1 Conceptos básicos de dinámica estructural Fundamentos de dinámica de estructuras Septiembre de 2009.

Presentación del tema: "1 Conceptos básicos de dinámica estructural Fundamentos de dinámica de estructuras Septiembre de 2009."— Transcripción de la presentación:

1 1 Conceptos básicos de dinámica estructural Fundamentos de dinámica de estructuras Septiembre de 2009

2 CONTENIDO Conceptos básicosdedinámica 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Introducción Estructura simple Grados de libertad Sistemas elásticos Amortiguamiento Ecuación de movimiento Excitación sísmica Fundamentos de dinámica de estructuras2

3 Introducción La Dinámica de Estructuras es un área del análisis mecánico de las construcciones que estudia el efecto de las acciones externas que producen vibraciones. Su desarrollo comienza en el siglo XIX con las investigaciones de Lord Rayleigh sobre los efectos del sonido en cuerpos elásticos las cuales aun tienen validez. Actualmente esta área de la Mecánica presenta un estado avanzado de desarrollo pues se ha logrado establecer métodos de cálculo para estructuras lineales y no lineales sometidas a acciones deterministas o aleatorias. Fundamentos de dinámica de estructuras3

4 Introducción El análisis dinámico de estructuras consiste en determinar la respuesta (desplazamientos, velocidades y aceleraciones) de estructuras sometidas a excitaciones (acciones dinámicas). Los parámetros más significativos de la respuesta son los desplazamientos relativos máximosyaceleracionesabsolutas. Fundamentos de dinámica de estructuras4

5 Introducción Este capítulo introductorio comienza con la definición de algunos términos básicos en la dinámica estructural. Se hace la deducción de las ecuaciones del movimiento dinámico de un sistema sencillo es decir de un grado de libertad. Luego se describen brevemente las principales cargas dinámicas que actúan sobre las estructuras y se discute la utilidad de los sistemas sencillos para representar el comportamiento de estructuras más complejas. Fundamentos de dinámica de estructuras5

6 Introducción Las principales acciones dinámicas que actúan sobre las estructuras sonlassiguientes: –––––––––– Motores y equipos mecánicos. Terremotos. Vientos. Oleaje. Otras: Impacto. Paso de vehículos Explosiones. opersonas. Fundamentos de dinámica de estructuras6

7 Estructura simple Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa concentrada “en la parte superior” soportadapor un elemento estructural queproporcionarigidezenla direcciónconsiderada. Fundamentos de dinámica de estructuras7

8 Estructurasimple Fundamentos de dinámica de estructuras8

9 Grados de libertad El grado de libertad es definido como el número de desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadasdetodaslasmasasrelativas asusposicionesoriginales. Fundamentos de dinámica de estructuras9

10 Grados de libertad Un grado de libertad corresponde a cualquier movimiento posible de los nodosdelos elementosen unadirecciónnorestringida. Fundamentos de dinámica de estructuras10

11 Grados de libertad En el caso dinámico el modelo empleado aquí está basado en la suposición de que la rigidez se concentra en se un resorte que carece de masa mientras que lamasa ubicaenuncuerporígidoquenosedeforma. Fundamentos de dinámica de estructuras11

12 Gradosdelibertad Fundamentos de dinámica de estructuras12

13 Grados de libertad Para un marco planobásico tenemos: –––– Análisis estático: dinámico: 3131 DOF Fundamentos de dinámica de estructuras13

14 Grados de libertad Obviamente, cualquier estructura posee un número infinito de grados de libertad debido a su continuidad pero el proceso de discretización en un número finito aunque elevado de elementos ellos. supone Discretización deunaviga simple: –––– Modelo continuo: discreto: ∞3∞3 DOF Fundamentos de dinámica de estructuras14

15 Sistemas elásticos Un material es elástico cuando recupera su forma original después de retirar la carga aplicada si además existe una proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientossedicequeelmaterialeslineal. – Donde k es la rigidez lateral del [fuerza/longitud]. sistema y suunidad es Fundamentos de dinámica de estructuras15

16 Amortiguamiento El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente. En sistemas simples la mayor parte de la disipación de la energía proviene de efectos térmicos causados por repetidos esfuerzos elásticos del material interna cuando el sólido es deformado. ydelafricción Fundamentos de dinámica de estructuras16

17 Amortiguamiento En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prácticos el amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizadosatisfactoriamente porun amortiguamiento linealviscoso. –A diferencia de la rigidez, el coeficientede amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras actuales. Fundamentos de dinámica de estructuras17

18 Ecuación de movimiento Modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la acción de una fuerza dinámica p(t) aplicada en la dirección tiempo. deldesplazamientoulascualesvaríanconel Fundamentos de dinámica de estructuras18

19 Ecuacióndemovimiento Fundamentos de dinámica de estructuras19

20 Ecuacióndemovimiento Fundamentos de dinámica de estructuras20

21 Excitación sísmica Si lo que se tiene es un movimiento inducido no por una fuerza aplicada sino porunmovimiento aplicadoenla basedelaestructura. Fundamentos de dinámica de estructuras21

22 http://campusvirtual.ues.edu.sv/

23 2 Vibraciones libres de sistemas conun grado de libertad Fundamentos de dinámica de estructuras Septiembre de 2009

24 CONTENIDO Vibraciones libres 1. 2. 3. 4. 5. Introducción Teoría general de vibraciones Definición de vibración libre Vibración libre no amortiguada amortiguada Fundamentos de dinámica de estructuras2

25 Introducción En los problemas de ingeniería no es siempre posible obtener soluciones matemáticas rigurosas. En realidad solo en algunos casos simples puede obtenerse soluciones analíticas Cuando los problemas implican propiedades de materiales, distribución de cargas y condiciones de contorno complejas es necesario introducir simplificaciones, cumplimiento de economía. esto teniendo a la vista el los criterios de seguridad y Fundamentos de dinámica de estructuras3

26 Introducción El nexo entre el sistema físico y solución matemática se obtiene matemático. la posible con el modelo El estudio de las vibraciones se movimientos de los cuerpos y a asociadas con ellos. refiere a los las fuerzas Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar Fundamentos de dinámica de estructuras4

