Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas

Presentación del tema: "Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas"— Transcripción de la presentación:

1 Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas
Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C.

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Una ecuación diferencial de la forma 𝑦 / =𝑓 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦+ 𝑐 1 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2 𝑦+ 𝑐 2 Se puede llevar a una ecuación diferencial homogénea median el siguiente algoritmo. ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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1. Solucionamos el sistema lineal 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦+ 𝑐 1 =0 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2 𝑦+ 𝑐 2 =0 Si la solución del sistema es 𝑥= 𝛼 ;𝑦= 𝛽 2. El cambio de variable 𝑥=𝑈+ ∝, 𝑑𝑥=𝑑𝑈 𝑦=𝑉+𝛽 , 𝑑𝑦=𝑑𝑉 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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Transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación homogénea en las variables 𝑈 , 𝑉 , de la siguiente forma. 𝑦 / =𝑓 𝑎 1 𝑈+ 𝑏 1 𝑉 𝑎 2 𝑈+ 𝑏 2 𝑉 Solucionamos la ecuación homogénea resultante ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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Ejemplo 1. Solucionar la ecuación diferencial 𝑦 / = 4𝑥+𝑦−9 𝑥−4𝑦+2 Solucionamos el sistema lineal 4𝑥+𝑦−9=0 𝑥−3𝑦+2=0 4𝑥+𝑦=9 𝑥−3𝑦=−2 La solución es: 𝑥=2 , 𝑦=1 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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Cambio de variable 𝑥=𝑈+2 𝑑𝑥=𝑑𝑈 𝑦 =𝑉+1 𝑑𝑦=𝑑𝑉 Reemplazando 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4 𝑈+2 + 𝑉+1 −9 𝑈+2−4 𝑉+1 +2 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4𝑈+8+𝑉+1−9 𝑈+2−4𝑉−4+2 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4𝑈+𝑉 𝑈−4𝑉 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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Resolvemos la ecuación diferencial homogénea 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4𝑈+𝑉 𝑈−4𝑉 Sea 𝑉 = 𝑈𝑊 , entonces 𝑑𝑉 𝑑𝑈 =𝑊+𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 ; 𝑊= 𝑉 𝑈 Dividiendo la E.D.H por U 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4+ 𝑉 𝑈 1−4 𝑉 𝑈 𝑊+𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 = 4+𝑊 1−4𝑊 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 = 4+𝑊 1−4𝑊 −𝑊 𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 = 4+𝑊−𝑊+4 𝑊 2 1−4𝑊 𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 = 4+4 𝑊 2 1−4𝑊 1−4𝑊 1+ 𝑊 2 𝑑𝑊= 4𝑑𝑈 𝑈 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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1−4𝑊 1+ 𝑊 2 𝑑𝑊 =4 𝑑𝑈 𝑈 Separando en dos integrales 1 1+ 𝑊 2 𝑑𝑊− 4𝑊 1+ 𝑊 2 𝑑𝑊=4 𝑑𝑈 𝑈 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑊 −2𝐿𝑛 1+ 𝑊 2 =4𝐿𝑛 𝑈 +𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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𝑇𝑎𝑛 −1 𝑉 𝑈 −2𝐿𝑛 1+ 𝑉 𝑈 2 =4𝐿𝑛 𝑈 +𝐶 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑦−1 𝑥−2 −2𝐿𝑛 1+ 𝑦−1 𝑥− =4𝐿𝑛 𝑥−2 +𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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Solucionar ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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Si el sistema lineal no tiene solución, es porque las rectas son paralelas y en ese caso se procede mediante el siguiente algoritmo. Solucionar 𝑦 / = 𝑥+𝑦+1 2𝑥+2𝑦−1 El sistema 𝑥+𝑦+1=0 2𝑥+2𝑦+1=0 no tiene solución ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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Observamos que en el denominador de la ecuación diferencial podemos factorizar 2, 𝑦 / = (𝑥+𝑦)+1 2(𝑥+𝑦)−1 llamamos 𝑈 = 𝑥 + 𝑦 , con lo que se tienen 𝑑𝑈 𝑑𝑥 =1+ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 y así 𝑑𝑈 𝑑𝑥 −1= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Reemplazando 𝑑𝑈 𝑑𝑥 −1= 𝑈+1 2𝑈−1 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 𝑈+1 2𝑈−1 +1 𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 𝑈+1+2𝑈−1 2𝑈−1 𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 3𝑈 2𝑈−1 2𝑈−1 𝑈 𝑑𝑈=3𝑑𝑥 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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2𝑈−1 𝑈 𝑑𝑈=3 𝑑𝑥 2𝑈−𝐿𝑛 𝑈 =3𝑥+𝐶 2 𝑥+𝑦 −𝐿𝑛 𝑥+𝑦 =3𝑥+𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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ACTIVIDAD Solucionar ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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Esperamos que este material le halla permitido resolver las dudas sobre ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.