1. Capitalización compuesta. Formulación en una hoja de cálculo

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2 1. Capitalización compuesta. Formulación en una hoja de cálculo
1.1. Variables que intervienen en la capitalización compuesta 1.2. Cálculo de la fórmula general del capital final 1.3. Formulación en una hoja de cálculo 2. Análisis comparativo: capitalización simple y capitalización compuesta Capitalización no anual o fraccionada. Tantos equivalentes en interés compuesto 3.1. Interés nominal 3.2. Interés efectivo o tanto equivalente 3.3. Relación entre los tantos en capitalización compuesta y en capitalización simple 3.4. Frecuencia de capitalización 3.5. Capitalización en tiempo fraccionado Actualización compuesta o descuento compuesto Aplicaciones a las operaciones financieras: de devolución de un capital, de equivalencia y en la constitución de un capital Otras equivalencias de capital: vencimiento común y vencimiento medio Capitalización y actualización cuando varía el tipo de interés Descuento por pronto pago EN RESUMEN ENTRA EN INTERNET

3 1. Capitalización compuesta. Formulación en una hoja de cálculo
Las operaciones financieras en régimen de capitalización compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de capitalización simple, pasan a formar parte del capital inicial a medida que se van generando. Es decir, se reinvierten, se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. De esta forma, los intereses generados en cada periodo se van acumulando periodo a periodo, y se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores, ya que incorporan los intereses de periodos anteriores).

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1.2. Cálculo de la fórmula general del capital final Cn = C0 · (1 + i)n Capital final Antonio ingresa en el Banco Eurodiner € en un depósito a plazo fijo durante 3 años, que le remunera un tipo de interés nominal anual del 4%. ¿Cuál será el saldo al final de la operación?

5 Capital inicial o valor actual
1. Capitalización compuesta. Formulación en una hoja de cálculo 1.2. Cálculo de la fórmula general del capital final Capital inicial o valor actual Fernando le comenta a Carlos que ha obtenido € de un ingreso que realizó hace dos años en una cuenta de ahorros, la cual le ofrecía un interés compuesto anual del 5%. Carlos se pregunta qué cantidad inicial de dinero tuvo que aportar Fernando en dicha operación.

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1.2. Cálculo de la fórmula general del capital final El tipo de interés Hemos recibido un folleto informativo de Bancamax en el que se anuncia: «Invierta € en la cuenta GarantíaPlus y dentro de 4 años le garantizamos un importe total de 9 724,05 €». Queremos conocer la rentabilidad que nos ofrecen, y poder compararla con la de Bancomayor, que nos ofrece un tipo de interés anual del 4%.

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1.2. Cálculo de la fórmula general del capital final El tiempo En el día de hoy, a la empresa Invertsa le han abonado ,50 € por una inversión de €, realizada hace algún tiempo, a un tipo de interés anual compuesto del 4,5%. La empresa desea saber cuál ha sido la duración de dicha operación financiera.

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9 2. Análisis comparativo: capitalización
simple y capitalización compuesta

10 Cuadro comparativo entre interés simple e interés compuesto
2. Análisis comparativo: capitalización simple y capitalización compuesta Cuadro comparativo entre interés simple e interés compuesto Los intereses son iguales en todos los periodos. Se cobran al finalizar cada periodo y, al final de los 10 años, se entrega el capital disponible ( €) junto con los intereses de ese periodo (2 000 €). Los intereses crecen en progresión geométrica, se capitalizan, no se cobran periódicamente y, por tanto, el capital es cada vez mayor. La liquidación del capital y los intereses se realiza al final de los 10 años ( €).

11 3. Capitalización no anual o fraccionada.
Tantos equivalentes en interés compuesto 3.1. Interés nominal 3.2. Interés efectivo o tanto equivalente Dos tantos, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando, aplicados al mismo capital inicial y durante el mismo tiempo, producen el mismo interés o generan el mismo capital final. Interés nominal Interés efectivo Tipo de interés efectivo anual en función del tipo de interés efectivo de un periodo fraccionado en frecuencia m: i = (1 + i ) m – 1 m = frecuencia de fraccionamiento en un año o número de subperiodos (número de veces) que contiene en un año. jm = tipo de interés nominal anual. Tanto proporcional anual (TIN). im = tipo de interés efectivo de un periodo (inferior a un año) fraccionado de frecuencia m. Tipo de interés efectivo de un periodo fraccionado de frecuencia m en función del tipo de interés efectivo anual: im = (1 + i) 1/m – 1

12 3. Capitalización no anual o fraccionada.
Tantos equivalentes en interés compuesto 3.3. Relación entre los tantos en capitalización compuesta y en capitalización simple Conociendo el tanto nominal anual, obtenemos el tanto efectivo del subperiodo (por ejemplo, mensual), y si queremos obtener el tanto efectivo anual, aplicaremos la fórmula: i = (1 + im)m – 1 O bien, directamente: i = (1 + jm / m)m – 1 Y si conocemos el tanto efectivo anual y queremos calcular el del subperiodo (ejemplo, trimestral), aplicaremos la fórmula: im = (1 + i)1/m – 1

