Tele clase 9 Interpolación mediante splines.

Presentación del tema: "Tele clase 9 Interpolación mediante splines."— Transcripción de la presentación:

1 Tele clase 9 Interpolación mediante splines

2 Problema de interpolación local
Se utilizan pocos nodos (3 ó 4) para hallar un valor interpolado o para determinar un polinomio interpolador, válido en un pequeño intervalo.

3 Gráficamente

4 Gráficamente Problema local x

5 Gráficamente Problema local x

6 Gráficamente Problema local p(x) x

7 Gráficamente

8 Gráficamente Problema global

9 Una solución que a veces sirve

10 Una solución que a veces sirve
Convertir el problema global en varios problemas locales.

11 Una solución que a veces sirve

12 Una solución que a veces sirve
p1(x)

13 Una solución que a veces sirve
p2(x) p1(x)

14 Una solución que a veces sirve
p3(x) p2(x) p1(x)

15 Una solución que a veces sirve
p3(x) p4(x) p2(x) p1(x)

16 Una solución que a veces sirve
p3(x) p4(x) p2(x) p5(x) p1(x)

17 Una solución que a veces sirve
Punto anguloso p3(x) p4(x) p2(x) p5(x) p1(x)

18 Una mala solución

19 Una mala solución Utilizar un polinomio interpolador de grado suficientemente alto.

20 Una mala solución

21 Una mala solución

22 Moraleja La interpolación polinomial de grado alto no es una solución adecuada al problema de interpolación global.

23 Función spline Es una función polinomial por tramos que es continua y posee derivadas continuas hasta de un cierto orden.

24 Spline cúbico interpolador
Es una función polinomial por tramos.

25 Spline cúbico interpolador
Es una función polinomial por tramos. Los polinomios que lo componen son de grado menor o igual que tres.

26 Spline cúbico interpolador
Es una función polinomial por tramos. Los polinomios que lo componen son de grado menor o igual que tres. Es una función continua y posee primera y segunda derivadas continuas.

27 Spline cúbico interpolador
Es una función polinomial por tramos. Los polinomios que lo componen son de grado menor o igual que tres. Es una función continua y posee primera y segunda derivadas continuas. Se emplea como función global de interpolación.

