MATEMÁTICA APLICADA PROFESOR Harold Stella Zambrano.

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1 MATEMÁTICA APLICADA PROFESOR Harold Stella Zambrano

2 SESIÓN 1 Números Reales

3 NUMEROS REALES N Z Q R Naturales Enteros Racionales Reales I Irracionales

4 NUMEROS REALES El Conjunto de Números Naturales ( N ):  Entendemos por número la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud.  Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras.  Los números naturales van de uno en uno desde el cero (0), no admiten la partición de unidades y sólo expresan valores positivos. N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, … } Además diremos que el “Conjunto de Números Naturales” es infinito.

5 NUMEROS REALES El Conjunto de Números Naturales ( N ):  Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales.  Ejemplo: 5 es mayor que 3 3 es menor que 5  Si a un número natural le sumamos un segundo número natural, obtendremos otro número natural.

6 NUMEROS REALES El Conjunto de Números Enteros ( Z ):  En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes (o por debajo) del valor que consideramos punto de partida o valor cero (0).  Por ello ha sido necesario ampliar el conjunto de números naturales incluyendo valores negativos. Para esto añadimos delante del número el signo “menos” (-).  De esta manera han surgido los números enteros, que van de uno en uno, pero que permiten expresar valores positivos y valores negativos. Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } Además diremos que el “Conjunto de Números Enteros” es infinito.

7 NUMEROS REALES El Conjunto de Números Enteros ( Z ):  En la expresión escrita de un número entero consideramos 2 partes: Signo Valor  El conjunto de los números enteros es ilimitado tanto por el lado de los valores negativos como por el lado de los valores positivos.  Si a un número entero le sumamos un segundo número entero, obtendremos otro número entero.

8 NUMEROS REALES El Conjunto de Números Racionales ( Q ):  Son todos aquellos números que se pueden expresar o escribir en forma de fracción. Incluye a los “Números Naturales” y a los “Números Enteros”.  Ejemplos de Números Racionales: 6 ½ 0.3333 -2 Q = { …, -2, -1.3, -1, 0, ½, 1, 2, … } Además diremos que el “Conjunto de Números Racionales” es infinito.

9 NUMEROS REALES El Conjunto de Números Irracionales ( I ):  Son todos aquellos números que poseen infinitas cifras decimales y que no se pueden expresar o escribir en forma de fracción.  Ejemplos de Números Irracionales: 7.13510983546… -0.294519… π = 3.14159265358979323846… Además diremos que sus elementos son decimales que no son finitos ni periódicos.

10 Operaciones con Números Reales

11 NUMEROS REALES La Suma ( + )  La suma (también adición), es una operación matemática de composición, que consiste en combinar dos o más números para obtener una cantidad final.  La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno, es la forma más básica de contar.  Es una operación aritmética definida sobre los conjuntos de números: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales. Ejemplo: 2 + 3 = 5

12 NUMEROS REALES La Resta ( - )  La resta o sustracción es una operación matemática de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella y al resultado se conoce como diferencia.  Es la operación inversa a la suma. Si ( a + b = c ), entonces ( c – b = a ).  En la resta, el primer término se llama “Minuendo”, mientras que el segundo “Sustraendo”, y el resultado “Diferencia”. Ejemplo: ( 3 + 4 = 7 ) entonces ( 7 - 4 = 3 )

13 NUMEROS REALES La Multiplicación ( x )  La multiplicación es una operación matemática de composición que consiste en sumar reiteradamente la primera cantidad tantas veces como indica la segunda.  El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto.  Los números que se multiplican se llaman factores e individualmente se les llama: “Multiplicando” (número a sumar), y “Multiplicador” (veces que se suma el Multiplicando). Ejemplo: 4 x 3 = 4 + 4 + 4 = 12

14 NUMEROS REALES La División ( / )  La división es una operación matemática de descomposición que consiste en averiguar cuantas veces un número (Divisor), está contenido en otro (Dividendo).  Es la operación inversa a la multiplicación.  Al resultado entero de la división se le denomina “Cociente”, y si la división no es exacta, la operación tendrá un resto o residuo. Ejemplos: ( 8 / 4 = 2 ) ; ( 9 / 4 = 2, con residuo 1 )