27 Teoría general de vibraciones Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo queoscilaalrededorde posicióndedeequilibrio. El sistema tiende a retornara dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. Fundamentos de dinámica de estructuras5

28 Tipos de vibraciones Teoríageneraldevibraciones Amortiguadas Libres No amortiguadas Vibraciones Amortiguadas Forzadas No amortiguadas Fundamentos de dinámica de estructuras6

29 Conceptos generales Teoría general de vibraciones Periodo de vibración: Es el intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento. Frecuencia: Es el número de tiempo. de ciclos por unidad Amplitud de vibración: Es el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio. Fundamentos de dinámica de estructuras7

30 Definición de vibración libre Una estructura está en vibración libre cuando es equilibrio y perturbada de su posición estáticade comienza alguna. avibrarsinlaexcitaciónfuerzaexterna Fundamentos de dinámica de estructuras8

31  Vibración libre no amortiguada El sistema de marco mostrado es sacado de su posición de equilibrio por la aplicación desplazamiento, debido a las sistema entra en vibración. de una fuerza o un fuerzas de restitución el Este sistema puede reducirse a un solo grado de libertad para el deformaciones rigidez. análisis dinámico, si se desprecian las axiales y se supone una vigadegran Fundamentos de dinámica de estructuras9

32 Vibración libre no amortiguada La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es: Donde por convenienciaω n es la frecuencia natural o frecuencia circular natural en vibración libre del sistema y es igual a: De acuerdo a la teoría de ecuaciones diferenciales la ecuación anterior es una EDH de segundo orden con coeficientes constantes y su solución es: Fundamentos de dinámica de estructuras10

33 Vibración libre no amortiguada Donde A y B son constantes que se hallan a partirde las condiciones iniciales de velocidad: desplazamientoy Obteniéndoseporlotanto: Fundamentos de dinámica de estructuras11

34 Vibración libre no amortiguada El sistema presenta el siguientecomportamientode desplazamiento contratiempo: Fundamentos de dinámica de estructuras12

35 Vibración libre no amortiguada A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un de ciclo de vibración libre es denominado periodo natural vibración: Lafrecuencia cíclica natural de vibración, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 segundo detiempo y su valor es: Las propiedades de vibración natural, dependen de la masa y rigidez de la estructura. Fundamentos de dinámica de estructuras13

36 Vibración libre no amortiguada Si se hace una representación vectorial del movimiento, puede obtenerseunaunaecuaciónalternaparalasolución delaEDH: Fundamentos de dinámica de estructuras14

37 Vibración libre no amortiguada Esta ecuación auxiliándose desfase es: deun ángulode fase o de Quetienecomosolucionesdesusconstantesuouo yø: Fundamentos de dinámica de estructuras15

38  Vibración libre amortiguada Si en el sistema anterior consideramos la perdida de energía en el tiempo, lo que con amortiguación viscosa: tenemos será un sistema Elcualpuederepresentarseporelsiguientemodelo: Fundamentos de dinámica de estructuras16

39 Vibración libre amortiguada La ecuación de movimiento para un amortiguado en vibración libre es: sistema lineal Dividiendo la ecuación por la masaseobtiene: Además se ha introducido la razón crítico: deamortiguamiento Y el coeficientede amortiguamiento crítico: Fundamentos de dinámica de estructuras17

40 Vibración libre amortiguada Las soluciones de la ecuación diferencial anterior dependerá de los valores que tome la razón de amortiguamiento. Así tenemos: – Sistema con amortiguamiento crítico ξ=1 (c=c cr ): El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar. –Sistema sobreamortiguado ξ >1 (c>c cr ): El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente. – Sistema subamortiguado ξ <1 (c<c cr ): El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente. Fundamentos de dinámica de estructuras18

41 Vibración libreamortiguada amortiguamiento crítico, c cr, es llamado es un valor pequeño de c que inhibe El coeficiente de así debido a que completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio. Las estructuras civiles poseen una relación de amortiguamiento ξ <1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados. En mediciones experimentales se han identificado valores de ξ entre 0.02 y 0.05 para los materiales estructurales típicos. Fundamentos de dinámica de estructuras19

42 Vibración libre amortiguada Los tipos de movimiento resultante en vibración amortiguada dependendelosparámetrosdeamortiguamiento: Fundamentos de dinámica de estructuras20

43 Sistema subamortiguado Vibración libre amortiguada Para un sistema subamortiguado (con ξ <1) la solución de la ecuación diferencial es la siguiente: Donde ω d es la frecuencia natural de la vibración amortiguada y vale: El valor del periodo natural de vibración amortiguadoes: Fundamentos de dinámica de estructuras21

44 Sistema subamortiguado Vibración libre amortiguada La relación entre el periodo natural sin con amortiguamiento viene dada por: amortiguamientoy La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo T D es constante, y el decremento logarítmico está definido comoellogaritmonaturalde estacantidadyestádadopor: Fundamentos de dinámica de estructuras22

45 Sistema subamortiguado Vibración libre amortiguada Yla relación entre dos desplazamientoscualesquieraes: El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de ω n a ω d y aumentar el periodo natural de T n a T D este efecto es despreciable para una relación de amortiguamiento por debajo del 20%. Para la mayoría de las estructuras ingenieriles ω d son aproximadamente iguales a ω n y T n. y TDy TD Fundamentos de dinámica de estructuras23

46 Sistema subamortiguado Vibración libre amortiguada El efecto del amortiguamiento en las vibracioneslibres puedepuedeapreciarseenelsiguienteesquema: Fundamentos de dinámica de estructuras24

47 3 Vibraciones forzadas armónicas de sistemas con un grado de libertad Fundamentos de dinámica de estructuras Octubre de 2009

48 CONTENIDO Vibraciones libres 1. 2. Introducción Sistema no Amortiguado con Carga Armónica Ecuación de movimiento Resonancia 3.Sistema Amortiguado conCargaCargaArmónica Ecuación de movimiento Resonancia Deformación Máxima Factores de Respuesta Dinámica Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante Fundamentos de dinámica de estructuras2