28 Spline cúbico interpolador

29 Spline cúbico interpolador
Condición de interpolación: s(xi) = f(xi) = yi i = 0, 1,..., n

30 Spline cúbico interpolador
Condición de continuidad: s(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

31 Spline cúbico interpolador
Condiciones de suavidad: s’(x) y s”(x) son continuas en xi i = 1, 2,..., n-1

32 Condiciones s(xi) = f(xi) = yi i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

33 Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

34 Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

35 Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

36 Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1

37 Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 4n - 2

38 Spline cúbico interpolador

39 Spline cúbico interpolador
coeficientes

40 Spline cúbico interpolador
coeficientes 4n - 2 condiciones

41 Spline cúbico interpolador
coeficientes 4n - 2 condiciones condiciones extras 2

42 Notación Mi = s”(xi) i = 0,1,2,...,n hi = xi+1 - xi i = 0,1,2,...,n-1

43 Segunda derivada de s(x)

44 Segunda derivada de s(x)
M0 M1 M2 Mn x0 x1 x2 xn x

45 Notación Considérese el intervalo xi  x  xi+1 i = 0,1,2,...,n-1

46 Segunda derivada de s(x)

47 Segunda derivada de s(x)

48 Segunda derivada de s(x)

49 Segunda derivada de s(x)

50 Integrando indefinidamente

51 Derivada de s(x)

52 Integrando de nuevo

53 Expresión de s(x)

54 Evaluando las constantes K1 y K2

55 Evaluando las constantes K1 y K2

56 La ecuación del spline cúbico

57 La ecuación del spline cúbico

58 La ecuación del spline cúbico
Tramo i xi  x  xi+1

59 Derivada laterales en xi

60 Derivada laterales en xi

61 Derivadas laterales en xi

62 La derivada es continua

63 La derivada es continua

64 La condición fundamental

65 El spline natural i = 1, 2, ..., n-1

66 El spline natural i = 1, 2, ..., n-1

67 El spline natural Es la función interpoladora que minimiza la integral:

68 El spline natural Haciendo i = 1

69 El spline natural Haciendo i = 1 = 0

70 El spline natural Haciendo i = 2

71 El spline natural Haciendo i = 3

72 El spline natural Haciendo i = n-1

73 El spline natural Haciendo i = n-1 = 0

74 El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

75 El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

76 El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

77 El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

78 El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

79 El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

80 El spline natural =

81 Ejemplo Calcular el spline cúbico natural correspondiente a los nodos: x y ,2 ,7 ,8

82 El spline natural

83 Ejemplo x y ,2 ,7 ,8

84 Ejemplo x y h0 = 1 ,2 h1 = 1 h2 = 1 ,7 h3 = 2 ,8

85 Ejemplo x y h0 = 1 y0 ,2 h1 = 1 y1 h2 = 1 y2 ,7 h3 = 2 y3 ,8 y4

86 Ejemplo x y h0 = 1 y0 M0 = 0 ,2 h1 = 1 y1 M1 = ? h2 = 1 y2 M2 = ? ,7 h3 = 2 y3 M3 = ? ,8 y4 M4 = 0

87 El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

88 Ejemplo M1 M2 = M3

89 El spline natural =

90 Ejemplo 0,6 = = -1,1 0,35

91 Ejemplo M1 M2 = M3

92 Ejemplo 0,6 M1 -1,1 M2 = M3 0,35

93 Ejemplo 0,6 M1 -1,1 M2 = M3 0,35 M1 = 2,0775 M2 = - 2,355 M3 = 0,7425

94 Ejemplo 0,6 M1 -1,1 M2 = M3 0,35 M0 = 0 M1 = 2,0775 M2 = - 2,355 M3 = 0,7425 M4 = 0

95 La ecuación del spline cúbico
Tramo i xi  x  xi+1

96 Ejemplo Tramo 0 x0  x  x1

97 Ejemplo Tramo 0 1  x  2 0, x3 – 0, x2 + + 0, x + 1,8

98 Ejemplo Tramo 1 x1  x  x2

99 Ejemplo Tramo 1 2  x  3 - 0, x3 + 4, x2 + - 9,80122 x + 8,795122

100 Ejemplo Tramo 2 x2  x  x3

101 Ejemplo Tramo 2 3  x  4 0, x3 – 6, x2 + + 22, x – 23,539024

102 Ejemplo Tramo 3 x3  x  x4

103 Ejemplo Tramo 3 4  x  6 - 0, x3 + 1, x2 + - 9, x + 20,353659

104 El spline natural: tramo 0

105 El spline natural: tramo 1

106 El spline natural: tramo 2

107 El spline natural: tramo 3

108 El spline natural

109 Ejemplo spline cúbico polinomio de grado 4

110 Algoritmo del spline cúbico natural
Datos:

111 Algoritmo del spline cúbico natural
Datos: x0, x1, x2, ..., xn Distintos y ordenados de menor a mayor.

112 Algoritmo del spline cúbico natural
Datos: x0, x1, x2, ..., xn Distintos y ordenados de menor a mayor. y0, y1, y2, ..., yn

113 Algoritmo del spline cúbico natural
Datos: x0, x1, x2, ..., xn Distintos y ordenados de menor a mayor. y0, y1, y2, ..., yn x  [x0, xn]

114 Algoritmo del spline cúbico natural

115 Algoritmo del spline cúbico natural
for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end

116 Algoritmo del spline cúbico natural
for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema

117 Algoritmo del spline cúbico natural
for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema Formar la matriz Y del sistema

118 Algoritmo del spline cúbico natural
for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema Formar la matriz Y del sistema Resolver el sistema HM = Y

119 Algoritmo del spline cúbico natural
for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema Formar la matriz Y del sistema Resolver el sistema HM = Y while xi > x do i := i – 1 end

120 Algoritmo del spline cúbico natural
while xi > x do i := i – 1 end

121 Algoritmo del spline cúbico natural
while xi > x do i := i – 1 end

122 Algoritmo del spline cúbico natural
while xi > x do i := i – 1 end u := x – xi

123 Algoritmo del spline cúbico natural
while xi > x do i := i – 1 end u := x – xi v := xi+1 – x

124 Algoritmo del spline cúbico natural
while xi > x do i := i – 1 end u := x – xi v := xi+1 – x

125 Algoritmo del spline cúbico natural
while xi > x do i := i – 1 end u := x – xi v := xi+1 – x Terminar

126 En MN2000

127 En MN2000

128 En MN2000

129 En MN2000

130 Spline cúbico natural x0 xn x

131 Spline cúbico natural s”(x0+) = 0 x0 xn x

132 Spline cúbico natural s”(x0+) = 0 s”(xn-) = 0 x0 xn x

133 Spline cúbico anclado x0 xn x

134 Spline cúbico anclado s’(x0+) =   x0 xn x

135 Spline cúbico anclado s’(x0+) =   s’(xn-) =   x0 xn x

136 Spline cúbico periódico
y0 yn x0 xn x

137 Spline cúbico periódico
y0 = yn y0 yn x0 xn x

138 Spline cúbico periódico
y0 = yn s’(x0+) = s’(xn-) y0 yn x0 xn x

139 Spline cúbico periódico
y0 = yn s’(x0+) = s’(xn-) s”(x0+) = s”(xn-) y0 yn x0 xn x

140 Spline cúbico periódico
y0 = yn s’(x0+) = s’(xn-) s”(x0+) = s”(xn-) y0 yn x0 xn x

141 Spline cúbico periódico
y0 = yn s’(x0+) = s’(xn-) s”(x0+) = s”(xn-) y0 yn x0 xn x

142 Bibliografía Texto: Sección: 4.5

143 Ejercicios recomendados
Sección 4.5: 1, 2, 3, 9