Tema 1 Concepto de Probabilidad

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1 Tema 1 Concepto de Probabilidad

2 1. Introducción 2. Definiciones previas 2. 1
1. Introducción 2. Definiciones previas 2.1. Experimento aleatorio y sucesos 2.2. Algunas definiciones sobre sucesos 3. Concepto de probabilidad 3.1. Concepto de probablidad clasico o “A priori” 3.2. Enfoque frecuentista o “A posteriori” 3.3. Perspectiva subjetiva 4. Axiomas y teoremas básicos de la probabilidad

3 Bibliografía básica Amón, J. (1991). Estadística para psicólogos
Bibliografía básica Amón, J. (1991). Estadística para psicólogos. Vol II. Madrid: Pirámide Botella, J., León, O., San Martín, R. y Barriopedro, M.I. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Teoría y Ejercicios. Madrid: Pirámide. Bibliografía complementaria Borel, E. (1971). Las probabilidades y la vida. Barcelona: Oikos. Gonick, L. y Smith, W. (1999). Estadística en cómic. Barcelona: Zambrera y Zariquiey. Merino, J.M., Moreno, E., Padilla, M.,Rodríguez-Miñón, P., Villarino, A. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Madrid: UNED.

4 OBJETIVO El objetivo de este capítulo es presentar el concepto de probabilidad, y entrenar en el manejo del cálculo de probabilidades elementales y sus combinaciones. Para ello, se introducen las diferentes concepciones de la probabilidad, así como las operaciones más elementales que se pueden realizar con las probabilidades calculadas

5 INTRODUCCIÓN El objetivo fundamental de la Estadística es utilizar los datos obtenidos en la muestra para inferir o para obtener conclusiones sobre las características de la variable en una población de referencia a la que, por diversos motivos, no podemos acceder de forma completa. Normalmente disponemos de información parcial sobre la misma, que obtenemos eligiendo al azar algunos de sus elementos Por ejemplo: intención de voto

6 Breve historia 1654 comienza la correspondencia entre Pascal y Fermat a instancias del caballero de Mère, sobre las apuestas en los juegos de azar y el reparto de las ganancias cuando un juego es interrumpido antes del final y un jugador está en ventaja 1657. El holandes Huygens publica el primer tratado de Probabilidad: “De ratiotiniis in laudae ludo” 1711. Publicación póstuma del tratado de Bernouilli “Ars conjenctandi”, en la que se trata la conducta límite de la probabilidad en un experimento aleatorio. No encontramos ante el surgimiento de una nueva ciencia 1812. Laplace publicó “Theorie analytique des probabilités” (incluye sus contribuciones previas y aplicaciones de la teoría de la probabilidad, especialmente a la teoría de los errores de observación) Gauss-Laplace: modelo Gaussiano de los errores de las observaciones Finales del s. XIX quedó establecido que la Teoría de la probabilidad podía aplicarse a los datos de las ciencias Físicas 1933. Kolmogorov siguiendo la aproximación de Von Mises estableció la axiomática de la probabilidad en “Fundamentos de la Teoría de la probabilidad”, con la noción de experimento aleatorio como un aspecto central

7 2. DEFINICIONES PREVIAS 2.1. Experimento aleatorio y sucesos
La moderna teoría de la probabilidad comienza con la noción de experimento simple aleatorio Ejemplos: la tirada de una moneda, las apuestas, las loterías, el grupo sanguíneo del descendiente de una pareja, responder a la pregunta de un test de elección múltiple sin tener ni idea, etc. Nuestro objetivo en este apartado es obtener una noción científica del azar a partir del concepto de experimento aleatorio

8 Un experimento aleatorio es cualquier operación cuyo resultado no pueda ser pronosticado con certeza. La colección o conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina Espacio muestral (E). Existen tres tipos de espacios muestrales: - Espacio muestral discreto finito, es aquel que tiene un número finito de elementos. Ejemplo: experimento lanzamiento de una moneda al aire, tiene como espacio muestral asociado E={C,X} - Espacio muestral discreto infinito, es aquel que está constituido por una cantidad infinita numerable de sucesos. Ejemplo: experimento lanzamiento de una moneda al aire hasta que sale cara E={C,XC,XXC,XXXC,….} - Espacio muestral continuo, es aquel constituido por una cantidad infinita no numerable de sucesos. Ejemplo: Lanzamiento de un dardo a una diana.

