Funciones crecientes y decrecientes, y prueba de la primera derivada

Presentación del tema: "Funciones crecientes y decrecientes, y prueba de la primera derivada"— Transcripción de la presentación:

1 Funciones crecientes y decrecientes, y prueba de la primera derivada

2 Definición: Definición de función creciente en un intervalos
Se dice que una función 𝒇 definida en un intervalo es creciente en ese intervalo si y solo si 𝒇 𝒙 𝟏 <𝒇 𝒙 𝟐 siempre que 𝒙 𝟏 < 𝒙 𝟐 donde 𝒙 𝟏 𝒚 𝒙 𝟐 son dos números cualesquiera en el intervalo.

3 Definición: Definición de función decreciente en un intervalos
Se dice que una función 𝒇 definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo si y solo si 𝒇 𝒙 𝟏 >𝒇 𝒙 𝟐 siempre que 𝒙 𝟏 < 𝒙 𝟐 donde 𝒙 𝟏 𝒚 𝒙 𝟐 son dos números cualesquiera en el intervalo.

4 Veamos la siguiente figura.

5 Veamos la siguiente figura.

6 Veamos la siguiente figura.

7 Veamos la siguiente figura.

8 Teorema Sea 𝒇 una función continua en el intervalo cerrado 𝒂, 𝒃 y diferenciable en el intervalo abierto 𝒂, 𝒃 : (i) Si 𝒇´ 𝒙 >𝟎 para toda 𝒙 en 𝒂, 𝒃 entonces 𝒇 es creciente en 𝒂,𝒃 ; (ii) Si 𝒇´ 𝒙 <𝟎 para toda 𝒙 en 𝒂, 𝒃 entonces 𝒇 es decreciente en 𝒂,𝒃 .

9 Veamos la siguiente figura

10 Teorema: Prueba de la primera derivada para extremos relativos
Sea 𝒇 una función continua en todos los puntos del intervalo abierto 𝒂,𝒃 que contiene al número 𝒄, y supóngase que 𝒇´existe en todos los puntos de 𝒂,𝒃 excepto, posiblemente, en 𝒄: (i) Si 𝒇´ 𝒙 >𝟎 para todos los valores de 𝒙 en algún intervalo abierto que tenga a 𝒄 como su punto extremo derecho, y si 𝒇´ 𝒙 <𝟎 para todos los valores de 𝒙 en algún intervalo abierto que tenga a 𝒄 como su punto extremo izquierdo, entonces 𝒇 tiene un valor máximo.

11 Teorema: Prueba de la primera derivada para extremos relativos
Sea 𝒇 una función continua en todos los puntos del intervalo abierto 𝒂,𝒃 que contiene al número 𝒄, y supóngase que 𝒇´existe en todos los puntos de 𝒂,𝒃 excepto, posiblemente, en 𝒄: (ii) Si 𝒇´ 𝒙 <𝟎 para todos los valores de 𝒙 en algún intervalo abierto que tenga a 𝒄 como su punto extremo derecho, y si 𝒇´ 𝒙 >𝟎 para todos los valores de 𝒙 en algún intervalo abierto que tenga a 𝒄 como su punto extremo izquierdo, entonces 𝒇 tiene un valor máximo.

12 Veamos la siguiente figura