Fundamentos de Control

Presentación del tema: "Fundamentos de Control"— Transcripción de la presentación:

1 Fundamentos de Control
Realimentado Clase 29 Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2013

2 Diseños de SC empleando Diagramas de Bode e Interpretación según Criterio de Estabilidad de Nyquist
Contenido: Otros Métodos de Diseño de un SC en la frecuencia Compensadores dinámicos de adelanto Controlador PI Compensadores dinámicos de atraso

3 Compensaciones Dinámicas en el Compensadores de adelanto de fase
Dominio Frecuencial Método de Diseño II Compensadores de adelanto de fase

4 Introducción El diseño de un controlador PD, visto anteriormente, se basaba en elegir el cero de acuerdo al ancho de banda pretendido del sistema de control. Allí surgía un sobrepico Mp de la respuesta al escalón que dependía del margen de fase MF, el cual se debía fijar entre 45° y 65° como valor de referencia. El aumento del MF se lograba en general aumentando la ganancia K del sistema de lazo abierto. El ancho de banda aumentaba pero esto se consideraba tolerable mientras NO existiera un problema de ruido. En este capítulo se verá un compensador de adelanto que provea simultáneamente un MF adecuado y un buen rechazo al ruido si es que este problema existe. Adicionalmente existirá un grado de libertad extra para definir también el comportamiento en estado estacionario.

5 Compensador Dinámico por Adelanto de Fase
Frente al Controlador PD visto, es conveniente emplear Compensadores Dinámicos de Adelanto (lead) cuando el problema de ruido del sensor es significativo (típicamente en bandas de altas frecuencias, más altas que la última frecuencia de corte de la planta). También se emplea para ganar mayor margen de fase y alejar el sistema de control de la inestabilidad. Así, la estructura de un compensador lead obedece a: 1-a a 1/T -1/T -1/aT s w p z con 1>a>0 Ejemplo con =0.1 Ejemplo con =0.1 1/a

6 Características propias de la Compensación Lead
La fase del compensador es: Derivando f respecto a w e igualando a 0, (d[atan()]/d=1/(1+2)) se encuentra wmax wmax= T a 1 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 atan(T) atan(T) - atan(T) wmax  = arcsen 1/a -1 1/a +1 , y reemplazando wmax en f queda: La relación normal entre el polo p y el cero z es de 1/a entre 5 y 10 mucho efecto de filtrado de ruido en altas frecuencias. Además distorsiona la ganancia, incrementándola en altas frecuencias. Pues si la separación entre p y z es alta ( 1 a 1/a >>1) el polo no tiene Contrariamente, si p y z se juntan (a=1) no hay un adelantamiento de fase significativo (se compensan sus efectos por cancelación de p y z!)

7 Método de diseño II y justificación
Idea central Si una planta no tiene suficiente Margen de Fase, y se desea aumentarlo para especificar por ejemplo un menor Mp del SCLC, entonces se debe adelantar la fase justo en la frecuencia de cruce por cero c de |G| (0 DB) La forma de elegir el cero-polo del compensador en adelanto es sencilla. La idea central consiste en sumar una fase adicional con el compensador Al margen de fase que ya tiene la planta, es decir G(c)+Lead (c), para alcanzar el valor de margen de fase deseado Por conveniencia, el aporte de fase del lead se elige igual a su fase máxima en c, quedando definida la posición relativa entre el cero y el polo del lead. Por último el cálculo definitivo se logra imponiendo un valor 1/ apropiado para colocar el polo, el cual guarda una relación de entre 5 y 10 en módulo La función KDG tiene todavía una variable más que es la ganancia K. La misma puede elegirse para satisfacer condiciones del estado estacionario, por ejemplo disminuir el error de control a largo plazo

8 Método de diseño II – Especificaciones
El diseño del compensador por adelanto comienza estableciendo 2 especificaciones del SCLC: 1) El sobrepico Mp máximo deseado en la respuesta al escalón 2) Un máximo error permitido ess del estado estacionario MF Sobrepico rta al escalón Mp Pico de resonancia Mr Para diseñar un compensador que satisfaga las 2 condiciones se utiliza la siguiente gráfica: 1/ (relación de polo sobre cero, ganancia en altas frecuencias) Máximo aporte de fase 1ra Gráfica de Diseño Sólo para LEAD Con una relación 101/a5 se desprende que el margen de fase máximo que puede aportar el compensador cumple 40º MF 55º. Por último, el cumplimiento de un error máximo permitido ess se logra sintonizando K apropiadamente (notar que MF varía nuevamente)