9 Ejemplos de experimentos aleatorios: 1
Ejemplos de experimentos aleatorios: 1. Lanzar una moneda al aire: E={C,X} 2. Lanzar una moneda al aire dos veces consecutivas E={CC,CX,XC,XX} 3. Lanzar dos monedas simultáneamente: {CC,CX,XX} 4. Lanzar un dado: E={1, 2, 3, 4, 5, 6} 5. Lanzar dos veces el dado: E: {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2),(3,3),(3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2),(4,3),(4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2),(6,3),(6,4), (6,5), (6,6)} 6. Introducción de tres ratas en un laberinto en T: E = {III, IID, IDI, DII, DDI, DID, IDD, DDD}

10 Una forma sistemática de construir el espacio es por medio de diagramas de árbol Representa el espacio muestral del experimento “Tirar tres veces consecutivas una moneda”, formado por 8 sucesos elementales C X CCC CCX CXC C XX XCC XCX XXC XXX

11 Sucesos A los resultados posibles, elementos del espacio muestral los denominamos sucesos elementales. A veces el interés no está en estos sucesos elementales o miembros individuales de E, sino en una combinación de dichos sucesos elementales que se denominan sucesos compuestos.

12 1. En el experimento de lanzar dos veces una moneda E={CC,CX,XC,XX} podemos definir varios sucesos,
Suceso A= “sale cara al menos una vez”, definido por :A={CC,CX,XC} Suceso B =“no salen cruces”, definido por B= {CC} 2. Cuando se lanza tres veces una moneda, el espacio muestral formado por ocho elementos o resultados : E={CCC,CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX} podemos definir diversos sucesos Suceso A:”salen al menos dos caras” A={CCC,CCX,CXC,XCC}. Suceso B lo definimos como “sale al menos una cruz”, es: B= {CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX} 3. Si consideramos el experimento aleatorio “Lanzar dos veces un dado de seis caras”, también podemos definir sobre él diversos sucesos, Suceso A “en el segundo lanzamiento sale un número par”. Este suceso contiene 18 elementos o resultados y es A={(1,2), (2,2),.....,(6,2),(1,4),...., (6,4),(1,6),...,(6,6)} Suceso B, ”la suma de los resultados es al menos 9: B={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}, formado por 10 elementos.

13 2.2. Algunas definiciones sobre sucesos
Suceso seguro Es aquel que se verifica siempre. Por ejemplo, sacar en el lanzamiento de un dado un número menor que 7. Coincide con el total del Espacio muestral y lo notamos de igual forma E. b. Suceso posible Por ejemplo en el lanzamiento de un dado sacar un 5 o un número par. c. Suceso imposible Es aquel que no se verifica nunca. Por ejemplo sacar 7 en el lanzamiento de un dado de 6 caras. Coincide con el conjunto vacío y lo notamos . d. Sucesos elementales Son los sucesos más simples y elementos del espacio muestral. e. Sucesos compuestos Son los que resultan de combinar dos o más sucesos elementales. Por ejemplo, sacar un número par en el lanzamiento de un dado.

14 (E)={,{1},…{6},{1,2},…{1,2,3},…{1,2,3,4,5},E}
Según lo anterior, un espacio muestral (E) es un conjunto constituido por elementos que se han denominado sucesos elementales; dichos sucesos elementales se pueden combinar para constituir los sucesos compuestos. Es decir, si trabajamos con todos los sucesos, en realidad estamos trabajando con el conjunto que se denomina partes de E. En el caso del experimento que consiste en lanzar un dado al aire, dicho conjunto tiene la forma siguiente: (E)={,{1},…{6},{1,2},…{1,2,3},…{1,2,3,4,5},E} Para representar los sucesos se utilizan los diagramas de Venn.