15 Ejercicios de Aplicación (Separata)

16  Un comerciante adquirió 5,000Kg de papa blanca. Primero le mandaron 1,550Kg, más tarde 890Kg menos que la primera vez, y después 778Kg más que la primera vez. ¿Cuánto falta aún por enviarle?.  Para la presentación de un plato de entrada se utilizan 2 rabanitos de decoración. En promedio un atado rinde 18 rabanitos. ¿Cuántos atados se necesitan para adornar 180 platos?.  Para amoblar la cocina de un restaurante se realizaron las siguientes compras: una cocina por S/.1,050.00, tres licuadoras a S/.178.00 cada una, una batidora de pedestal por US$95.00 al tipo de cambio de S/.2.85, dos hornos microondas a S/.410.00 cada uno. ¿Cuál será el importe total a pagar por la compra?. Operaciones con Números Reales

17 SESIÓN 2 Full Ejercicios ( Operaciones con Números Reales )

18 SESIÓN 3 Práctica Calificada #1

19 SESIÓN 4 Razones y Proporciones

20 Definición  Razón es la comparación entre 2 cantidades. Puede ser: Aritmética y Geométrica.  Razón Aritmética: Indica cuantas veces un número es mayor que otro: a - b = razón (donde “a” = antecedente, y “b” = consecuente). Ejemplos: 8 - 5 = 3 = razón 10 - 12 = 6 = razón  Razón Geométrica: Indica cuantas veces un número contiene a otro: a / b = razón (donde “a” = antecedente, y “b” = consecuente). Ejemplos: 12 / 3 = 4 = razón 10 / 2 = 5 = razón RAZONES

21 Definición  Proporción es la comparación entre 2 razones. Puede ser: Aritmética y Geométrica.  Proporción Aritmética: Es la comparación de dos razones aritméticas: A - B = C - D (donde “A y D” son extremos, y “B y C” son medios).  Principio Fundamental: La suma de extremos es igual a la suma de medios: Ejemplos: 13 - 8 = 11 - 6 20 - 12 = 35 - 27 40 - 22 = 20 - 2  Proporción Geométrica: Es la comparación de dos razones geométricas: A / B = C / D (donde “A y D” son extremos, y “B y C” son medios).  Principio Fundamental: El producto de extremos es igual al producto de medios: Ejemplos: 15 / 3 = 20 / 4 24 / 6 = 64 / 16 40 / 4 = 100 / 10 PROPORCIONES

22 Ejercicios de Aplicación (Separata)

23  ¿Dentro de cuántos años la relación de las edades de dos personas será igual a 7/6, si sus edades actuales son 40 y 30 años?.  Lo que cobra y gasta un individuo diariamente suman S/.6,000.00, y lo que gasta y cobra está en la relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5?.  Tres números son entre sí, a razón de 2, 5 y 6. Hallar el mayor de los números sabiendo que la suma de ellos vale 5200. Razones y Proporciones

24 SESIÓN 5 Regla de Tres

25 Definición  Es una operación que consiste en encontrar el término desconocido en una proporción.  También se puede decir que es una herramienta que consiste en hallar un cuarto valor a partir de otros tres valores conocidos.  La Regla de Tres puede ser: Simple Compuesta Regla de Tres

26 Simple  Si relaciona dos (2) magnitudes, esta a su vez puede ser Directa o Inversa.  Directa: Si las dos (2) magnitudes crecen (es decir, van de “más a más”), o decrecen (es decir, van de “menos a menos”).  Inversa: Si una de las magnitudes crece y la otra decrece, o viceversa. Regla de Tres

27 Ejercicios de Aplicación (Separata)

28  Una máquina embotelladora llena 360 botellas de jugo de naranja en 30 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en 2 horas y media?.  Para preparar 30 porciones de un postre se necesitan 8 kilos de harina. ¿Cuántos kilos serán necesarios para preparar 45 porciones del mismo postre?.  Dieciocho cocineros pueden preparar un menú en 16 horas. ¿Cuántos cocineros serán necesarios para prepararlo en 6 horas?.  Una tripulación de 5 hombres tiene alimentos para 12 días. Si se reduce a la tercera parte el número de días de viaje. ¿Cuántos hombres más podrán viajar?. Regla de Tres

29 REPASO Examen Parcial

30 SESIÓN 6 Examen Parcial

31 SESIÓN 7 Resolución del Examen Parcial Tanto por Ciento y Porcentaje

32 Definición  El tanto por ciento de un número es una o varias de las cien partes iguales en las que se puede dividir un número.  Se puede expresar de forma: Simbólica: 23% Fraccionaria: 23/100 Decimal: 0.23 Tanto por Ciento

