ECUACIONES CUADRÁTICAS

Presentación del tema: "ECUACIONES CUADRÁTICAS"— Transcripción de la presentación:

1 ECUACIONES CUADRÁTICAS
Por más Matemática Silvia Susana Vedani ECUACIONES CUADRÁTICAS Planteo, identificación y resolución

2 PROBLEMA 1:Cuáles son los números cuyo cuadrado aumentado en 16 se obtiene el cuadrado de 5?
El o los números buscados lo llamamos x 𝑥 = 𝑥 𝟐 = 25− 16 𝒙 = 𝟗 𝑥 =3 los números cuya distancia respecto ↓ ↓ de 0 es de 3 son 𝑥=−3 ó 𝑥= 3 S={−3, 3} Rta.:los números son -3 y 3

3 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA PURA 𝑎 𝑥 2 +𝑐=0
18 𝑥 2 −50=0 18 𝑥 2 =50 𝑥 2 =50 :18 𝑥 𝟐 = 𝑥 = ↓ 𝑥 1 =− ó 𝑥 1 = 5 3 −0.2 𝑥 2 +9,8=0 −0,2 𝑥 2 =−9,8 𝑥 2 =−9,8 : −0,2 𝑥 𝟐 =49 𝑥 = 49 ↓ 𝑥 1 =−7 ó 𝑥 1 =7 − 𝑥 2 −36=0 − 𝑥 2 =36 𝑥 2 =−36 𝑥 = −36 ↓ 𝑁𝑂 𝐸𝑋𝐼𝑆𝑇𝐸 𝑁𝐼𝑁𝐺Ú𝑁 𝑁Ú𝑀𝐸𝑅𝑂 𝑄𝑈𝐸 𝐴𝐿 𝐶𝑈𝐴𝐷𝑅𝐴𝐷𝑂 RESULTE NEGATICO SIN SOLUCIÓN

4 Ecuación incompleta Pura
Ecuación de segundo grado Se trata Igualdad que se pude reducir a P(x)=0 con P(x) de grado 2 Si 𝑎 𝑥 2 +𝑐 = 0 Ecuación incompleta Pura (no tiene término de grado 1) Si 𝑠𝑖𝑔 𝑎 ≠𝑠𝑖𝑔(𝑐) 𝑆𝑜𝑙={𝑥∈𝑅 𝑥 = − 𝑐 𝑎 } Las raíces son dos números opuestos 𝑠𝑖𝑔 𝑎 =𝑠𝑖𝑔 𝑐 𝑆𝑜𝑙={ } (conjunto vacía) NO TIENE RAÍCES REALES

5 ECUACIONES CUADRÁTICAS
Por más Matemática Silvia Susana Vedani ECUACIONES CUADRÁTICAS Planteo, identificación y resolución

6 PROBLEMA 2: ¿Cuáles son los números reales cuyo doble es igual a su cuadrado ?
Se tata de obtener los valores: x que verifican que que se puede escribir como un polinomio de grado 2 al que se le pueda sacar factor común Al tener el un producto igual a “CERO” aplicamos “Si un producto es igual CERO alguno de sus factores es Cero” 2𝑥= 𝑥 2 2𝑥− 𝑥 2 =0 2𝐱−𝑥𝒙 =0 𝒙. 2−x =0 ↓ ↓ 𝑥= ó −𝑥=0 2=𝑥 Sol= 0, 2 Rta.: los números son 0 y 2

7 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA MIXTA 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥=0
2𝑥 3−4𝑥 =𝑥−3𝑥 𝑥+1 𝟐𝒙 3−4𝑥 = 𝑥 −𝟑𝒙 𝑥+1 6 𝑥−8 𝑥 2 =𝑥−3 𝑥 2 −3𝑥 −8 𝑥 2 +3 𝑥 2 +6𝑥+3𝑥=0 −5 𝑥 2 +9𝑥=0 x. −5𝑥+9 =0 𝑥=0 ó −5𝑥+9=0 −5𝑥=−9 𝑥=−9: −5 𝑥= 9 5 Sol= 0, 9 5 Separar en términos Aplicar la propiedad DISTRIBUTIBA ( multiplica signo número y letra) Recordar que: 𝑥.𝑥= 𝑥 2 Reunir términos semejantes Si queda de la forma “𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥=0” sacar factor común Se aplica la ley del producto nulo: Si P(x).Q(x)=0 → P(x)=0 ó Q(x)=0 Se resuelve individualmente cada una de las ecuaciones Escribir el conjunto solución