15 2.3. Operaciones con sucesos
a. Unión de A y B Si A y B son dos sucesos cualesquiera, la unión de A y B, AB se define como el suceso que contiene todos los resultados que pertenecen sólo a A, sólo a B o a ambos Propiedades: 1. AB=BA 2. AA=A 3. A=A 4. AE=E 5. Si AB entonces AB = B

16 b. Intersección de A y B Si A y B son dos sucesos cualesquiera, la intersección de ambos, AB, se define como el suceso que contiene todos los resultados comunes a ambos sucesos Propiedades: 1. AB = BA 2. AA = A 3. A = 4. AE = A 5. Si AB entonces, AB = A

17 c. Complementario de A (Ā) Se define el suceso complementario o contrario de un suceso dado A, como aquel suceso que contiene todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen a A Propiedades: d. Diferencia de sucesos (A-B) Subconjunto de E integrado por los elementos de A que no están en B.

18 Sucesos mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles
Dos sucesos A y B definidos sobre el mismo espacio muestral, se dice que son mutuamente excluyentes o incompatibles si no se pueden verificar simultáneamente. Los sucesos incompatibles no tienen elementos comunes, es decir, si A  B = 𝛷.

19 Ejemplo 1: Consideremos el experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces y los sucesos: A= “salen al menos dos caras” B= “aparece alguna cruz” El suceso “A y B” es “salen al menos dos caras y aparece alguna cruz”, está formado por los resultados: (AB)={CCX,CXC,XCC} El suceso “A o B” = (A B)= {E} “salen al menos dos caras o aparece alguna cruz”, coincide con todo el espacio muestral. El suceso “No ocurre A” (Ā) o suceso “salen menos de dos caras” complementario de A es: Ā = {CXX,XCX,XXC,XXX} Definimos ahora el suceso C =”salen tres cruces”, los sucesos A y C son incompatibles o mutuamente excluyentes, por lo que A C=𝛷.

20 Ejemplo 2: Sea el experimento aleatorio “Lanzar dos veces un dado” y definimos sobre él los sucesos: A =“en el segundo lanzamiento sale par” B =”la suma es al menos 9” El suceso “A  B” = {(4,6),(5,4),(5,6),(6,4),(6,6)} Sea C el suceso “el segundo lanzamiento es impar”, los sucesos A y C son incompatibles porque no tienen ningún elemento común, es decir: (A  C) = 𝛷.

21 3. CONCEPTO DE PROBABILIDAD 3. 1
3. CONCEPTO DE PROBABILIDAD 3.1. Concepto de probabilidad clásico o “a priori” Regla de Laplace A comienzos del S.XIX Pierre Simon Laplace publicó la obra “Ensayo filosófico sobre las probabilidades”, en la que definía así la probabilidad: La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos del mismo género a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos igualmente inseguros sobre su existencia, y en determinar el número de casos favorables al acontecimiento cuya probabilidad se busca. La relación de este número con el de todos los casos posibles es la medida de esa probabilidad, que no es así más que una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de casos posibles.

22 Es aplicable sólo a espacios muestrales finitos.
Sea: E={1, 2, 3, 4, 5, 6} y el suceso A={2, 4, 5} P(A)= 3/6=0.5 El concepto de probabilidad dado por P. S. de Laplace Parte de que todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas opciones de ser verificados al realizar el experimento aleatorio. Los espacios se denominan equiprobables. Es aplicable sólo a espacios muestrales finitos.

23 3.2. Enfoque frecuentista o “a posteriori”
Defiende que la probabilidad es una frecuencia. La frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un suceso y la frecuencia relativa es la proporción de veces que aparece un suceso. Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta por el total de veces que se repite el experimento. Desde el punto de vista frecuentista, la probabilidad se puede definir del modo siguiente: La probabilidad de un suceso es el valor al que tiende la frecuencia relativa del mismo, cuando el número de veces que se ha repetido el experimento es suficientemente grande.