49 Introducción En vibraciones libres, las oscilaciones se inician por una perturbación que da lugar a un desplazamiento inicial o una velocidad inicial ambas cosas. Sin necesidad de fuerzas externas al sistema durante el movimiento. o En vibración forzada, unafuente externa sostenida vibración. esresponsableresponsablede mantenerla Fundamentos de dinámica de estructuras3

50 Introducción Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de la ingeniería son vibraciones forzadas. laslas Las vibraciones forzadas ocurren cuando un sistema es sujeto a una fuerza que cambia con el tiempo desplazamiento que cambia con tiempo. o el unun Fundamentos de dinámica de estructuras4

51 Introducción El estudio de la respuesta del sistema de un solo grado de libertad (SDF) a la acción de una carga armónica establece bases para el entendimiento de la respuesta de estructuras más complejas a excitaciones externas. Se estudiará primero el caso de fuerzas que tienen comportamiento periódico, vibraciones forzadas armónicas. esesdecir Fundamentos de dinámica de estructuras5

52 Teoría general Un sistema bastante generalpuede ser manera. representadodelasiguiente El sistema aunqueposea amortiguamientono puede regresar a su posición de equilibrio por la presencia de la fuerza externa que siempre esta presente en el sistema. Fundamentos de dinámica de estructuras6

53 Tipos de vibraciones Teoríageneral Amortiguadas Libres No amortiguadas Vibraciones Amortiguadas Forzadas No amortiguadas Fundamentos de dinámica de estructuras7

54  Sistema no Amortiguado Armónico Ecuación de Movimiento Estableciendo p(t)=p o ·senωt en la ecuación diferencial general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación por carga armónica para un sistema no amortiguado: Donde p o es la amplitud o valor es la frecuencia de excitación. máximodelafuerzayω Fundamentos de dinámica de estructuras8

55 Sistema no Amortiguado Armónico La ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea y su solución esta compuesta por dos términos: El primer termino es la solución particular que hace referencia a la situación de estado permanente y el segundo es la solución complementaria quetomaen cuentaelelestadotransitorio.Asítenemos: Fundamentos de dinámica de estructuras9

56 Sistema no Amortiguado Armónico La solución total es la suma de ambas ecuaciones: Las constantes A y B condiciones iniciales: sondeterminadasaplicandolaslas Para condiciones iniciales origen: en reposo y partiendo del Fundamentos de dinámica de estructuras10

57 Sistema no Amortiguado Armónico Esta ecuación contiene dos componentes de vibración distintas:  El término “senωt” para la oscilación en frecuencia de excitación; representa el estado permanente de vibración debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones iniciales.  Los términos “senω n t” y “cosω n t” para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el estado transitorio de vibración que depende de u (0) ú (0) el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El término “estado transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales, hace que la vibración libre decrezca en el tiempo. Fundamentos de dinámica de estructuras11

58 Sistema no Amortiguado Armónico El sistema presenta el siguientecomportamientode desplazamiento contratiempo: Fundamentos de dinámica de estructuras12

59 Sistema no Amortiguado Armónico Resonancia Ignorando el efecto dinámico de la aceleración se obtiene como resultado la deformación estática en instante de tiempo: cada Donde el máximo valorde esta deformaciónes:. Por lo que la respuesta permanente, puede ser dinámica del estado expresada como: Fundamentos de dinámica de estructuras13

60 Sistema no Amortiguado Armónico Graficando el factor entrecorchetes de laecuación anteriorcontralarelacióndefrecuencias,setiene: Fundamentos de dinámica de estructuras14

61 Sistema no Amortiguado Armónico De estagrafica se puede observar que:  Para u(t) y ω/ω n < 1 ó ω < ω n el factor es positivo indicando que p(t)tienen el mismo signo, lo que significa que el desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada (el sistema está desplazado en la misma dirección de la fuerza).  Para ω/ω n > 1 ó ω > ω n el factor es negativo indicando que u(t) y p(t)tienen signos opuestos, lo que significa que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada (el está desplazado en dirección opuesta a la fuerza). Fundamentos de dinámica de estructuras15

62 Sistema no Amortiguado Armónico La ecuación anterior puede ser reescritaentérminosde la amplitud uouo yelángulodefaseø: De donde: Donde el factor dedeformación o amplificación R d es la relación de amplitud de deformación vibratoria u o y deformación estática (u st ) o debido a la fuerza p o. la Por lo que se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitación para la cual R d es máximo. Fundamentos de dinámica de estructuras 16

63 Sistema no Amortiguado Armónico Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es ω n siendo R d infinito para esta frecuencia y la deformación vibratoria crece indefinidamente, volviéndose infinita sólo después de un tiempo infinito. Para esta condición (ω n = ω) la solución particular falla y habrá que buscar otra solución para la ecuación de movimiento que para el caso su propósito: lasiguientesolucióncumple Siendo la solucióntotal: Fundamentos de dinámica de estructuras17

64 Sistema no Amortiguado Armónico Para condicionesinicialesdereposoypartiendodel origen,setiene: Fundamentos de dinámica de estructuras18

65 Sistema no Amortiguado Armónico En cada ciclo el incremento de la amplitudestádado por: La interpretación de este resultado teórico estructuras reales es que a medida que la para deformación se incrementa, el sistema enalgún puntoeneltiempo fallarásiesfrágilocederásiesdúctil. Fundamentos de dinámica de estructuras19

66 Sistema no Amortiguado Armónico Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse dependerándel valordelafrecuencianatural: Fundamentos de dinámica de estructuras20

67  Sistema Amortiguado Armónico Ecuación de Movimiento Estableciendo p(t)=p o ·senωt en la ecuación diferencial general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación por carga armónica para un sistema amortiguado: Donde p o es la amplitud o valor máximo de la fuerza es la frecuencia de excitación. yω Esta es la forma más completa de la ecuación de movimiento (en carga armónica). Fundamentos de dinámica de estructuras21

