ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Presentación del tema: "ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD"— Transcripción de la presentación:

1 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
1º BACH CCNN CURSO 2016/2017

2 ¿Qué es una variable estadística?.
Conceptos básicos: Estadística: una rama de las matemáticas que estudia usos y análisis provenientes de una muestra representativa de datos, que busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Población: conjunto de todos los elementos de estudio. Ejemplo: Los alumnos que cursan 3º E.S.O. en cierta ciudad son Los 6578 alumnos constituyen la población objeto de estudio. Muestra: A veces no se puede trabajar con todos los elementos y hacemos el estudio sólo con una parte de ellos. A este conjunto de elementos se llama muestra. Ejemplo: Los alumnos de 3º E.S.O.del I.E.S. San Juan de dicha ciudad son una muestra de la población. El número de alumnos de la clase es el tamaño de la muestra. ¿Qué es una variable estadística?. Es cada una de las propiedades o características que podemos estudiar de un conjunto de datos. Pueden ser: V. Estadística Cuantitativas discretas continuas Cualitativas

3 Recuento de datos EJEMPLO DE VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
estadística Recuento de datos EJEMPLO DE VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA El peso en kg de 20 alumnos es: 66,5; 59,2; 60,1; 64,2; 70; 50; 41,6; 47,9; 42,8; 55; 52,2; 50,3; 42,2; 61,9, 52,4; 49,2; 41,6; 38,7; 36,5; 45. EJEMPLO DE VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA La talla de calzado en una clase de 20 alumnos es: 43,42,41,39,41,37,40,43,44,40,39,39,38,41,40,39,38,39,39,40 Valores xi Recuento 37 1 38 2 39 6 40 4 41 3 42 43 44 Intervalo Marca de clase Recuento [36,42) 39 4 [42,48) 45 [48,54) 51 5 [54,60) 57 2 [60,66) 63 3 [66,72) 69

4 Tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta
estadística Frecuencias Frecuencia Absoluta (fi) Acumulada ( Fi) Relativa (hi) (Hi) Porcentaje (pi) Porcentaje acumulado (Pi) Tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta Valores xi Recuento (fi) Fi hi = fi/N Hi pi (hi*100) Pi 37 1 1/20=0,05 0,05 5% 38 2 3 2/20=0,10 0,15 10% 15% 39 6 9 6/20=0,30 0,45 30% 45% 40 4 13 4/20=0,20 0,65 20% 65% 41 16 3/20=0,15 0,80 80% 42 17 0,85 85% 43 19 0,95 95% 44 20 100% Suma N=20

5 Tabla de frecuencias de una variable cuantitativa continua
estadística Frecuencias Frecuencia Absoluta (fi) Acumulada (Fi) Relativa ( hi) (Hi) Tabla de frecuencias de una variable cuantitativa continua Intervalo Marca de clase Recuento (fi) Fi hi (fi/N) Hi Pi (hi*100) Pi [36,42) 39 4 4/20=0,2 4/20 20 [42,48) 45 8 8/20 40 [48,54) 51 5 13 5/20=0,25 13/20 25 65 [54,60) 57 2 15 2/20=0,1 15/20 10 75 [60,66) 63 3 18 3/20=0,15 18/20 90 [66,72) 69 1 100 Suma N = 20

6 Gráficos Estadísticos
estadística Gráficos Estadísticos POLÍGONO DE FRECUENCIAS HISTOGRAMA DIAGRAMA DE SECTORES DIAGRAMA DE BARRAS

7 estadística Medidas Medidas De centralización Dispersión Media Aritmética (x) Moda (Mo) Mediana (Me) Rango (R) Varianza (σ2) Desviación Típica Media Aritmética: Es la suma de todos los productos de los valores de la variable ( o de las marcas de clase para datos agrupados en intervalos) por sus frecuencias absolutas, dividido por el número total de datos. Moda: Es el valor de la variable, o la marca de clase para datos en intervalos, que tiene mayor frecuencia absoluta. Mediana: Es el valor tal que una vez ordenados los datos de forma creciente, la mitad son menores o iguales que él y la otra mitad iguales o mayores. Si el número de datos, N, es impar, la mediana será el término central; si es par, será la media de los valores centrales. Para datos en intervalos, es la marca de clase del primer intervalos cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que N/2. Rango: Es la diferencia entre el mayor y el menor de la variable. Se representa por R. Varianza: Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media Desviación Típica: Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Ejercicio: Los puntos que Teresa y Rosa han conseguido en una semana de entrenamiento, jugando al baloncesto, han sido los siguientes:   Teresa: Rosa:  ¿A quién elegirías?

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9 PROBABILIDAD Experimentos aleatorios Experimentos deterministas
estadística PROBABILIDAD Experimentos aleatorios Un experimento es aleatorio cuando no podemos predecir el resultado. Los hay: Simples: son aquellos que no se pueden descomponer en varios experimentos. Compuesto: consisten en varios experimentos simples repetidos sucesivamente (Ej: Lanzar una moneda tres veces seguidas) o realizados al mismo tiempo para que formen uno solo (Ej: lanzar dos dados a la vez) Experimentos deterministas Un experimentos es determinista cuando conocemos de antemano el resultado que se va a producir.