8 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA MIXTA 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙=𝟎
⊚ ⊛ 5+2𝑥 3−𝑥 =6− 𝟐𝒙−𝟏 2 5+6𝑥 −2 𝑥 2 =6 − 𝟐𝒙 𝟐𝒙 −𝟏 + −𝟏 2 5+6𝑥−2 𝑥 2 =6− + 4 𝑥 2 −4𝑥+1 5 +6𝑥 −2 𝑥 2 =6− 4 𝑥 2 +4𝑥−1 −2 𝑥 2 +4 𝑥 2 +6𝑥 −4𝑥= 6 − 1 − 5 2 𝑥 2 +2𝑥=0 2𝑥 𝑥+1 =0 ↓ ↓ 2𝑥= ó 𝑥+1=0 𝑥= ó 𝑥=−1 Sol= 0 , −1 Separar en términos ⊚ Distributiva ( multiplicar signo número y letra) ⊛Cuadrado de Binomio 𝑨+𝐵 2 = 𝐴 𝐴 𝐵 + 𝐵 2 Se suprime los paréntesis Se reúnen los términos semejantes Se obtiene una ecuación del 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥=0 Se transforma en producto igualado a 0 Se aplica la ley del producto nulo Si P(x).Q(x)=0 → P(x)=0 ó Q(x)=0 Se resuelve individualmente cada una de las ecuaciones el conjunto solución de esta tipo de ecuaciones siempre va tener dos soluciones y una va ser cero

9 La Ecuación es incompleta Mixta
Ecuación de segundo grado Si se trata 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥 = 0 Entonces La Ecuación es incompleta Mixta (no tiene término independiente) Siempre es posible saca facto común x Ya que Siempre tiene solución Y una de sus soluciones es 0 𝑆𝑜𝑙= 0, −𝑏 𝑎 𝑥. 𝑎𝑥+𝑏 = 0 ↓ ↓ 𝑥= 𝑎𝑥+𝑏=0

10 ECUACIONES CUADRÁTICAS
Por más Matemática Silvia Susana Vedani ECUACIONES CUADRÁTICAS Planteo, identificación y resolución

11 PROBLEMA 3: ¿Cuáles son los números Naturales cuya diferencia entre el cuadrado de su siguiente y el cuadrado de 3 da 16 ? Recuerda: Si e la ecuación la incógnita aparece solo en el cuadrado de un binomio NO debes desarrollarlo 𝑥 − = 16 𝑥+1 2 − 𝟗=16 𝑥+1 2 =16+ 𝟗 𝑥+1 𝟐 =25 𝑥+1 = 25 𝑥+1=−5 ó 𝑥+1=5 𝑥=−6 ó 𝑥=4 Despejar en forma ordenada las operaciones que afectan a la incógnita y nos llevan al resultado plantado Importante: en el momento de establecer cual fue el número que se elevó al cuadrado recordar que los números opuestos tienen el mismo cuadrado [ −5 2 =25 𝑦 5 2 =25] Respuesta: el número Natural es 4

12 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA DE LA FORMA 𝒂 𝒙+𝒉 𝟐 +𝒌=𝟎
− 𝑥 =0 − 𝑥+1 2 =−9. 𝑥+1 2 = −9 : −1 𝑥+1 2 =9 𝑥+1 = 9 𝑥+1=−3 ó 𝑥+1=3 𝑥=−3 −1 ó 𝑥=3 −1 𝑥=−4 ó 𝑥=2 Sol= { -4 , 2 } 3 𝑥− =0 3 𝑥−5 2 =−12. 𝑥−5 2 = −12 :3 𝑥−5 2 =−4 𝑥−5 = −4 NO EXISTE SOLUCIÓN No hay ningún número Real que al cuadrado nos dé negativo