9 Interpretación de la compensación en adelanto
K(T+1) T+1 G (jw) Planta y compensador Lead G (jw) Planta Re(s) Plano s -1 Im(s) Circunferencia unitaria Diagrama de Nyquist del compensador w=0+ w= wc Planta K=1 1/ w= 1 w=0 T+1 T+1 30º w= K/ K w=0 T+1 K(T+1) 30º /G(wc)/=1 wc El compensador aporta 30º más a la fase de la planta en c, es decir, en la frecuencia de cruce por cero dB de la ganancia de la planta. Frecuencia de cruce por 0dB Pero el sistema es inestable con esa ganancia /KDG(wc)/=1 wc Se baja la ganancia K Con ello, la planta compensada y realimentada se aleja del límite de estabilidad al adquirir un mayor margen de fase igual a: /DG(wc)/ wc Planta compensada G(wc)+max(wc)

10 Interpretación en DB de la compensación en adelanto
(sT/+1) s K (sT+1) e-sTd KDG(s)= FTLA: s e-sTd G(s)= Planta: -20 20 -270 -180 -90 -40 10 -1 1 2 cero polo K<1 K=1 Planta compensada Planta MF deseado Planta MF MF max c

11 Ejemplo: Diseño II para una Antena Satelital
Se desea controlar un sistema de rastreo de una antena satelital: 1 s(s+1) G(s)= Especificaciones: Especificación 1: 1/Kv menor a 0.1 Especificación 2: Mp inferior o igual al 22% Solución: Se usa un compensador lead para satisfacer ambas especificaciones. Es sabido que la realimentación proporcional de este sistema podría no ofrecer un adecuado amortiguamiento s (verificar con LR!) y por ende los ts son prolongados y/o tr pequeños (notar que: ts=4.6/s, tr=1.8/wn y s =zwn). Para mejorar esto necesitamos incorporar un cero. Por ello probamos con un compensador lead para mejorar la fase del SCLA (desplazándola hacia arriba en el DB de fase) y proveer un mayor margen de fase (ver Diagrama de Bode completo)

12 Continúa Ejemplo de Diseño II
El error de estado estacionario del sistema tipo I es: Para D(s) un compensador lead y R(s)=1/s2 se obtiene: ess = 1 / KD(0)G(0) = 1/Kv  0.1 Se elige K=10 , la cual con DG(0)=1, se verifica la 1ra. especificación. 2da Gráfica de Diseño Ahora falta cumplir la condición de Mp. MF Sobrepico rta al escalón Mp Sobrepico de resonancia Mr Como se sabe que el SCLC tendrá dos polos complejos conjugados, se emplea la figura de diseño como aproximación. Se nota que un Mp de alrededor de 22% se logra con un MF de 45° Observamos además un Mr de 1.2 en la frecuencia de resonancia (aunque este valor no se utiliza).