10 Espacio muestral y sucesos
estadística Espacio muestral y sucesos Espacio muestral Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa por E Cada uno de esos resultados es un suceso elemental Un suceso es compuesto cuando está formado por dos o más sucesos elementales El suceso contrario o complementario de un suceso A es el formado por todos los sucesos elementales que no están en A. Un suceso imposible es uno que no se encuentra entre los posibles resultados del espacio muestral. Un suceso seguro es el que engloba todos los resultados del espacio muestral. Experimento Espacio Muestral Sucesos elementales Lanzar un dado E={1,2,3,4,5,6} 1,2,3,4,5,6 Suceso compuesto Obtener un número par A={2,4,6} Obtener un múltiplo de 3 B={3,6} Suceso contrario Obtener un número impar ={1,3,5} Obtener un número no múltiplo de 3 {1,2,5}

11 Probabilidad de un suceso
estadística Probabilidad de un suceso Definición: es un número entre 0 y 1 que nos indica el grado de confianza que hay de que ocurra dicho suceso. Propiedades: La probabilidad de suceso seguro es 1. La probabilidad de un suceso imposible es 0. La probabilidad de un suceso y su contrario suman 1 P(Ā) = 1 – P(A) Ley de Laplace: Para sucesos cuyo espacio muestral esté formado en sucesos equiprobables, (es decir, con la misma probabilidad).

12 Espacio muestral y sucesos
estadística Espacio muestral y sucesos Para calcular espacios muestrales de experimentos compuestos se utilizan procedimientos como: 12

13 Pregunta para discutir
Se pasó una encuesta a todas las familias con seis hijos de cierto pueblecito de Jaén. Los padres debían anotar el orden exacto de los nacimientos de niños (V) y niñas (M). ¿Cuál de las dos siguientes secuencias MMVMVV o VVVVMV te parece más probable que marcará la familia Arrieta-Barrilado? a) La primera b) La segunda c) Ambas tienen la misma probabilidad

14 La ley de los grandes números
estadística La ley de los grandes números Ejemplo: Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso “salir cara al lanzar una moneda”. Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor 0’5. Ésa es la probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda. Frecuencia absoluta de un suceso (fi) es el número de veces que aparece dicho suceso cuando se repite un experimento aleatorio n veces Frecuencia relativa de un suceso (hi) es la frecuencia absoluta dividida entre el número de veces que realizamos el experimento, Lanzamientos 100 150 200 300 400 500 fi 56 68 108 132 208 255 hi 0’56 0’45 0’54 0’44 0’52 0’51 La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número elevado de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso.

15 Pregunta para discutir
Como son muy pocos resultados, y cada hijo/a es un suceso independiente del anterior, las dos secuencias tienen la misma probabilidad. ¿Cuál de las dos siguientes secuencias MMVMVV o VVVVMV te parece más probable que marcará la familia Arrieta-Barrilado? a) La primera b) La segunda c) Ambas tienen la misma probabilidad

16 Problema LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS permite asignar probabilidades a los fenómenos aleatorios, basta con repetir el experimento un número suficientemente elevado de veces y tomar sus frecuencias relativas, que tienden a aproximarse a un número al que denominamos probabilidad de ese suceso. PERO En la práctica, no podemos repetir la experiencia tantas veces para averiguar como se distribuye la probabilidad entre los posibles sucesos que pueden ocurrir. ¿QUÉ SE HACE? Se hace un número limitado de veces y observamos si los resultados se ajustan a un determinado modelo teórico de asignación de probabilidades. El modelo teórico será un buen instrumento para el estudio de este fenómeno si al repetir la experiencia en las mismas condiciones obtenemos aproximadamente los mismos resultados. En ese caso, tendremos una distribución de probabilidad que permitirá hacer previsiones sobre el comportamiento de toda la población a la que se refiera el fenómeno.

17 Variables aleatorias Discretas: si su recorrido es un número finito de valores, que suele ser entero. Ejemplos: suma de los puntos obtenidos al lanzar un dado, número de caras obtenidas al lanzar tres monedas. Continuas: cuando puede tomar, al menos teóricamente, los infinitos valores de un intervalo. Ejemplos: función que asigna a cada recién nacido de una maternidad su peso o talla,

18 Distribución probabilidad discreta
Ejemplo: Consideremos las camadas consistentes en exactamente tres perritos. Si nos fijamos en el número de hembras que se la forman, acabamos de definir una variable aleatoria discreta X que queda resumida en la siguiente tabla: EXPERIMENTALMENTE: Si observamos un gran número de camadas como esta, obtendremos la frecuencia relativa asociada a cada uno de los valores de esta variable. Por ejemplo, aquí tenemos la tabla y el diagrama de barras correspondientes a la observación de 100 camadas de tres perritos. TEÓRICAMENTE: suponiendo que hay la misma probabilidad de que un cachorro nazca hembra o macho, podemos utilizar las leyes de la probabilidad para construir un modelo teórico que da lugar a una gráfica muy parecida.