13 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 una vez pasada
EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA DE LA FORMA POLIÓMICA PASADAS A CÁNÓNICA 𝑎 𝑥+ℎ 2 +𝑘=0 PASADA A 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 PASADA A 𝑎 𝑥+ℎ 2 +𝑘=0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 una vez pasada 𝑎 𝑥+ℎ 2 +𝑘=0 se resuelve 2 𝑥 2 −12𝑥+10=0 2 𝑥 2 − 𝟔𝑥 +10=0 2 𝑥 2 +𝟐, −𝟑 𝑥 + −𝟑 𝟐 − −𝟑 𝟐 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 =0 2 𝑥 2 − 𝟔𝑥 +𝟗 ↓ −𝟗 +10=0 2 𝑥 − −𝟗 +10=0 2 𝑥−2 2 −18+10=0 2 𝑥−3 2 −8=0 2 𝑥−3 2 −8=0 2 𝑥−3 2 =8 𝑥−3 2 =8 : 2 𝑥−3 2 =4 𝑥−3 = 4 𝑥−3=−2 ó 𝑥−3=2 𝑥=1 ó 𝑥=5 2 𝑥−3 2 −8=0 2 𝑥 2 +2.𝑥. −3 + −3 2 −8=0 2 𝑥 2 −12𝑥+18 −8=0 2 𝑥 2 −12𝑥+10=0

14 PROBLEMA 4: La suma del cuadrado de dos números pares consecutivos es 52 ¿Cuáles son dichos números?
Si 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 su siguiente par es 2 unidades más grande: 𝑥+2 𝑥 2 + 𝑥+2 2 =52 𝑥 2 + 𝑥 2 +4𝑥+4−52=0 2𝑥 2 +4𝑥−48=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2.2 𝑥 1,2 = −4± −4.2. −48 4 𝑥 1,2 = −4± = −4± 𝑥 1 = − 𝑦 𝑥 2 = −4−20 4 𝑥 1 = 𝑦 𝑠𝑢 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑥 2 =−6 𝑦 𝑠𝑢 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 −4 Desarrollo el cuadrado de binomio 𝑎 = 2 𝑏 = 4 𝑐=−48 Suma de términos semejantes En este caso llegamos a determinar una ecuación cuadrática completa de la forma: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 Ecuación a la que el matemático Baskara pasando en forma genérica a canónica y despejando llego la siguiente fórmula resolvente 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

15 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎
𝑎=1 𝑏=2 𝑐=−1 𝑎=3 𝑏=−5 𝑐=2 𝑥 2 +2𝑥−1=0 𝑥 1,2 = −2 ± −4,1. − 𝑥 1,2 = ± 𝑥 1,2 = ± 8 2 𝑥 1 = 𝑥 2 = 2− 𝑥 1 = 𝑥 1 =1 − 2 Sol = ,1 − 2 3 𝑥 2 −5𝑥+2=0 𝑥 1,2 = − −5 ± −5 2 − 𝑥 1,2 = ± 25 −24 6 𝑥 1,2 = ± 1 6 𝑥 1 = 𝑥 2 = 5−1 6 𝑥 1 = 𝑥 1 = 2 3 Sol= 1 , 2 3 ECUACIONES CUADRÁRICAS COMPLETAS CON DOS SOLUCIONES REALES DISTENTAS

16 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎
𝑎=−9 𝑏=12 𝑐=−4 𝑎=1 𝑏=−10 𝑐=25 −9 𝑥 2 +12𝑥−4=0 𝑥 1,2 = −12± −4. −9 − −9 𝑥 1,2 = −12± 144 −144 −18 𝑥 1,2 = −12± 0 −18 𝑥 1 = 𝑥 −12 −18 𝑥 1 = 𝑥 2 = 2 3 sol = 2 3 𝑥 2 −10𝑥+25=0 𝑥 1,2 = − −10 ± −10 2 − 𝑥 1,2 = ± 100−100 2 𝑥 1,2 = ± 0 2 𝑥 1 = 𝑥 2 = 𝑥 1 = 𝑥 2 =5 Sol= 5 ECUACIONES CUADRÁRICAS COMPLETAS CON DOS SOLUCIONES REALES IGUALES ( RAÍCES DOBES)

17 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎
𝑎=0,5 𝑏=1 𝑐=25 0,5 𝑥 2 +𝑥+25=0 𝑥 1,2 = −1± −4.0, ,5 𝑥 1,2 = −1± 1 −50 −18 𝑥 1,2 = −1± −49 −18 y como no existe ningún número que al cuadrado de -49 Sol = ( conjunto vacio) ECUACIONES CUADRÁRICAS COMPLETAS SIN SOLUCIÓN REALES (VER NÚMEROS COMPLEJOS)

18 La Ecuación es completa
Ecuación de segundo grado Si se trata 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 = 0 Entonces La Ecuación es completa resolución Se puede pasar a forma canónica Teniendo en cuenta las coeficientes puede resolverse por fórmula 𝑥 1, −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎 𝑥+ℎ 2 +𝑘=0 →𝑥=−ℎ± − 𝑘 𝑎

19 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETAS O INCOMPLETA RESUELTA CON LA FÓRMULA RESOLVETE
2𝑥−3 2𝑥+3 −135=0 2𝑥 2 − −135 = 0 4 𝑥 2 − −135=0 4 𝑥 2 − 144 = 0 4 𝑥 2 +0𝑥− 144 = 0 𝑥 1,2 = ± −4.4.(−144) 2.4 𝑥 1, 2 = ± 𝑥 1, 2 = ±48 8 =±6 𝑠𝑜𝑙= −6 , 6 Separo en términos Una resta por una suma de los mismos términos de una diferencia de cuadrados 𝐴 −𝐵 𝐴+𝐵 = 𝐴 2 − 𝐵 2 Se suman los términos semejantes La ecuación que resulta es incompleta pura ya que el coeficiente b=0 Se aplica la fórmula resolvente 𝑥 12 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎=4 𝑏=0 𝑐=−144

20 EJEMPLOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETAS O INCOMPLETA RESUELTA CON LA FÓRMULA RESOLVETE
𝑥−2 2 − 𝟐𝒙−𝟑 2 +5=0 𝑥 −2 𝑥−2 − 𝟐𝒙 𝟐𝒙 −𝟑 + −𝟑 =0 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙 −𝟐𝒙+𝟒 − 4 𝑥 2 −12𝑥 =0 𝑥 2 −4𝑥 +4 −4 𝑥 2 +12𝑥 −9+5=0 −3 𝑥 2 +8𝑥 +0=0 𝑥 1,2 = −8± −4. − −3 𝑥 1,2 = −8± 64−0 6 𝑥 1,2 = −8± Sol= 0 , 8 3 Separa en término 1°término el cuadrado de binomio se resuelve por definición En el 2° término el cuadrado de binomio e resuelve por regla el 2° término esta antecedido por una resta por esos el desarrollo del cuadrado se puso entre corchetes y luego al suprimirlos se cambian todos los signos Después de reunir las términos semejantes resulto una ecuación cuadrática incompleta mixta porque el término independiente c=0 Se resuelve reemplazando en la fórmula que nos deja Baskara

21 Ecuación de segundo grado
Ecuación incompleta Pura Tiene solución si el 𝑠𝑖𝑔 𝑎 ≠𝑠𝑖𝑔(𝑐) 𝑆𝑜𝑙={𝑥∈𝑅 𝑥 = − 𝑐 𝑎 Mixta Siempre tiene solución Y una de sus soluciones es 0 𝑆𝑜𝑙= 0, −𝑏 𝑎 Ecuación completa 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Tiene dos soluciones si: 𝑏 2 −4𝑎𝑐>0 Tiene solución doble si: 𝑏 2 −4𝑎𝑐=0 No tiene solución cuando: 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0 Se trata de una igualdad que se pude reducir a un polinomio de grado 2 de una única variable (incógnita de la ecuación) igualado a 0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 = 0 𝑎 𝑥 2 +𝑐 = 0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥= 0