24 NºLanzamiento Resultado Nº caras (ni) Frec.relativa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ca X 1/1=1 2/2=1 2/3 3/ 4 3/5 3/6 4/7 4/8 4/9 5/10 6/11 6/12 7/13 7/14 7/15 7/16 8/17 8/18 9/19 10/20 Según la regla de Laplace, se sabe que la probabilidad de salir cara en el lanzamiento de una moneda es de un caso favorable dividido por dos casos posibles, es decir, 1/2. Suponga que se realiza prácticamente la experiencia de ir lanzando la moneda al aire, se anota si ha salido cara o cruz y se calcula la frecuencia relativa en cada caso. Los resultados obtenidos podrían ser los siguientes:

25 … si se representan gráficamente los datos del ejemplo se observa que según aumenta el número de casos, la línea que une las frecuencias se ajusta más a la horizontal trazada en la ordenada 1/ 2, valor teórico de la probabilidad definida por Laplace, con el que la frecuencia tiende a igualarse cuando el número de repeticiones de la experiencia es muy elevado. A este fenómeno de estabilización de las frecuencias se le conoce como “Ley del azar o ley de regularidad estadística”.

26 CUESTIONES DE INTERÉS Aplicar las concepciones de la probabilidad introducidas anteriormente no siempre es fácil, sobre todo si salimos del contexto de los juegos de azar. Supóngase por ejemplo, que estamos interesados en la incidencia que tiene determinada enfermedad en la población española. Contabilizar el número de casos totales en la población puede ser dificultoso, pero lo es mucho más contabilizar el número de sujetos con rasgos esquizoides si es ese, por ejemplo, el suceso que nos interesa. Supongamos así mismo que existen investigaciones previas en el tema que nos llevan a pensar que el número de casos con las circunstancias que nos interesan es una determinado y nuestra creencia, por tanto, es que la incidencia real del trastorno toma aproximadamente ese valor. En este caso no podemos utilizar el concepto de probabilidad como se ha introducido anteriormente, hay que introducirlo desde una óptica diferente a las anteriores, desde la perspectiva subjetivista o bayesiana.

27 3.3. Perspectiva subjetivista o bayesiana
La probabilidad de un suceso es el grado de creencia que se tiene en su ocurrencia. Dichas creencias se basan en la información que cada persona tiene del suceso y pueden ser revisadas cuando se recoge nueva información al respecto de la temática de interés

28 4. AXIOMAS Y TEOREMAS BASICOS DE LA PROBABILIDAD
Sea cual sea la concepción de la probabilidad que se utilice, la probabilidad de un suceso es un número que ha de cumplir una serie de condiciones como las que se introducen seguidamente.

29 4.AXIOMAS Y TEOREMAS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD
4.1 Axiomática de la probabilidad Dado un experimento aleatorio, su espacio muestral asociado, así como el conjunto (E), la probabilidad de un suceso A, que notamos P(A) es un número que cumple los siguientes axiomas: Axioma 1. Para cualquier suceso A(E), P(A)0 Axioma 2. P(E)=1 Axioma 3. Dados Ai (i=1,...,n) dos o más sucesos disjuntos o incompatibles, P (iAi)=iP(Ai) Axioma 4. El axioma tres sigue siendo cierto para cantidades infinitas numerables de sucesos.

30 4.2. Propiedades de la probabilidad
La probabilidad de un suceso cualquiera A, es un número menor que 1, luego 0≤p(A)≤1. La probabilidad del suceso complementario de un suceso dado, es igual a P(Ā)=1-P(A). Si un suceso A está incluido en otro B, entonces P(A)<P(B) La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio vale 1. Si A y B son dos sucesos compatibles, P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). Si A, B y C son tres sucesos compatibles, P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).