19 Un ejemplo típico es la distribución binomial
Ejemplo de Un ejemplo típico es la distribución binomial

20 Distribución probabilidad continua
Ejemplo: Se han medido las tallas de 31 alumnos de un determinado curso de un centro escolar y se ha obtenido que se distribuyen según el histograma de frecuencias relativas. Intervalos Marca de clase (xi) Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia Absoluta (Fi) Frecuencia relativa (fri) Frecuencia relativa acumulada (Fri) Porcentaje % (pi) Porcentaje acumulado (Pi) xi·fi (xi-x) (xi-x)^2 fi·(xi-x)^2 [ ) 145 1 0, 3, 3, -26,13 682,7769 [ ) 155 3 4 0, 0, 9, 12, 465 -16,13 260,1769 780,5307 [ ) 165 8 12 0, 0, 25, 38, 1320 -6,13 37,5769 300,6152 [ ) 175 15 27 0, 0, 48, 87, 2625 3,87 14,9769 224,6535 [ ) 185 30 0, 96, 555 13,87 192,3769 577,1307 [ ) 195 31 100 23,87 569,7769 TOTAL 10191,3653 3135,4839 Media 328,753719 Varianza 101,144642 Moda D. Tipica 10, Mediana Nota: En los histogramas de frecuencias relativas el área de cada rectángulo coincide con hi. Base (ai): amplitud del intervalo de clase Altura (hi/ai): proporcional a la frecuencia relativa

21 Si tomásemos cada vez más datos, habría que hacer los intervalos cada vez más estrechos

22 Y más estrechos…

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25 Hasta ver que las barras, muy finitas, forman una campana como la del dibujo

26 Idea intuitiva de distribución de probabilidad continua
Una distribución de probabilidad es una idealización de una distribución de frecuencias relativas En esta idealización el polígono de frecuencias tiende a confundirse con una curva continua que sería la gráfica de una función llamada función de densidad. Polígono de frecuencias Función de densidad Variable estadística Variable aleatoria IDEALIZACIÓN DE LA POBLACIÓN

27 Función de densidad (dominio de definición)

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29 La distribución normal
Gran cantidad de variables aleatorias continuas que se presentan en situaciones variadas tienen una función de densidad de forma acampanada con: Un eje de simetría situado en la media (µ) y Un achatamiento proporcional a la dispersión de los datos, medida por la desviación típica (σ) CAMPANA DE GAUSS

30 ¿Qué tiene Distribución Normal?
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ... Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores. 

31 ¿Son normales todas las distribuciones?
No, ejemplo: distribución o clasificación según nivel de renta.  muchos pobres, pocos ricos

32 Un ejemplo 𝑃( 𝑋 ≤𝑎) 𝑃(𝑎≤ 𝑋 ≤𝑏) 𝑃(𝑎≤ 𝑋 )

33 Variable aleatoria de la Distribución Normal

34 Función de densidad de la Distribución Normal

35 Distribución normal estándar
La N(0,1) está tabulada y todas se pueden convertir a ella mediante un cambio de variable que se conoce como Tipificación

36 Tipificación de la variable
CUIDADO CON PONER LOS DATOS EN LAS MISMAS UNIDADES CUIDADO CON SI DAN VARIANZA O DESVIACIÓN TÍPICA

37 Manejo de tablas directo
P( Z < 0,92) = 0,8212

38 Manejo de tablas inverso
Ejemplo: P( Z < a) = 0,9370 a = 1,53 Significa que el p = 93,7% de las observaciones se distribuyen en (-∞,a) Si p > 0,5  El valor se obtiene directamente de la tabla Si p ≤ 0,5  El valor de a no aparece en la tabla. Entonces resulta que 1 – p = P(Z ≤ a) Ejemplo: P( Z < a) = 0,3560 en una N(0,1) Se busca en la tabla el valor más cercano a 1 - 0,3560 = 0,6440. A este valor le corresponde en la tabla a = 0,37, luego el valor buscado es -0,37 Ejemplo: 𝒑 −𝒌≤𝒁≤𝒌 =𝟎,𝟓 Habitualmente, la probabilidad p=0,5 se designa por 𝑝=1−𝛼 y se denomina nivel de confianza. Así mismo, el valor crítico, se designa por 𝑍 𝛼 2 Si un intervalo (-k, k) encierra un área igual a p, recibe el nombre de intervalo característico correspondiente a la probabilidad p y k es el valor crítico.

39 En distribuciones unimodales y bastante simétricas se verifica que:
MATEMÁTICAS 4 ESO ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL 16. Distribución de los datos respecto a la media En distribuciones unimodales y bastante simétricas se verifica que: En el intervalo se encuentra aproximadamente el 68% de los datos. En el intervalo se encuentra aproximadamente el 95% de los datos. En el intervalo se encuentra aproximadamente el 99% de los datos. 68% 95% 99%

40 Límites sigma

41 Límites dos sigma

42 Límites tres sigma