68 Sistema Amortiguado Armónico Tenemos siempre una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea y su solución nuevamente compuesta por dos términos: esta Una solución particular que hace referencia a la situación de estado permanente y una solución complementaria que toma en cuenta el estado transitorio.Asítenemoscomosoluciones: Fundamentos de dinámica de estructuras22

69 Sistema AmortiguadoArmónico Siendo la solución total: Las constantes A y Bsondeterminadas aplicandolaslas condiciones tenemos: iniciales.DeigualmaneraparaCyD Fundamentos de dinámica de estructuras23

70 Sistema Amortiguado Armónico El sistema presenta el siguientecomportamientode desplazamiento contratiempo. Fundamentos de dinámica de estructuras24

71 Sistema Amortiguado Armónico Resonancia Para ω=ω n las constantes C y D son: Las constantes A y B se obtienen a partir de condiciones iniciales en reposo u o =ú o =0 y para ω=ω n : Luego la respuesta para un sistema amortiguado a carga armónica para ω=ω n : sujeto Fundamentos de dinámica de estructuras25

72 Sistema Amortiguado Armónico Ecuación queparaamortiguamientospequeñostomala formade:de: El incremento en amplitud u j después de j ciclosde vibración es determinado por la siguiente expresión: Fundamentos de dinámica de estructuras26

73 Sistema AmortiguadoArmónico Para un sistema con factordeamortiguamientodel5% enresonanciasetiene: Fundamentos de dinámica de estructuras27

74 Sistema Amortiguado Armónico Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse dependerán natural: nuevamentedelvalordela frecuencia Fundamentos de dinámica de estructuras28

75 Sistema Amortiguado Armónico Deformación Máxima La deformación en el estado permanente del sistema debida aunacargaarmónicapuedeserreescritacomo: Donde: Luego: Fundamentos de dinámica de estructuras29

76 Sistema no Amortiguado Armónico Graficandovalores de RdRd enfunciónde ω/ωnω/ωn : 12 Fundamentos de dinámica de estructuras30

77 Sistema no Amortiguado Armónico El amortiguamiento reduce a R d y que tanto lo reduce depende de la frecuencia de excitación:  Si ω/ω n << 1. R d es sólo levemente más grande que 1 y esencialmente independiente del amortiguamiento (la fuerza está variando lentamente). eses  Si ω/ω n >> 1. R d tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento (la fuerza está variando rápidamente).  Si ω/ω n ≈ 1. R d es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformación dinámica puede ser más grande que la estática. Fundamentos de dinámica de estructuras31

78 Sistema Amortiguado Armónico Factores de Respuesta Dinámica Los factores de respuesta dinámica hacen referencia a las respuestas en deformación, velocidad y aceleración. Ya hicimos referencia a la respuesta en deformación: Si derivamosdos veces esta expresión obtenemos la respuestaenvelocidadyaceleraciónrespectivamente: Donde: Fundamentos de dinámica de estructuras32

79 Fundamentos de dinámica de estructuras Sistema no Amortiguado Armónico Graficandolaslasrespuestasdinámicasenfunciónde ω/ωn:ω/ωn: 33

80 Sistema Amortiguado Armónico Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante La frecuencia resonante frecuencia de excitación máxima de respuesta. está definida como la en la cual ocurre la amplitud La frecuencia resonantees determinada estableciendo la primera dinámicas ξ<1/√2. derivada respecto igual a cero en las respuestas alarelacióndefrecuenciasparaun Fundamentos de dinámica de estructuras34

81 Sistema AmortiguadoArmónico Así tenemos las siguientesfrecuenciasresonantes: Paradesplazamiento: Paravelocidad: Paraaceleración: Paraun sistema noamortiguadolas tres frecuenciasson iguales a la frecuencia angular. Fundamentos de dinámica de estructuras35

82 4 Respuesta a carga general dinámica Fundamentos de dinámica de estructuras Noviembre de 2009

83 CONTENIDO Vibraciones libres 1. 2. 3. 4. 5. Introducción Integral de Duhamel Solución numérica de la integraldeDuhamel Método de laaceleraciónrespuestaaceleraciónrespuesta lineallineal Espectrosde Fundamentos de dinámica de estructuras2

84 Introducción La vibración armónica es un caso muy especial de vibraciones forzadas, pero no es ni muy cerca el tipo de vibración que encontramos frecuencia en la realidad de los sistemas estructurales. concon En los sistemas reales la fuente de excitación por lo general presenta un comportamiento caótico (caso sísmico) u otra forma que no es sinusoidal. Fundamentos de dinámica de estructuras3

85 Introducción Se desarrollará un método de carácter general para encontrar la respuesta de sistema dinámico ante una excitación cualquiera. un Para el desarrollo de este método es necesario recordar el concepto de impulso, que se relaciona con cargas aplicadas en períodos de tiempo muy cortos y que modifican la cantidad de movimiento del sistema. Fundamentos de dinámica de estructuras 4

86  Integral de Duhamel En la figura se muestra laformaencomovaria unaunafuerzaeneneleltiempo. Si consideramos un impulsoaplicado al sistema en el tiempoen un intervalo corto de tiempo d el sistema altera su cantidad de movimiento cambiando su velocidad. Fundamentos de dinámica de estructuras 5

87 Integral de Duhamel La cantidad de movimientose relaciona con la fuerza por medio de la siguiente ecuación: Nótese que en esta ecuación de movimiento no aparece el termino ku, debido a que, como el impulso se aplica en un infinitesimal de tiempo la estructura no alcanza a reaccionar. El incremento de velocidad es entonces: Fundamentos de dinámica de estructuras6

88 Integral de Duhamel El impulso aplicado genera unapequeña vibración libre excitación. consideradasoloparaesta Fundamentos de dinámica de estructuras7

89 Integral de Duhamel En vista de que la carga desaparece en un instante infinitesimal podemos considerar que se producen vibraciones libres por la aplicación de cada uno de los impulsos. Donde las condiciones iniciales pueden obtenerse a partir del cambio de posición del sistema. velocidady Tomando condicionesiniciales: Fundamentos de dinámica de estructuras8

