APLICACIONES DE LA RECTA MATEMÁTICA 1. ¿Cuántos puntos en el plano cartesiano son suficientes para trazar una recta? ¿Qué nombre recibe el ente matemático.

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1 APLICACIONES DE LA RECTA MATEMÁTICA 1

2 ¿Cuántos puntos en el plano cartesiano son suficientes para trazar una recta? ¿Qué nombre recibe el ente matemático que me permite determinar la inclinación de una recta? ¿Cuántas formas conoce para hallar la ecuación de una recta? ¿Qué se necesita conocer para hallar la ecuación de una recta? Responda las siguientes preguntas:

3 Un automóvil se deprecia linealmente $1 000 por año y tiene un valor de $10 400 después de 4 años. Determine el valor de la pendiente de la recta. ¿Qué significa el valor de la pendiente? Determine la ecuación que exprese el valor del automóvil en cualquier año. Grafique dicha ecuación. ¿Cuál es el valor del automóvil después de 6 años? EL PRECIO DE UN AUTOMOVIL

4 LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas de contexto real relacionados a la gestión empresarial haciendo uso de las ecuaciones de la recta; de forma correcta.

5 CONTENIDO : VALORIZACIÓN DE UN ACTIVO DEPRECIACION, COSTO TOTAL PUNTO DE EQUILIBRIO, UTILIDAD OFERTA Y DEMANDA BIBLIOGRAFIA APLICACIONES

6 VALORIZACIÓN DE UN ACTIVO Un activo o en general un bien puede crecer o decrecer su valor a lo largo del tiempo en forma lineal y puede expresarse en general como: i)Si m < 0 diremos que el activo se esta “ depreciando” ii ) Si m>o el activo se esta “apreciando"

7 DEPRECIACIÓN Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada año en un 10% de su valor original. Si el valor original es $8000, ¿Qué ecuación expresa el valor V de la maquinaria después de t años de la compra, donde 0 < t < 10 ?. ¿Cómo se utiliza la ecuación para determinar el valor de la máquina en cualquier tiempo t?

8 x y P Q a b f(a) f(b) RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO Es el cociente entre las variaciones :

9 EJEMPLO 1 La siguiente tabla muestra las ventas en dos años diferentes en dos tiendas en una cadena de tiendas de descuento. TiendaVentas en 1992Ventas en 1995 A$100 000$160 000 B$50 000$140 000 Un estudio de los libros de la empresa sugiere que las ventas de ambas tiendas han crecido linealmente (es decir, las ventas pueden aproximarse por una función lineal con bastante precisión).

10 a)Encuentre una ecuación lineal que describa las ventas de la tienda A b) Encuentre una ecuación lineal que describa las ventas de la tienda c) Encuentre la razón de cambio promedio en “a”.

11 d) Encuentre la razón de cambio promedio en “b”. e) Compare resultados. Si y= mx+b es una ecuación de la recta, entonces la razón de cambio promedio de y con respecto a x es la pendiente de la recta: y = mx +b.

12 COSTO TOTAL Cuando una empresa produce un bien, intervienen dos tipos de costos: –Los Costos Fijos (CF), que no dependen del número de unidades producidas o nivel de producción. Por ejemplo: Rentas, intereses sobre prestamos, Salarios. –Los Costos Variables(CV), que si dependen de la cantidad de artículos producidos. Por ejemplo: los costos de los materiales. –Los Costos Totales (C) son la suma de los costos fijos más los costos variables. C = CF + CV C = CF + CV Costo total = Costos totales variables + Costos fijos m1 : costo variable por unidad x : cantidad de unidades producidas b : costo fijo

13 Suponga que las ventas de un comerciante son aproximadas por una ecuación lineal y que las ventas fueron de $850 000 en el 2002 y de $1 265 000 en el 2007. Considere que x = 0 corresponde al 2002. a.Encuentre una ecuación que dé las ventas anuales del comerciante. b.Use esta ecuación para aproximar las ventas del 2009. c.El comerciante estima que una nueva tienda será necesaria cuando las ventas excedan $ 2 170 000. ¿Cuándo ocurrirá esto?.

14 PUNTO DE EQUILIBRIO Es el número de unidades producidas y vendidas que hacen que los ingresos por ventas sean iguales a los costos totales de producción, o que no hay utilidad ni pérdida. Ingreso Total: Es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción. Ingreso Total = (Precio por unidad)(N° de unidades vendidas) donde: “m2" es el precio de venta por unidad. "x" es el número de unidades de un producto fabricados o vendidos.

15 GANANCIA TOTAL O UTILIDAD Ganancia = Ingreso total - Costo total donde: “m1" es el precio de venta por unidad. "m2" es el costo variable por unidad. "b" es el costo fijo por unidad. "x" representa la cantidad de unidades del artículo producidos y vendidos.