13 3. Capitalización no anual o fraccionada.
Tantos equivalentes en interés compuesto 3.3. Relación entre los tantos en capitalización compuesta y en capitalización simple

14 3. Capitalización no anual o fraccionada.
Tantos equivalentes en interés compuesto 3.4. Frecuencia de capitalización A mayor frecuencia de capitalización, mayores intereses. El resultado del capital final es el mismo, tanto si aplicamos el tanto anual equivalente, como si aplicamos el tanto proporcional capitalizado en el periodo especificado: Cn = C0 (1 + im) n · m Calcula el valor final de 1 € en interés compuesto, aplicando la tasa anual equivalente, y aplicando el tipo de interés proporcional, si la capitalización es:

15 3. Capitalización no anual o fraccionada.
Tantos equivalentes en interés compuesto 3.5. Capitalización en tiempo fraccionado Llamamos capitalización compuesta fraccionada a aquella operación financiera en la que el tiempo de capitalización no es un número exacto de periodos (años), como por ejemplo semestres, trimestres, meses o días. Para el cálculo del capital final y del capital inicial hay que homogeneizar el tipo de interés y el tiempo. Calcula el capital final que obtendrá Antonio dentro de cuatro años y nueve meses, si ha realizado una aportación inicial de € en una entidad financiera que le garantiza un 6% de interés anual y capitalización mensual.

16 4. Actualización compuesta o descuento compuesto
Actualizar o descontar es restar de un capital futuro los intereses que todavía no ha devengado. El descuento o actualización compuesta es aquella operación financiera que consiste en sustituir un capital futuro por otro con vencimiento presente. El descuento compuesto racional es la inversa de la capitalización compuesta. José quiere disponer dentro de 18 meses de un capital de €, y acude a un banco que le ofrece un 4% anual de interés compuesto durante toda la operación. ¿Qué capital tiene que ingresar hoy?

17 5. Aplicaciones a las operaciones financieras:
de devolución de un capital, de equivalencia y en la constitución de un capital En el interés compuesto, el capital equivalente se calcula llevando los demás capitales al momento del vencimiento. Aunque también se pueden llevar todos los capitales al inicio o al final del periodo (capitalizar o actualizar), o a cualquier momento, pues si dos capitales son equivalentes en un momento dado, siempre lo serán con independencia del momento (fecha) adoptado para efectuar la valoración, y siempre valorados al mismo tipo. Sustitución de un conjunto de capitales por un único capital Mercanesa acuerda con un acreedor sustituir tres deudas de 3 000, y € con vencimientos a 2, 3 y 5 años, respectivamente, por un solo capital equivalente a pagar a los 4 años. El tipo de interés anual pactado es del 7%.

18 6. Otras equivalencias de capital: vencimiento común
y vencimiento medio Vencimiento común José tiene dos cobros pendientes de y €, con vencimientos a 2 y 4 años, respectivamente. El deudor desea que le sustituyan las dos deudas por un solo pago de €, y la operación se acuerda a un tipo de interés anual del 5%. ¿Cuándo será equivalente este capital respecto a los dos capitales iniciales?

19 6. Otras equivalencias de capital: vencimiento común
y vencimiento medio Vencimiento medio Basándonos en el ejemplo anterior, tenemos que:

20 7. Capitalización y actualización cuando varía el tipo de interés
Cuando el tipo de interés varía a lo largo de la operación utilizaremos la capitalización (1 + i) para diferirlo un año. Si el tipo de interés cambia para el año siguiente a un tipo i2, utilizaremos (1 + i2) para llevar el dinero al año siguiente, y así sucesivamente. Por lo que, si el tipo de interés cambia todos los años, utilizaremos la siguiente expresión en capitalización: Cn = C0 (1 + i1) (1 + i2) ... (1 + in) i1 = tipo de interés vigente durante el primer periodo de capitalización i2 = tipo de interés vigente durante el segundo periodo de capitalización, etc. Carlos acaba de retirar ,90 € de un fondo de inversión en el que ha mantenido todo su dinero durante 4 años. El tipo de interés anual garantizado era variable, del 5%, 5,5%, 6% y 6,5%, respectivamente. ¿Qué capital había invertido Carlos en ese fondo hace 4 años?

21 Fórmulas para el cálculo del coste/rentabilidad del pronto pago:
8. Descuento por pronto pago El descuento por pronto pago (dto. p.p.) por parte del proveedor es un incentivo económico cuyo objetivo es estimular a los clientes a acelerar el pago de sus deudas adelantando la fecha del vencimiento acordado previamente. Fórmulas para el cálculo del coste/rentabilidad del pronto pago:

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23 ENTRA EN INTERNET Visita la página web para ampliar y profundizar en la casuística de los instrumentos de financiación empresarial, y de forma específica en la TAE bancaria y en el coste efectivo real de las liquidaciones de remesas de efectos y en las cuentas de crédito, así como la financiación del proveedor (descuentos por pronto pago). Entra en el siguiente enlace del Banco de España para operar con el simulador que calcula la TAE y otras variables: En el enlace encontrarás una útil herramienta que permite calcular un capital final y los intereses producidos por un capital inicial a un tipo de interés y tiempo determinado. Página 14

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