13 Fin del Diseño II para ejemplo de Antena satelital
Primero se sube la curva de ganancia con K=10=20dB para lograr ess=1/Kv=1/K=0.1 1 Continúa Ejemplo de Diseño Se nota que la planta sola, incorpora 18° de MF. Un compensador debería aportar por lo menos 27° más (en total 45º) en la frecuencia de cruce w=3 rad/s de KG para lograr el Mp requerido de 22% como máximo 2 Fin del Diseño II para ejemplo de Antena satelital Con 1/a=5 buscamos ahora la posición del cero -1/T a través de: 4 = 3 rad/s. wmax= T a 1 1/T = 2.17 y 1/aT = Adoptamos el cero en -2 y polo en -10 Sin embargo sabemos que debido al cambio de ganancia, la frecuencia de corte se desplaza a la derecha y con ella el fmax. Por ello elegimos wmax=5 y de aquí sale: Sin embargo pedir un max de 27º significa juntar demasiado el cero y el polo del compensador. Notar en la tabla que 1/ nos da un valor de 2.6, el cual es inadmisible. Entonces tomamos el menor posible que es 1/=5. Esto aumenta el aporte de fase del lead 3 El MF total queda de 53º el cual produce un Mp menor del especificado igual a 15%. También el pico de resonancia es levemente superior a 0dB. 6 En realidad la nueva frecuencia para medir el MF se corrió a la derecha, pues el compensador aumenta la ganancia. Si medimos en esa frecuencia vemos que el aporte del compensador es de 41º y la planta en ese punto tiene sólo 12º 5 El diseño puede finalizar en este paso, o refinar el Mp al valor máximo solicitado. Se puede proceder variando iterativamente max y 1/ o seguir el camino más fácil de aumentar levemente la ganancia K para disminuir el MF a 45º . Esto a su vez disminuye más el ess. 7 El aumento de K es de 6dB=2, y ahora Kv=20. s(s+1)(s/10+1) 10 (s/2+1) KDG(s)= 20 (s/2+1) KDG(s)= s(s+1)(s/10+1) 10 s(s+1) KG(s)= 1 s(s+1) G(s)= -80 -60 -40 -20 20 40 -180 -135 -90 10 -1 1 2 K=10 Integrador planta 18º 12º Polo planta MF Sobrepico rta al escalón Mp Sobrepico de resonancia Mr 1/ (relación de polo sobre cero) MF lead Cero compensador Polo compensador Nos da en exceso un aporte de 40º . Faltan 27º de aporte del Comp. aporte de 41º 41º MF total 53º 45º Diseño final 3x100

14 Respuesta Temporal del Sistema Antena Controlado
Respuesta del sistema de lazo cerrado al escalón 1.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.6 1.8 Tiempo s Mp es levemente menor al indicado de 22%. Esta respuesta corresponde a un de MF=53° 0.58s 20% 1,03s 0.21s 5% NOTA 1: las curvas de Mp vs. MF son válidas para un sistema subamortiguado puro. Aquí el sistema SCLC posee además un cero en s=-2. NOTA 2: Un MF mayor al deseado es bueno pues el SC tiene un cero y de por sí aumenta inevitablemente el sobrepico. Un MF mayor lo baja

15 Respuesta Temporal del Sistema Antena Controlado
Respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tiempo (seg) s(s+1)(s/10+1) 10 (s/2+1) KDG(s)= MF=45º s(s+1)(s/10+1) 20 (s/2+1) KDG(s)= MF=53º

16 Diseño resultante visto en Lugar de las Raíces
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 4 6 8 =MF/100=45/100=0.45 Planta realimentada y compensada Polo y cero del compensador de adelanto (=26º) Planta realimentada con K pero no compensada

17 Resumen del Método de Diseño II
Método Dado que no existe retardo puro, el método tiene 2 grados de libertad Se requiere cumplir especificaciones de Kv y Mp. Se elige Comp. Lead Determinar la ganancia K en el DB tal que el error de estado estacionario ess esté dentro de los límites de la especificación Graficar el Diagrama de Bode para KG y extraer frecuencia de cruce Leer para esta frecuencia el MF y el aporte necesario de fase para cumplir el Mp pedido (Gráfica de Diseño Mp vs. MF). Este aporte lo provee el fmax. Si el aporte de fase del lead es menor que 40° se elige 1/=5, si no se emplea la gráfica fmax vs 1/ Como la curva de ganancia sube un factor 1/, la frecuencia de cruce se correrá a la derecha. Se elige una nueva frecuencia de wmax mayor Con la expresión wmax=1/ Ta1/2 igual a la frecuencia de cruce de KG se halla 1/T y 1/Ta , y se recalcula fmax con fmax =arcsin((a-1- 1)/(a-1+1)) Graficando Bode de KDG se verifica el MF. Si es menor o mayor se incre- menta 1/a o se disminuye para dar con el valor correcto iterativamente El camino alternativo y más sencillo es subir la ganancia hasta dar con el MF deseado. Esto mejora también el error de estado estacionario.

18 Resumen del Método de Diseño II
Parámetros especificados en el Método de Diseño La ganancia K que determina el ess (ó Kv) EL sobrepico Mp el que determina la performance del SC Parámetros auxiliares del Método de Diseño El margen de fase MF que determina el sobrepico Mp y con él el amortiguamiento z El factor 1/ y wmax que determinan la posición del cero y del polo del compensador de adelanto Verificación de la justeza del método de diseño con el ploteo de la respuesta al escalón del SC.

19 Compensaciones Dinámicas en el Propiedades de estado estacionario
Dominio Frecuencial Método de Diseño III Compensador PI Propiedades de estado estacionario

20 Diseño de un Compensador PI
1 s KD(s)= s + TI Sea el compensador PI: w (log10 w) /KD/, db PI -20db/dec La ganancia es muy alta para bajas frecuencias ( para w=0), y debido a esto, la fase de KDG(jw) puede verse comprometida en la frecuencia de cruce wc de la planta, pues la fase de KD(jw) arranca con -90°. 1 1/TI wc w (log10 w) q [°] 0° -90° -180° 1/TI wc Por ello el Criterio de Diseño es por un lado elegir 1/TI que no aporte desfasaje en la frecuencia de cruce wc de la planta Por otro lado se aumenta la ganancia K para proveer un error de estado estacionario bajo (por Ej. ess<0.01). Veamos un ejemplo en Matlab.

21 Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB MATLAB
>> G=tf([4],conv([20 1],[ ])) Transfer function: 4 500 s^ s^ s + 1 >> roots([ ]) ans = >> rlocus(G) >> bode(G) >> PI=tf(0.005*[1/ ],[1 0]) Transfer function: s s >> hold on >> bode(PI*G) >> >> close all >> rlocus(G) >> rlocus(PI*G)

22 Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB
Magnitud (dB) 10 -4 -3 -2 -1 1 Fase (grados) Diagrama de Bode Frecuencia (rad/seg) -150 -100 -50 50 -270 -180 -90 Planta compensada Se amplifica con K=6dB=2 Así el ess=0.01 (a una rampa) Planta Planta Planta compensada El PI modifica el margen de fase c La frecuencia de cruce se desplaza un poco a la derecha y disminuye el MF. El MF puede llegar a ser crítico Con la elección del cero se logró no modificar el margen de fase

23 Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 Lugar de las Raíces Eje real Eje imaginario -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 Lugar de las Raíces Eje real Eje imaginario Planta compensada Planta Ambos LRs se asemejan significativamente. La diferencia está en la nueva rama que aparece en KDG, la cual comprende al cero/integrador del PI (bajas frecuencias)

24 Compensaciones Dinámicas en el Compensador de Atraso de Fase (lag)
Dominio Frecuencial Compensador de Atraso de Fase (lag) Método de Diseño IV

25 Compensador Dinámico por Atraso de Fase
Frente al Controlador PI visto, es conveniente emplear Compensadores Dinámicos de Atraso (lag) para mejorar el estado estacionario en una situación donde el problema de margen de fase es crítico. Mientras un PI aporta -90º, en el CD lag el MF no decae tanto como con un PI y también puede bajarse el ess . Pero acá el sistema queda de tipo 0 si la planta no tiene integrador. Así, la estructura de un compensador lag obedece a: -1/aT -1/T s w z p a D(s) = Ts+1 aTs + 1 con a>1 ganancia fase

26 Diseño de un Compensador con Atraso de Fase
Un compensador con atraso de fase provee esencialmente suficiente ganancia en bajas frecuencias (ganancia finita en w=0) como para disminuir el error de estado estacionario ess Por ello conserva la propiedad fundamental de un PI. Sin embargo, el aporte de fase negativa no es tan grande como en este controlador Notar que en un compensador con atraso de fase se cumple que: a D(s) = Ts+1 aTs + 1 con D(0) = a y D()=1, z/p=a>1 es decir, el compensador provee un aumento de la ganancia estática en la proporción D(0)=a>1. Sabemos que el papel fundamental de este compensador es colocar el polo y el cero (a la izquierda), ambos muy cerca del eje imaginario, pero de tal manera que la fase de KG(jw) no sea alterada en frecuencias medias y altas. Se supone que el MF se logra inicialmente con un K adecuado y luego del diseño del compensador de atraso se corrobora

27 Método de Diseño IV con Compensador de Atraso
Pasos de diseño Determinar la Ganancia de Lazo Abierto K de KG que cumpliría los requerimientos de un MF deseado en wcruce. Dar un poco más MF, pues la fase del compensador lag retrasa en wcruce y disminuirá el MF deseado Dibujar en Diagrama de Bode de KG con esa ganancia del paso anterior y evaluar la ganancia de baja frecuencia para cumplir ess deseado Determinar la ganancia a para lograr el error de estado estacionario ess deseado, por ejemplo en sistemas tipo 0 ess=1/(1+KG(0)) La frecuencia del polo w=1/aT se establece 1 década a la izquierda de la frecuencia de cruce La frecuencia de quiebre w=1/T del cero de D(s) queda definida a la derecha del polo del compensador en la relación a Como el MF disminuye con DKG, iterar el procedimiento alterando levemente las ganancias K y a, con Ka =cte., hasta lograr el MF!

28 Ejemplo de Diseño con Lag para un Sistema Térmico
Sea la planta: Sistema térmico Especificaciones de Diseño IV: SCLC con un ess no mayor a 10% y con un MF mayor o igual a 40° 2 4 6 8 10 12 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tiempo en s y(t) u(t) Planta no compensada con K=1

29 Ejemplo de Diseño con C. Lag para un Sistema Térmico
Se empleara un compensador de atraso pues existe un requerimiento prioritario de estado estacionario y evitar una situación de MF crítica. Claramente, ni la planta y ni el compensador tienen un integrador, entonces el sistema es de tipo cero y por ende el SCLC tendrá un ess al escalón Por definición: Kp = lim KD(s)G(s) s Adicionalmente: e () = lim s s 0 1 1+KD(0)G(0) = 1/(1+Kp)=1/10 = 0.1 (10%) ess= Entonces Kp = KDG(0) = K = 9 (o mayor), existen 2 grados de libertad. Investigamos ahora el comportamiento frecuencial de KG mediante un Diagrama de Bode. Ajustamos K para lograr para lograr un MF deseado entre 40° y 55º.

30 Continúa Ejemplo de Diseño con C. Lag
Diagrama de Bode D(s) = 3*(3.7s+1)/(11.2s+1) 3DG Magnitud (db) Fase (°) -40 -20 20 10 -2 -1 1 2 -270 -225 -180 -135 -90 -45 -3 3G No se alteró la ganancia en wcruce D G wcruce=0.89 rad/s Se descompensó levemente el MF en wcruce -127° MFinicial=53° wcruce=0.89 rad/s MFfinal=45° Luego corremos la wquiebre del cero  veces respecto al polo, nos da 0,3 y trazamos D(jw) La curva compensada 3DG cumple con un MF de 45° y un Kp=9. No se itera más. El resultado es un Compensador Lag: 3*(3.7s+1)/(11.2s+1). Subimos /G/ en el valor de 9.54 db=3 justo en cruce=0.89 rad/s Fijamos la wquiebre del polo al menos una década a la izq. de wcruce:1/aT=  0.09 Como pedimos un Kp=9 esto se logra con Kp=a*3G(0)=a*3 Esto impone un a=3 para el compensador lag. Construimos el Diagrama de Bode para G(jw) Se pide un MF mayor de 40°, elegimos 53° y encontramos un wcruce=0.89 rad/s

31 Respuesta Temporal de la Planta y de la Planta Controlada
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 SISTEMA TÉRMICO Mp=0.25 ess=0.1 y(t) del sistema controlado en el diseño final MF Sobrepico rta al escalón Mp Sobrepico de resonancia Mr y(t) de la planta Si se quiere mejorar el Mp, no se debe subir K, más bien Ka =cte. pues sino esto disminuiría el MF. También se pueden correr el polo y cero a la izquierda aumentando el MF MF=45º

32 Fin del Curso FCR 2do. Cuatrimestre 2016