90 Integral de Duhamel Tenemos la siguiente ecuación: En un sistema lineal podemos aplicar el concepto de superposición y sumando todos los obtener la impulsos: respuestarespuestacompleta Esta solución se conoce con el nombre de Integral de Duhamel. Fundamentos de dinámica de estructuras9

91 Integral de Duhamel En un caso general donde: La respuesta total del sistemasería sumar alala solución anterior (particular) la solución del sistema homogéneo (complementaria): Que para un sistema amortiguado adquiere forma: la Fundamentos de dinámica de estructuras10

92  Solución numérica de la integral de Duhamel En la practica pocas situaciones presentan un comportamiento que pueda permitir una representación por medio de una expresión analítica explícita que facilite el cálculo de la integral de Duhamel. Por esto es necesario recurrir a métodos numéricos para el cálculo indirecto de la integral que representan el impulso de las fuerzas. Los métodos de cálculos aproximados de integrales mas usados son el método de los trapecios y el método de Simpson. Fundamentos de dinámica de estructuras 11

93 Solución numérica de la integral de Duhamel El método del trapecio se basa en interpolaciones lineales del comportamiento sistema. deldel El método de Simpson en cambio hace una aproximación cuadrática del comportamiento para calcular las integrales. Ambos métodos necesitan de una definición de pasos de tiempo muy cercanos para lograr presición. Fundamentos de dinámica de estructuras12

94 Solución numérica de la integral de Duhamel Si consideramos la parte de la solución a la ecuación de movimiento que contiene de Duhamel. lalaintegral Buscando desacoplar tenemos: los términosenty Con lo quepodemos escribir: Fundamentos de dinámica de estructuras13

95 Solución numérica de la integral de Duhamel forma Escribiendo la ecuaciónanterioren compacta,tenemos: Donde: Con lo que supeditada la soluciónde u(t) está ahora a resolver c(t) y s(t) por mediode la obtención de las integrales planteadas, tarea que la podemos realizar por integración numérica. Fundamentos de dinámica de estructuras14

96 Solución numérica de la integral de Duhamel  Integración numérica Para obtener una integral cualquiera integración numérica: porpor Se procede a subintervalos espaciados discretizar el intervalo [0,t]en [0, 1 ], [ 1, 2], [1, 2], [ 2,2, 3 ], …, [ n-1,n-1, n],n], y siendo n =t. Con esto podemos obtener la integral dependiendo del método seleccionado: Fundamentos de dinámica de estructuras15

97 Solución numérica de la integral  Integración numérica deDuhamel Método de lostrapecios: Donde f( ) es el valordeldelintegrando f( ) en el i tiempo t i =i. Método de Simpson: Donde n debe de ser par. Fundamentos de dinámica de estructuras 16

98 Solución numérica de la integral de Duhamel Dado que en dinámica estructural se necesita conocer la historia completa de la respuesta para todo tiempo t en un rango determinado, resulta conveniente plantear el cálculo de las integrales c(t) y s(t) en forma recurrente, lo que significa que la respuesta para t i se expresa en función de la respuesta en t i-1. Esto es con la intención de evitar el recálculo de sumas hechas en pasos anteriores. Fundamentos de dinámica de estructuras17

99 Solución numérica de la integral de Duhamel Si llamamos c i y s i a el valor de las integrales c(t) y s(t) en el instante t i ; f i y g i a el valor de los en t=i integrandos p( )cos ω a y p( )sen ω a. Para ambos métodos las se expresarían como: ecuacionesrecurrentes Métododeloslostrapecios: Fundamentos de dinámica de estructuras18

100 Solución numérica de laintegraldeDuhamel MétododeSimpson: Cabe mencionar que debidoa la limitante de la regla de Simpson de que el número de intervalos debe ser par, es mas común hacer uso de la regla de los trapecios. Fundamentos de dinámica de estructuras19

101 Solución numérica de la integral de Duhamel Progama en Matlab para resolver la integralde Duhamel por el método de function [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt) %------------------------------------------- % [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt) %------------------------------------------- loslostrapecios: %%%%%%%%%%%% Calcula la integral de Duhamel (como respuesta de un sistema sencillo lineal) por la regla los trapecios. Entradas: dede p:m:w:p:m:w: vector de carga externa masa del sistema frecuencia natural del sistema xi: fraccion de amortiguamiento viscoso dt: paso de tiempo Salidas: t: vector de tiempo d: vector de desplazamientos de respuesta %-------------------------------------------- n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n)'; Fundamentos de dinámica de estructuras20

102 Solución numérica wa=w*sqrt(1-xi^2); f=p.*cos(wa*t); g=p.*sin(wa*t); f1=[0, f(1:n-1)]; g1=[0, g(1:n-1)]; pc=f1*exp(-xi*w*dt)+f; ps=g1*exp(-xi*w*dt)+g; pc=pc*dt/m/wa/2; ps=ps*dt/m/wa/2; for i=1:n if i==1 c(i,1)=pc(i,1); s(i,1)=ps(i,1); else delaintegraldeDuhamel c(i,1)=c(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+pc(i,1); s(i,1)=s(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+ps(i,1); end d=c.*sin(wa*t)-s.*cos(wa*t); figure plot(t,d) xlabel('Tiempo') ylabel('Desplazamiento') %-------------------------------------------- % Fin Fundamentos de dinámica de estructuras21

103 Solución numérica de la integral de Duhamel  Método de la aceleración lineal Además del método de integración desarrollado anteriormente, existen otras tecnicas para evaluar la respuesta de sistemas dinámicos a excitaciones generales de carga, una de ellas es su el método de la aceleración lineal, famoso or simplicidad y presición. Lapremisa de partida es que la aceleración tiene un comportamiento lineal entre dos puntos de análisis cualesquiera. Fundamentos de dinámica de estructuras22

104 Solución numérica de la integral de Duhamel Partiendo de la ecuación de aceleración por integraciones sucesivas encontramos las ecuaciones de velocidad y desplazamiento respectivamente. En estas ecuaciones las constantes de integración pueden determinarse gráficamente como los interceptos en el eje de las ordenadas, para expresar estas en su forma explícita. Fundamentos de dinámica de estructuras23

105 Solución numérica de la integral de Duhamel Elsiguienteesquemailustraelmétodo: Fundamentos de dinámica de estructuras24

106 Solución numérica de la integral de Duhamel Por último resolvemos estas ecuaciones por métodos numéricos expresiones. obteniendolaslassiguientes Sustituyendoestas expresiones enla ecuación de movimiento se obtiene: Fundamentos de dinámica de estructuras25

107 SoluciónnuméricadelaintegraldeDuhamel Ecuaciónquepuedeexpresarseenenlalaforma: Donde: Fundamentos de dinámica de estructuras26

108 Solución numérica de la integral de Duhamel El algoritmo en Matlab para siguiente: susuresoluciónesel function [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt) %------------------------------------------- % [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt) %------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%% Calcula la respuesta de un sistema sencillo lineal por el metodo de la aceleracion lineal Entradas: p:m:w:p:m:w: vector de carga externa masa del sistema frecuencia natural del sistema xi: fraccion de amortiguamiento viscoso dt: paso de tiempo Salidas: t:d:v:a:t:d:v:a: vectorvectorvectorvectorvectorvectorvectorvector dededededededede tiempo desplazamientos de respuesta velocidad de respuesta aceleracion de respuesta %-------------------------------------------- n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n); Fundamentos de dinámica de estructuras27

109 Solución numérica d0=0; v0=0; a0=0; % k=m*w^2; c=2*m*w*xi; kbar=k+3*c/dt+6*m/(dt^2); ikbar=1/kbar; % for i=1:n p1=p(i,:); delaintegraldeDuhamel dp=m*(6*d0/dt^2+6*v0/dt+2*a0); dp=dp+c*(3*d0/dt+2*v0+dt*a0/2); pbar=p1+dp; d1=ikbar*pbar; v1=3*(d1-d0)/dt-2*v0-dt*a0; a1=6*(d1-d0)/dt^2-6*v0/dt-2*a0; d(i,1)=d1; v(i,1)=v1; a(i,1)=a1; d0=d1; v0=v1; a0=a1; end % Fundamentos de dinámica de estructuras28

110 Solución numérica figure plot(t,d) xlabel('Tiempo') ylabel('Desplazamiento'); figure plot(t,v) xlabel('Tiempo') ylabel('Velocidad'); figure plot(t,a) xlabel('Tiempo') ylabel('Aceleracion'); delaintegraldeDuhamel %-------------------------------------------- %Fin Fundamentos de dinámica de estructuras29

111  Espectros de Respuesta De forma similar que en el análisis estático de estructuras, en dinámica estructural también resulta de interés las respuestas máximas de los sistemas, dado que estas gobiernan los diseño. Los espectros de respuesta son gráficos que recogen las respuestas máximas de sistemas sencillos períodos ante una de un grado de libertad para diferentes con igual fracción de amortiguamiento excitación dada. Fundamentos de dinámica de estructuras30

112 Espectros de Respuesta Aunque se deducen para sistemas sencillos la aplicación de los espectros de respuesta transciende a sistemas de varios grados de libertad, pues en estos existen períodos dominantes que pueden tomarse como base para lectura de la respuesta. Las respuestas que se grafican contra el período (o ya sea contra la frecuencia) puede ser cualquier respuesta, aunque las mas usuales son desplazamiento, velocidad y aceleración. Fundamentos de dinámica de estructuras31

113 Espectros de Respuesta De acuerdo a lo expresado hasta aquí, necesitamosvariosSDOFconcondiferentes T aT a unun mismoξ.ξ. Fundamentos de dinámica de estructuras32

114 Espectros de Respuesta Podemos definir los espectros de acuerdoaloslos parámetrosdedelosloscualescualesdependendependenasí: Así tenemos que el espectro en desplazamiento por ejemplo es una función de ξ, T y p(t), y la función se define como el máximo desplazamiento calculado. Fundamentos de dinámica de estructuras33

115 Espectros de Respuesta Debe de tenerse el cuidado en el caso del espectro de aceleración, que si calculamos efecto sísmico en base a la aceleración del elel suelo, la aceleración utilizada debe absoluta: ser la A manera de ejemplo se muestran los espectros de desplazamiento, velocidad y aceleración para un sismo en Japón en la región de Tokachi-oki, con períodos comprendidos entre 0.05 y 3 segundos para varios ξ. Fundamentos de dinámica de estructuras34

116 EspectrosdeRespuesta Fundamentos de dinámica de estructuras35

117 EspectrosdeRespuesta Fundamentos de dinámica de estructuras36

118 EspectrosdeRespuesta Fundamentos de dinámica de estructuras37

119 EspectrosdeRespuesta Fundamentos de dinámica de estructuras38

120 Espectros de Respuesta Puede demostrarse que los espectros de respuesta sísmico relaciones: cumplencumplenlaslassiguientessiguientes Se muestraa continuación unafunción enMatlab para construir espectros de respuesta de la aceleración del terreno. enenfunciónfunción Fundamentos de dinámica de estructuras39

121 EspectrosdeRespuesta Fundamentos de dinámica de estructuras40

122 EspectrosdeRespuesta Fundamentos de dinámica de estructuras41

123 EspectrosdeRespuesta Fundamentos de dinámica de estructuras42

124 Espectros de Respuesta Además de todo esto debe mencionarse que existen espectros de respuesta suavizados llamados seuodo espectros y espectros de respuesta linealizados o paramétrizados llamados espectros de diseño. La forma de crear estos espectros son temas propios de la ingeniería sísmica, por lo que abordan aquí. Aunque si se puedan utilizar aplicar como datos de entrada en análisis sísmico en dinámica de estructuras. no o sese Fundamentos de dinámica de estructuras43

125 EspectrosdeRespuesta Fundamentos de dinámica de estructuras44

126 5 Sistemas con varios libertad grados de Fundamentos de dinámica de estructuras Noviembre de 2009

127 CONTENIDO Vibraciones libres 1. 2. 3. 4. 5. 6. Introducción Ecuación de movimiento Respuesta dinámica Método matricial numérico iterativo Fundamentos de dinámica de estructuras2