16 UTILIDAD = INGRESO-COSTO C = C U. q + C F I = p. Q U = I – C = ( p - C U ). q - C F q C, I, U CFCF -C F VMP C I U Observación: Si U > 0 entonces la utilidad es ganancia G. Si U < 0 entonces la utilidad es perdida P. Volumen Mínimo de Producción (VMP): Utilidad = 0 Ingreso = Costo Total

17 Los costos fijos por producir una lata de ¨Net-bol¨ son de S/. 5000 diarios y los costos variables son de S/. 3.5 por lata. El precio de cada lata es S/. 6.00. Si ¨x¨ representa el número de latas producidas y vendidas. Determine: a)La ecuación ingreso total y la ecuación costo total. b) Grafique dichas ecuaciones y determine el número de latas que deberán producirse y venderse al día para lograr el punto de equilibrio, además señale la zona de ganancia y la zona de pérdida. EJEMPLO

18 a)Ingreso Total I = p.x = 6x Costo Total C= CF + CV C= 5000 + 3.5x b) Punto de equilibrio: I = C 6x = 5000 + 3.5x 6x - 3.5x = 5000 2.5x = 5000 Xeq = 2000 SOLUCIÓN

19 GRAFICA :

20 DEMANDA LINEAL La demanda está relacionada con el comportamiento de los compradores. Expresa una relación entre dos variables económicas: “El precio de un bien en particular” y “La cantidad de ese bien que los consumidores están dispuestos y en condiciones de adquirir”. Cuanto menor sea el precio, mayores serán las cantidades demandadas. precio cantidad demandada q p D

21 OFERTA LINEAL La oferta está relacionada con el comportamiento de los productores, o vendedores. Refleja la disposición que tienen de ofrecer bienes o servicios a cambio de un pago o reconocimiento expresado en un precio. Cuanto más alto sea el precio mayor será la cantidad ofrecida, permaneciendo otros factores constantes. cantidad ofertada q precio p O

22 La ecuación de oferta y de demanda lineales se pueden expresar en general : OFERTA: ( donde m>0) DEMANDA: ( donde m<0) Ambas las podemos graficar considerando Por lo general en el eje horizontal la cantidad demandada (q) y en el vertical el precio (p ). P = mq + b

23 EQUILIBRIO DEL MERCADO cantidad demandada precio q p O D Equilibrio qeqe pepe

24 ¿ Qué ocurre en el mercado de un bien cuándo el precio no es el de equilibrio ? Se pueden dar dos situaciones a)El precio es superior al de equilibrio a)El precio es superior al de equilibrio Supongamos que el precio es 5 Al ser el precio 5 mayor que el de equilibrio 4, se producirá un exceso de oferta: la cantidad ofrecida 40 es mayor que la cantidad demandada 20. Para poder aumentar sus ventas, los oferentes deberán bajar el precio hasta llegar al precio de equilibrio. Al ser el precio 5 mayor que el de equilibrio 4, se producirá un exceso de oferta: la cantidad ofrecida 40 es mayor que la cantidad demandada 20. Para poder aumentar sus ventas, los oferentes deberán bajar el precio hasta llegar al precio de equilibrio.

25 b) El precio es inferior al de equilibrio b) El precio es inferior al de equilibrio Supongamos que el precio es 3 Al ser el precio 3 menor que el de equilibrio 4, se producirá un exceso de demanda: la cantidad demandada 40 es mayor que la cantidad ofrecida 20. Al haber muchos compradores, los oferentes, ante esta situación de escasez, subirán el precio hasta llegar al precio de equilibrio. Al ser el precio 3 menor que el de equilibrio 4, se producirá un exceso de demanda: la cantidad demandada 40 es mayor que la cantidad ofrecida 20. Al haber muchos compradores, los oferentes, ante esta situación de escasez, subirán el precio hasta llegar al precio de equilibrio.

26 APLICACIONES La demanda semanal de los iPod es de 500 unidades cuando el precio es de $ 1525 cada uno, y 300 unidades cuando el precio es de $1725 cada uno. Determine la ecuación de demanda para los iPod suponiendo un comportamiento lineal.

27 El costo variables de procesar un kilo de café es de $0.50 y los costos fijos por día son de $300. a)Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica. b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de café en un día APLICACIONES

28 El costo C (en dólares) de fabricar x llantas está dado por la ecuación C= 45x + 6 000. Cada llanta puede venderse en $ 60. a)Encuentre una ecuación que exprese el ingreso I por vender x llantas. b)Encuentre la ecuación que expresa la utilidad U por vender x llantas. c)En un mismo sistema de coordenadas, grafique C, I y U. APLICACIONES

29 ¿Cómo aprendí a resolver aplicaciones de la ecuación de la recta? ¿Qué procesos fueron difíciles de desarrollar? ¿De qué manera resolví las dificultades encontradas? ¿Qué he aprendido en esta sesión? Responden:

30 Los estudiantes eligen una situación problemática y elaborar un problema de aplicación donde intervienen ecuaciones de recta, deben resolver e interpretar sus resultados dentro del contexto elegido. TRANSFERENCIA

31 #CÓDIGO-LAUTORTÍTULOPÁGINAS [1]510 HAEU Haeussler, Ernest; Richard Paul. Matemáticas para administración y economía. 128-152 [2] 510 ARYA 2009 Arya Jagdish Matemáticas Aplicadas para la administración y a la economía. 122-130 [3] 510 HARS 2009 Harshbarger & Reynolds Matemáticas Aplicadas para la administración y a la economía. 270-383 REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA