PROPORCIONES NOTABLES

Presentación del tema: "PROPORCIONES NOTABLES"— Transcripción de la presentación:

1 PROPORCIONES NOTABLES
LOS NÚMEROS DE LAS FORMAS

2 Proporción: la caracterización de la forma
I: El concepto de PROPORCIÓN

3 Proporción En Geometría el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto de proporción es el segmento. Para ello basta dividirlo en dos partes, la proporción que aparece es el cociente de las longitudes de ambas partes: 2/1 Si construimos un rectángulo en el que cada lado mida como cada una de las partes en que se divide el segmento, tendremos entonces un rectángulo con dicha proporción. 1: El concepto de PROPORCIÓN

4 Módulo de un rectángulo
Dado un rectángulo de lados a y b, llamamos proporción (módulo) del rectángulo al cociente entre el lado mayor y el lado menor. En el caso de ser 1, estamos ante el cuadrado II: El concepto de MÓDULO DE UN RECTÁNGULO

5 Módulo de un rectángulo
Además Es decir, la proporción se mantiene cuando los rectángulos son semejantes. II: El concepto de MÓDULO DE UN RECTÁNGULO

6 Compás proporcional b q a p III: El Teorema de THALES

7 Tipos de proporciones Hay dos tipos de proporción geométrica:
  Proporción estática: La que establece entre dos elementos una razón simple, expresable como dos múltiplos de una unidad: 3/2, 5/3, 5/4 … IV: CLASIFICACIÓN de las proporciones

8 Tipos de proporciones Proporción dinámica: La que relaciona dos valores por una razón inconmensurable. Algunos ejemplos son los siguientes: Proporción Proporción cordobesa Proporción áurea IV: CLASIFICACIÓN de las proporciones

9 Proporción √n Son fáciles de construir con regla y compás utilizando como base matemática el teorema de Pitágoras V: Proporción √n

10 Proporción √n La espiral de Teodoro de Cirene V: Proporción √n

11 Proporción raíz de 2 El caso más sencillo es el de raíz de 2, que representa la relación entre la diagonal de un cuadrado y el lado del mismo. 1 1 V: Proporción √2

12 Proporción raíz de 2 ¿Cómo construir un rectángulo de estas proporciones? x y 1 La proporción es V: Proporción √2

13 Proporción raíz de 2 ¿Cómo dividir un segmento en estas proporciones?
V: Proporción √2

14 Proporción raíz de 2 V: Proporción √2

15 Proporción raíz de 2 COMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPEL b
1 V: Proporción √2

16 Proporción raíz de 2 Es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la duplicación manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada. Esto sucede en cualquier rectángulo estático.

17 Proporción raíz de 2 Sin embargo las dos mitades de un raiz de 2 tienen esta misma proporción. a/2 1 a V: Proporción √2

18 Proporción raíz de 2 La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un rectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en proporción 1 a raíz de 2, que es el formato A0. Dividiendo sucesivamente por la mitad ese rectángulo se van obteniendo los formatos A1, A2, A3, A4… Imagen: Wikipedia V: Proporción √2

19 Proporción raíz de 2 Para hallar las dimensiones hay que resolver:
V: Proporción √2

20 Proporción raíz de 3 Partiendo de un triángulo equilátero 1 h
V: Proporción √3

21 Proporción raíz de 3 ¿Cómo dividir un segmento en estas proporciones?
V: Proporción √3

22 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis: Tomando como centro cada uno de los extremos de un segmento, se traza la circunferencia que pasa por el otro extremo. V: Proporción √3

23 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis V: Proporción √3

24 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis. El rectángulo en el que se encuadra tiene proporción 3/2. Se le llama también rectángulo egipcio V: Proporción √3

25 Proporción raíz de 3 Vésica Piscis V: Proporción √3

26 Proporción cordobesa Es la relación que existe entre el radio de la circunferencia circunscrita a un octógono regular y el lado de éste. Su valor es c = 1, … Concretamente, su valor exacto es V: Proporción cordobesa

27 Proporción cordobesa Se llamó así al ser encontrado por primera vez en la geometría de la Mezquita de Córdoba . Mirab de la mezquita de Córdoba V: Proporción cordobesa

28 Proporción cordobesa VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA: Teorema de Thales OPC es isósceles QCD y CPD son semejantes x 1 V: Proporción cordobesa

29 Proporción cordobesa VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA: Teorema de Pitágoras 1 x V: Proporción cordobesa

30 Proporción cordobesa 2x4 - 4x2 + 1 = 0
Y también es una de las soluciones de la ecuación 2x4 - 4x2 + 1 = 0 V: Proporción cordobesa

31 Proporción cordobesa ¿Cómo dividir un segmento en proporción cordobesa? V: Proporción cordobesa

32 Proporción cordobesa CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO CORDOBÉS
V: Proporción cordobesa

33 Proporción cordobesa VALOR TRIGONOMÉTRICO DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA
El ángulo PCD mide 22º 30’ x 1 V: Proporción cordobesa

34 Proporción cordobesa Arco de la Victoria, Madrid
Arco de la Defensa, París V: Proporción cordobesa

35 Proporción de plata También en el octógono regular de lado 1
V: Proporción de plata

36 Proporción de plata V: Proporción de plata

37 Proporción áurea El todo es a la parte, como la parte al resto A B C
Si el segmento AC=x y el BC=1, entonces AB=x+1 VII: Proporción áurea

38 Proporción áurea Resolviendo la ecuación se obtiene el valor positivo:
Cuyo valor aproximado es 1,61803… VII: Proporción áurea

39 Proporción áurea ¿CÓMO SECCIONAR UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA RAZÓN?
1 1 2 VII: Proporción áurea

40 Proporción áurea ¿CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Luego, lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. VII: Proporción áurea

41 Proporción áurea En efecto, podemos comprobar que: 1
VII: Proporción áurea

42 Otra forma de construirlo Papiroflexia
Proporción áurea Otra forma de construirlo Papiroflexia VII: Proporción áurea

43 Otra forma de construirlo Papiroflexia
Proporción áurea Otra forma de construirlo Papiroflexia VII: Proporción áurea

44 Proporción áurea El rectángulo áureo tiene la propiedad de que al quitar el mayor cuadrado posible, el rectángulo que queda es semejante al inicial. 1 1 VII: Proporción áurea

45 Proporción áurea ¿Cómo comprobar que un rectángulo es áureo?
VII: Proporción áurea

46 Proporción áurea 1 Es la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular AD = x Los triángulos ABD y AFB son isósceles y semejante VII: Proporción áurea

47 Proporción áurea VII: Proporción áurea

48 Proporción áurea Repitiendo el proceso de quitar un cuadrado…
Taza gigante volante con anexo inexplicable de cinco metros de longitud. ( ) Salvador Dalí ( ) VII: Proporción áurea

49 Proporción áurea La sucesión de Fibonacci y el número áureo 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 13 21 2 3 1 1 8 5 VII: Proporción áurea

50 Proporción áurea La sucesión de Fibonacci y el número áureo 1  : 1   =  1       2  : 1   =  2    3  : 2   =  1´5    5  : 3   =  1´    8  : 5   =  1´6   13 : 8   =  1´625   21 :13  =  1´   34 :21  =  1´   55 :34  =  1´   89 :55  =  1´ 13 21 2 3 1 1 8 5 VII: Proporción áurea

51 Proporción áurea Podemos construir rectángulos cuyos lados sean términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 13 21 13 5 8 8 13 21 21 34 2 3 1 1 8 55 ... 34 5 55 89 VII: Proporción áurea

52 Proporción áurea Podemos llegar a una construcción similar de rectángulos con un proceso inverso: 13 21 2 3 1 1 8 5 VII: Proporción áurea

53 Proporción áurea En este enlace puedes ver las matemáticas que hay detrás e este impresionante video que Cristobal Vila dedica a la proporción áurea Y aquí puedes ver el vídeo. ¡No te lo pierdas! VII: Proporción áurea

54 Éste es un trabajo de Ricardo Alonso Liarte
GRACIAS por tu talento ¡¡MUCHAS GRACIAS!!