128 Introducción Un sistema de varios grados de libertad es aquel en el cual su movimiento se caracteriza por un numero finito de puntos o nodos, con los cualesdicho o movimiento puede representado. serdefinido Fundamentos de dinámica de estructuras3

129 Introducción Se debe de diferenciar estos sistemas de múltiples grados de libertad de los sistemas continuos, libertad. quequeposeenposeeninfinitosgradosde Fundamentos de dinámica de estructuras4

130 Introducción Se examinarán las propiedades estructurales básicas, para sistemas de múltiples grados de libertad. Se planteará la ecuación de movimiento que nos obliga a un análisis de tipo matricial. Se obtendrán las matrices de masas relacionadas a sistemas que pueden modelados como vigas de cortante. y de ser rigidezrigidez Fundamentos de dinámica de estructuras5

131  Ecuación de movimiento Sea el siguiente libertad: sistemade2gradosde HaciendoDCLparacadacarrotenemos: Fundamentos de dinámica de estructuras6

132 Ecuación de movimiento Esto nos conduce al siguientesistema de ecuacionesde movimiento: Ordenandoestas ecuacionestenemos: Sistema que puede expresarse matricialmente: Fundamentos de dinámica de estructuras7

133 Ecuación demovimiento Donde: Evidentementeno se ha incluidoningún tipo de amortiguamiento en el sistema. Fundamentos de dinámica de estructuras8

134 Ecuación de movimiento Esta ecuación de movimiento puede escribirse de forma completa, de acuerdoavariasvarias simbologíasadecuadas: Fundamentos de dinámica de estructuras9

135  Respuesta dinámica  Viga de Cortante El concepto de viga de cortante es muy importante en dinámica de estructuras, dado que permite simplificar los modelos de una manera aceptable sin perdida sustancial de exactitud en el cálculo de su respuesta. Imaginemos que el siguiente marco representarse por el modelo de dos libertad que se muestra. puede grados de Fundamentos de dinámica de estructuras10

136 Respuestadinámica Esta simplificación seráposible siempre que existan ciertas condiciones en el marco, como por ejemplo, que posea diafragmas rígidos y que puedan despreciarse las deformaciones axiales en los elementos. Fundamentos de dinámica de estructuras11

137 Respuesta dinámica Si para la matriz de rigidez k se define el elemento k ij como la fuerza aplicada en el grado de libertad i cuando en j tiene lugar un desplazamiento unitario, siendo todosloslosdemás desplazamientosiguales aiguales acero. k 21 2 k2k2 k 11 1 k1k1 Fundamentos de dinámica de estructuras12

138 Respuestadinámica De acuerdo a lo anterior,para provocar un desplazamiento unitario en el piso 1 se requiere una fuerza en dicho piso igual a: Y en el piso 2: Fundamentos de dinámica de estructuras 13

139 Respuestadinámica De formasimilar, paraprovocar un desplazamiento unitario en el piso 2 se requiere una fuerza en dicho piso igual a: Y en el piso 1: Fundamentos de dinámica de estructuras 14

140 Respuesta dinámica Resumiendotenemos: Fundamentos de dinámica de estructuras15

141 Respuesta dinámica Este modelo se denomina de cortante, debido a que si consideramos solo la condición estática, tenemos: La fuerzacortante acumulada por nivel,sería: Y el desplazamiento relativo de un nivel al otro: respecto Fundamentos de dinámica de estructuras16

142 Respuesta dinámica Lo cual indica que la deriva fuerza cortante dividida por de piso es igual la rigidez. ala Ecuación guarda estrecha relación ecuación de esfuerzo cortante que resistencia de materiales: con la dadalala Fundamentos de dinámica de estructuras17

143 Respuesta dinámica Generalizando para unsistemade variosgrados delibertadtenemos: Fundamentos de dinámica de estructuras18

144 Respuesta dinámica  Análisis modal Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizarelprocedimientodeanálisismodal. Fundamentos de dinámica de estructuras19

145 Respuesta dinámica El método consiste en obtener la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno como un sistema de simple grado de libertad. Dado que los valores máximos no ocurren simultáneamente, estos son combinados estadísticamente para obtener la respuesta (SRSS, CQC, etc.) total El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos iterativos. Fundamentos de dinámica de estructuras20

146  Método matricial Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la frecuencia o periodo de vibración y de la forma desplazada (forma modal), el primer paso en un análisis de un sistema de varios grados de libertad es encontrar las frecuencias y las formas modales de vibración libre. En este caso no existen fuerzas externas y no hay amortiguamiento, es decir, tenemos un sistema de varios grados de libertad en vibración libre sin amortiguamiento. Fundamentos de dinámica de estructuras21

147 Método matricial Cada grado de libertad dinámico provee una ecuación de equilibrio dinámico, la vibración resultante del sistema consiste de n ecuaciones, por lo tanto tenemos: Esta ecuación se correspondeconlasiguiente historiadedesplazamientos: Fundamentos de dinámica de estructuras22

148 Método matricial La vibración libre descrita gráficamente por las gráficos de u-t de un sistema no amortiguado en uno de sus modos de vibración natural puede describirse matemáticamente por: Donde  n, es un vector con la configuración deformada o amplitud relativa de movimiento, que no varia con el tiempo; y la variación del desplazamiento con el tiempo esta descrita por una función armónica: Fundamentos de dinámica de estructuras23

149 Método matricial Esdecirdecirque:que: Enbasea estotenemos: O en forma alternativa: Esta expresión es una representación ecuación de autovalores; la cual tiene de la una solución no trivial sólo si el determinante de los coeficientes es igual a cero. Fundamentos de dinámica de estructuras24

150 Método matricial Es decir que las frecuencias naturales ω n  n (vector) ecuación: (escalar) y los modosdeben satisfacerlasiguiente El desarrollo del determinante conducea un polinomio de grado n en (ω n ) 2, las raíces del cual son los autovalores. Fundamentos de dinámica de estructuras25