31 También podemos aplicar las reglas dadas en el apartado anterior:
Ejemplo: Supongamos que una urna contiene 10 bolas, cinco de las cuales son blancas, tres rojas y dos negras. Definimos el experimento simple “extraer una bola de la urna y ver su color”. Un suceso elemental es la extracción de una bola particular que tiene un color; hay 10 sucesos elementales en E, teniendo cada uno de ellos una probabilidad de 1/10. Los sucesos que nos interesan son tres: rojo, blanco y negro. Estos tres sucesos son subconjuntos de E con 5, 3 y 2 sucesos elementales cada uno, respectivamente. Podemos preguntarnos cuál es la probabilidad de extraer una bola roja: P(Roja) = 3/10=0,30 P(Blanca)=5/10=0,50 y, P(Negra)=2/10=0,20 También podemos aplicar las reglas dadas en el apartado anterior: P(No color) =0,00 P(Roja o Blanca) = 0,30 + 0,50= 0,80 P(Roja o Negra) =0,30 + 0,20= 0,50 P(Roja o Negra o Blanca) = 0,30 + 0,20 + 0,50 = 1,00

32 PRÁCTICA 1

33 Supongamos que se entrevistaron 500 estudiantes de una Facultad, preguntándoles si durante el último mes habían padecido algún dolor, y si éste había sido de cabeza o de algún otro tipo, pudiendo señalar ambos si era el caso. De los encuestados 150 presentaron dolor de cabeza, (A), 60 presentaron algún otro tipo de dolor, (B) y 20 presentaron tanto dolor de cabeza como de algún otro tipo.

34 Si elegimos al azar un estudiante de esa Facultad, entre todos los encuestados:

35 ¿Cuál es la probabilidad de que haya padecido dolor de cabeza y de algún otro tipo?
P(AB)=0.04

36 ¿Cuál es la probabilidad de que presente dolor de cabeza o de algún otro tipo?.
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)= – 0.04 = 0.38

37 ¿Cuál es la probabilidad de que no presente ningún dolor?

38 ¿Cuánto vale la suma de todos los sucesos elementales de este experimento?
Por una propiedad de la probabilidad sabemos que, la probabilidad de sumar todos los sucesos elementales que conforman el espacio muestral de un experimento aleatorio, vale 1. Vamos a comprobarlo. Los sucesos elementales de este experimento serían: A = [haber padecido dolor de cabeza], B = [haber padecido algún otro tipo de dolor] y C = [no haber padecido ningún dolor]. Por lo que la suma de sus probabilidades sería igual a:

39 En esta fórmula, las intersecciones en las que interviene el suceso C valen 0. Por ejemplo sin consideramos la P(AC), el resultado de esa intersección sería el conjunto vacío, , ya que ambos sucesos no tienen ningún elemento en común. Por lo que si las eliminamos de la fórmula anterior y hacemos los cálculos el resultado tiene que darnos 1. Estaríamos ante el suceso seguro o cierto, ya que si seleccionamos una persona al azar de las encuestadas, con seguridad, o ha padecido dolor de cabeza, o lo ha padecido de algún otro tipo, o ha padecido ambos, o bien no ha padecido ningún dolor.

40 ¿Cuál sería la probabilidad de haber padecido sólo dolor de cabeza?
P(A) - P(AB)= =0.26

41 ¿Cuál la de haber padecido sólo algún otro tipo de dolor?
P(B) - P(AB)= =0.08

42 PRÁCTICA 2

43 Hemos llevado a cabo un estudio con pacientes que han sido diagnosticados con un trastorno de bulimia nerviosa y hemos comprobado que, en el 30% de los casos de bulimia se acompañan de problemas de ansiedad, en el 20% se acompañan de problemas de depresión, y en el 15% de síntomas obsesivos-compulsivos. El 12% padece ansiedad y problemas de depresión, el 9% ansiedad y síntomas obsesivos-compulsivos, y el 6% problemas de depresión y síntomas obsesivos-compulsivos. Finalmente, el 3% padece los tres tipos de problemas.

44

45 ¿Cuál es el porcentaje de pacientes con trastorno de bulimia nerviosa que padecen al menos uno de los tres síntomas? P= = 0.41

46 ¿Qué porcentaje de pacientes no padecen ninguno de los tres problemas?

47 ¿Cuál es el porcentaje de pacientes que sólo padecen ansiedad?

48 Señala el porcentaje de pacientes que presentan problemas de depresión o síntomas obsesivos-compulsivos pero no presentan problemas de ansiedad P= =0.11

49 Señala el porcentaje de pacientes que no padecen problemas de ansiedad ni problemas de depresión