindricas ▫Componentes axial, radial y angular Coordenadas esféricas. ▫Radial y dos angulares Fuente de imagen: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/ 5/51/Spherical_Coordinates_(Colatitude,_Longitud e).svg

7 Descripción de las variables según sus coordenadas: Coordenas de Lagrange (materiales) Coordenadas de Euler (espaciales)

8 Dependencia del tiempo: Estado Estacionario, cuasi-estático, y dinámico. Problema de valor de frontera o contorno (BVP) Problema de valor inicial (IVP) Otros: ▫ Análisis modal ▫Modos de pandeo

9 Ejemplo: Considere la siguiente ecuación: Caso de estudioVariable primaria u aCf Transferencia de calor Temperatura T-T ∞ Conductancia térmica k A Convección por longitud p h Generación de calor f Barra elásticaDesplazamiento u Rigidez axial E A Rigidez a tierra c Fuerza axial f ElectroestáticaPotencial eléctrico Φ Constante dieléctrica ε N/A Densidad de carga ρ Tabla: (Reddy, 2004)

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11 Tensores, sus valores propios: Aplicación ¿Qué es un tensor? “Una generalización de escalares, vectores y matrices a cualquier cantidad arbitraria de índices” “Un tensor de rango n…es un objeto matemático …y que obedece ciertas reglas de transformación.” Wolfram Alpha Podemos verlos como: Un arreglo multidimensional de elementos. Una entidad definida en el espacio independiente de la orientación del sistema de coordenadas.

12 Tensores de orden cero: Escalares Su valor es invariante del cualquier sistema de coordenadas. Ejemplos de valores físicos: ▫Posición ▫Densidad ▫Densidad de carga

13 Tensores de orden uno: Vectores Su magnitud es invariante. Ejemplos de valores físicos: ▫Posición y sus derivadas. ▫Flujo de calor ▫Flujo de corriente

14 Tensores de orden dos: Matrices con dos subindices. Poseen 3 invariantes (e.g. valores propios). Ejemplos de valores físicos: ▫Esfuerzos ▫Deformaciones

15 Tensores de esfuerzos y deformación:

16 Convención de esfuerzos

17 ¿Porqué hablamos de tensores? Estos son extensamente usados para el desarrollo de nuevas ecuaciones constitutivas. Esta expresión representa el modelo de elasticidad lineal en forma tensorial:

18 Valores propios Los valores propios de los tensores son los componentes ortogonales (de la diagonal) en la orientación de coordenadas, en la que el tensor se vuelve diagonal, o sea los componentes no diagonales son cero. En dicha orientación los valores propios son extremos (max y min). Fuente de imagen: http://personal.strath.ac.uk/j.wood/CCOPPS_DBA/resources/figures/N_fig_24.png En mecánica de sólidos estos se usan para: ▫Criterios de falla ▫Análisis de líneas de fuerza internas ▫Modos de vibración ▫Otros

19 Esfuerzos X y Y

20 Concentración de esfuerzos Esfuerzos principales

21 Problema de valores y vectores principales

22 Calcule las deformaciones principales

23 Introducción a paquetes de software

24 LAB-1 Barra de Acero 0.25x0.1x1 m Fuerza de tensión F=500 KN Use descripciones en1D, 2D y 3D. Compare con resultados teóricos.

25 Referencias Chandrupatla, Tirupathi, R. y Ashok D. Belegundu. Introducción al estudio del elemento finito en ingeniería. Segunda edición, México D.F.: Prentice Hall 1999. Reddy, J. (2004). An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. New York: Oxford Univesity Press Inc. Beer, F. P., & Johnston, E. R. (2010). Mecánica de Materiales (5th Ed.). México: McGraw-Hill.