151 Método matricial Sustituyendo éstos autovalores previa a la del determinante, se autovalores para cada modo. A en la ecuación obtienen los partir de los autovalores se obtienen los periodos naturales correspondientes y se pueden obtener las aceleraciones espectralesapartir deunaunacurvacurva derespuestarespuestaapropiada.apropiada. Fundamentos de dinámica de estructuras26

152 Método matricial  Matriz modal y espectral Los n autovalores y los n modos pueden ser acoplados en forma matricial. El modo natural o autovector  n correspondiente a la frecuencia natural ω n tiene elementos  jn, donde j indica el DOF. De este modo los n autovectores pueden presentarse o disponerse en una matriz cuadrada, de la cual cada columna es un modo. Fundamentos de dinámica de estructuras27

153 Método matricial La siguiente es lallamada matriz modal [Φ] : ωn2ωn2 Los n autovalores pueden ser acopladosen una matriz diagonal Ω 2, la cualcuales conocida comomatrizespectral. Fundamentos de dinámica de estructuras28

154 Método matricial Cada autovalor y autovector satisfacen la ecuación de autovalores que puede ser reescrita como: Utilizando la matriz modal y espectral es posible reunir todas las ecuaciones (por cada autovalor) enunaunasolasolaecuaciónecuaciónmatricialsimple: Fundamentos de dinámica de estructuras29

155 Método matricial  Ortogonalidad de los modos Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias naturales se muestran continuación para satisfacer la siguiente condición de ortogonalidad. Cuando ω n ≠ω r a La demostración de esta propiedad siguiente: esla Análogamente: Fundamentos de dinámica de estructuras30

156 Método matricial Haciendo uso de la propiedad de simetría de la matriz de masa y rigidez. La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo es igual a la transpuesta de la matriz en el lado derecho la primera ecuación; de esta forma: dede Restando tenemos: las dosecuacionesanteriores, Fundamentos de dinámica de estructuras31

157 Método matricial Se ha establecido la relación de ortogonalidad entre modos con distintas frecuencias. La ortogonalidad de los modos naturales implica que las siguientes matrices diagonales: cuadradas son Dondeloselementosdeladiagonalson: Fundamentos de dinámica de estructuras32

158 Método matricial  Normalización de los modos Usualmente se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus elementos asociándolos con sus amplitudes varios grados de libertad. Este proceso es llamado normalización. en Algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras ocasionas se aplica una regla de normalización diferente. Fundamentos de dinámica de estructuras33

159 Método matricial En teoría de dinámica estructural y programas computacionales es común normalizar los modos de unitarios: taltalmaneraqueque mnmn tengavalores Los componentesdela matriz modal normalizada están dados por: Fundamentos de dinámica de estructuras34

160 Método matricial Donde: øjn=øjn= es el componente para el nudo j, de la forma modal normalizada asociada al modo n. masa concentrada en el nudo j. m jj = u jn = el componente, para elnudoj,deldelautovector asociadoconelmodon. Fundamentos de dinámica de estructuras35

161 Método matricial  Factor de participación Las ecuaciones de movimiento de libertad no dependen de los vibración y tienen forma similar para cada grado modos de a la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad. El factor de participación, para sistemas de varios grados de libertad esta definido en forma matricial por: Fundamentos de dinámica de estructuras36

162 Método matricial Donde: [P]= vector de coeficientes de participación para todos los modos considerados {1}= vector unitario. La matriz demáximosdesplazamientosesta definidapor: Fundamentos de dinámica de estructuras37

163 Método matricial Donde: [D][V][A][D][V][A] ====== matriz diagonal dede desplazamiento espectral. velocidad espectral. aceleración espectral. La matriz de fuerzas laterales en cada nudo sistema esta dada por: deldel El vector de fuerzas cortantes dado por: en la base esta Fundamentos de dinámica de estructuras38

164  Método numérico Para facilitar el procedimiento del análisis modal se puede utilizar métodos numéricos. Para un modo de vibración dadoelfactorde participación está definidopor: Donde: M i = masa correspondiente al nivel i. ø i = componente de la forma modal para un modo dado. M = masa modal = ΣM i ·φ i 2 Fundamentos de dinámica de estructuras el nudo i para 39

165 Método numérico La masa efectiva está definida por: De forma similar el peso efectivo esdefinido por: La aceleración pico en el nudo estádefinidapor: El desplazamiento máximo en el nudo es: Fundamentos de dinámica de estructuras40

166 Método numérico La de fuerza lateral en Newton: el nudo está dada por laley Lacortante basal yla fuerza lateral en cada nudo pueden siguiente: determinarsedelamanera Para autovectoresnormalizados: Fundamentos de dinámica de estructuras41

167  Método iterativo Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el análisis modal puede limitarse al modo fundamental. El sistema estructural puede ser modelado como un pórtico con losas de entre piso rígidas. Los desplazamientos laterales de los nudos entonces el resultado de la flexión de las columnas sin incluir rotación en los nudos. sonson Fundamentos de dinámica de estructuras42

168 Método iterativo La rigidez de un por: nivel en particular esta dada La en masa encada nivel se asumeconcentrada laslaslosaslosasdeentrepiso.piso. Fundamentos de dinámica de estructuras43

169 Método iterativo Se han desarrollado técnicas iterativas basadas en métodos propuestos por Rayleigh, Stodola y Holzer. A continuación se presenta una adaptación del método de Holzer. Cuando un nudo alcanza su desplazamiento máximo u i, la velocidad es cero y la de inercia en el nudo está dada por: lateral fuerza Fundamentos de dinámica de estructuras44

170 Método iterativo El incremento en es producido por nivel. la fuerza de corte en el nudo de inercia en ese El incremento por: delafuerzacortante estadado Donde: k·  = fuerza cortante total en el nivel i. Igualando la fuerza de inercia y el incremento la fuerza cortante se tiene: de Fundamentos de dinámica de estructuras45

171 Método iterativo La solución de esta ecuación se puede obtener de la siguiente manera: 1.Asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante en términos de la frecuencia natural, en cada nivel. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el desplazamiento (deriva) de cada piso. Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida. Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva forma modal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la forma modal corregida con la inicial. 2. 3. 4. Fundamentos de dinámica de estructuras46