Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Presentación del tema: "Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt"— Transcripción de la presentación:

1 Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Departamento de Álgebra Lineal Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

2 Universidad Nacional Autónoma de México
División de Ciencias Básicas Departamento de Álgebra Lineal Fís. Juan Velázquez Torres. Colaboración Técnica M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo 2017 Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

3 Introducción El proceso ortogonalización de Gram-Schmidt consiste en generar un conjunto ortogonal a partir de un conjunto cualquiera de un espacio vectorial. El presente trabajo muestra dos ejemplos gráficos de este proceso en el espacio vectorial ℝ 3 . En el primer caso presentado, todos los vectores de la base se encuentran en el primer octante. En el segundo caso, sólo uno de los vectores de la base se encuentra en el primer octante y los demás están fuera de éste. Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

4 Caso 1 𝐵={ , , } 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 𝑣 3 Z Y 𝑣 2 𝑣 1 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

5 𝑣 3 𝑤 2 𝑣 2 𝑤 1 𝑣 1 1) 2) 𝒘 𝟐 = ( 𝒗 𝟐 | 𝒘 𝟏 ) ( 𝒘 𝟏 | 𝒘 𝟏 ) 𝒘 𝟏 𝒗 𝟐 −
𝒘 𝟐 = 𝑣 3 Z 𝑤 2 ( 𝒗 𝟐 | 𝒘 𝟏 ) ( 𝒘 𝟏 | 𝒘 𝟏 ) 𝒘 𝟏 𝒗 𝟐 − Y 𝑣 2 𝑤 1 𝑣 1 𝒘 𝟏 = 𝒗 𝟏 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

6 𝒗 𝟑 −( ) + 3) 𝒘 𝟑 = 𝑣 3 Z 𝑤 3 ( 𝒗 𝟑 | 𝒘 𝟐 ) ( 𝒘 𝟐 | 𝒘 𝟐 ) 𝒘 𝟐 𝑤 2 Y 𝑣 2 ( 𝒗 𝟑 | 𝒘 𝟏 ) ( 𝒘 𝟏 | 𝒘 𝟏 ) 𝒘 𝟏 𝑤 1 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

7 𝑣 3 𝑤 3 𝑤 2 𝑣 2 𝑤 1 Vectores ortogonales 𝒘 𝟏 , 𝒘 𝟐 y 𝒘 𝟑 Z Y X
𝑣 3 Z 𝑤 3 𝑤 2 Y 𝑣 2 𝑤 1 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

8 𝑤 3 𝑤 2 𝑤 1 Vectores ortogonales 𝒘 𝟏 , 𝒘 𝟐 y 𝒘 𝟑 Z Y X
𝑤 3 𝑤 2 Y 𝑤 1 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

9 Caso 2 𝐵={ , , } 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 Z 𝑣 3 𝑣 1 Y 𝑣 2 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

10 1) 𝒘 𝟏 = 𝒗 𝟏 Z 𝑣 3 𝑤 1 𝑣 1 𝒘 𝟏 = 𝒗 𝟏 Y 𝑣 2 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

11 𝑣 3 𝑤 1 𝑤 2 𝑣 2 1) 𝒘 𝟏 = 𝒗 𝟏 2) 𝒘 𝟐 = ( 𝒗 𝟐 | 𝒘 𝟏 ) ( 𝒘 𝟏 | 𝒘 𝟏 ) 𝒘 𝟏
𝒘 𝟏 = 𝒗 𝟏 2) 𝒘 𝟐 = Z 𝑣 3 𝑤 1 ( 𝒗 𝟐 | 𝒘 𝟏 ) ( 𝒘 𝟏 | 𝒘 𝟏 ) 𝒘 𝟏 𝒗 𝟐 − 𝑤 2 Y 𝑣 2 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

12 𝒗 𝟑 −( ) + 3) 𝒘 𝟑 = Z 𝑣 3 𝑤 1 ( 𝒗 𝟑 | 𝒘 𝟏 ) ( 𝒘 𝟏 | 𝒘 𝟏 ) 𝒘 𝟏 𝑤 3 ( 𝒗 𝟑 | 𝒘 𝟐 ) ( 𝒘 𝟐 | 𝒘 𝟐 ) 𝒘 𝟐 𝑤 2 Y 𝑣 2 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

13 𝑣 3 𝑤 1 𝑤 3 𝑤 2 𝑣 2 Vectores ortogonales 𝒘 𝟏 , 𝒘 𝟐 y 𝒘 𝟑 Z Y X
𝑣 3 𝑤 1 𝑤 3 𝑤 2 Y 𝑣 2 X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

14 𝑤 1 𝑤 3 𝑤 2 Vectores ortogonales 𝒘 𝟏 , 𝒘 𝟐 y 𝒘 𝟑 Z Y X
𝑤 1 𝑤 3 𝑤 2 Y X Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM

15 Fin Fís. Juan Velázquez Torres M.I. Paola Elizabeth Rodríguez Ocampo Álgebra Lineal División de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería UNAM