33 Definición  Es la aplicación del tanto por ciento a una cantidad.  Ejemplo: Hallar el 17% de 500 Solución: ( 17/100 ) x 500 = 85 Porcentaje

34 Ejercicios de Aplicación (Separata)

35  Calcular el 10% de 98.  Calcular el 25% de 70.  ¿De qué número es 46, el 23%?.  ¿De qué número es 420, el 30%?.  ¿Qué porcentaje de 860 es 129?.  ¿Qué porcentaje de 1.75 es 3.5?. TANTO PORCIENTO y PORCENTAJE %

36 SESIÓN 8 Ejercicios de Porcentajes y Regla de Tres

37 SESIÓN 9 Práctica Calificada #2

38 SESIÓN 10 Mermas y Rendimiento

39 Mermas y Rendimiento Definición  Es la cantidad de materia prima no utilizable para la presentación de un plato.  Se pueden utilizar para la elaboración de fondos propios o fondos básicos.  Se estudia en porcentajes (%), con el fin de calcular el Precio de Coste de un plato, y así determinar su Precio de Venta.

40 EJEMPLO El Kg de pera cuesta S/. 5.00, la merma es del 20%. Determinar el costo de 500g de pulpa de pera. PESO ÚTIL RENDIMIENTO = ----------------- x 100% PESO TOTAL RENDIMIENTO = 100% - MERMA & MERMA = 100% - RENDIMIENTO PERA 1Kg = 1000g Merma 20% = 200g Pulpa 80% = 800g -------------------- EXPLICACIÓN Por cada Kg, se utilizan sólo 800g y el costo de los S/. 5.00, lo asumen los 800g. Mermas y Rendimiento

41 CARNE ( Mercado ) 100% -------------------- MERMA x LIMPIEZA = A% CARNE LIMPIA = 100 - A% CARNE ( Cocción ) 100% -------------------- MERMA x COCCIÓN = B% CARNE COCIDA = 100 - B% Mermas y Rendimiento

42 Ejercicios de Aplicación (Separata)

43  Para preparar 10 porciones de asado, necesito 3Kg de carne cocida. Si se sabe que la merma por limpieza para este tipo de carne es del 15% y por cocción es del 20%. Determinar cuántos Kg compraré en el mercado para preparar 25 porciones.  Se compran 10Kg de carne para asado. Si se considera una merma por limpieza del 20%, determinar el costo del Kg de carne limpia y la cantidad de porciones a preparar, si se sabe que el Kg de carne en el mercado cuesta 8 soles y la porción es de 100g.  Una cocinera compra un trozo de carne que vale S/. 2.56 el Kg y abona S/. 3.84. Antes de cocinarle saca el hueso que representa un 15% del peso total. Sabiendo que durante la cocción la carne pierde el 20% de su peso, se pregunta cuál es el peso del trozo de carne una vez cocinado. Mermas y Rendimiento

44 SESIÓN 11 Equivalencias

45 Definición  Cuando hablamos de equivalencias, nos referimos a la conversión o traducción de unidades a otras diferentes. Muchas veces es necesario primero trabajar con unidades mayores (múltiplos) o menores (sub-múltiplos), antes de realizar la conversión.  La conversión de unidades es necesaria porque no siempre los valores están expresados en unidades homogéneas, por ello, para que los cálculos sean correctos, se debe homogenizar las unidades. Equivalencias

46 RELACIÓNMÚLTIPLOSUNIDADSUB-MÚLTIPLOS PREFIJOKILOHECTODECAUNIDADDECICENTIMILI SÍMBOLOkhdaudcm PROPORCIÓN10 3 10 2 10 1 10 0 = 110 -1 10 -2 10 -3 EJEMPLOS (*) 1 m = 10 -1 d(*) 1 km = 10 5 cm (*) 1 km = 10 3 m(*) 1 h = 10 5 mm Equivalencias

47 TABLA 1 pulgada2.54cm 1 onza30g 1 pie12 pulgadas 1 yarda3 pies 1 libra0.45kg 1 hora3600s 1 m31000L Equivalencias

48 Ejercicios de Aplicación (Separata)

49 REPASO GENERAL Examen Final

50 SESIÓN 12 Examen Final