Fig Capa elástica sobre base rígida

Presentación del tema: "Fig Capa elástica sobre base rígida"— Transcripción de la presentación:

1 Fig. 77.- Capa elástica sobre base rígida
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería CAPA ELÁSTICA HOMOGÉNEA SOBRE LA BASE RÍGIDA La fig. 77, muestra este caso. La base rígida puede ser, roca o grava y arena densa. El caso de capa elástica sobre base rígida es muy importante por su analogía con la realidad. Veamos la diferencia que esto introduce en la distribución de tensiones y deformaciones respecto a las calculadas según Boussinesq. Fig Capa elástica sobre base rígida

2 (217) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Carga aislada puntual Burmister (1943, 1945)  La fig. 78, muiestra este caso.- Fig. 78: Carga puntual aplicada a capa elástica sobre base rígida. Los esfuerzos en el punto ubicado a una distancia “r” de la vertical del centro y a una profundidad “z”, vienen dados por: (217) (218)

3 (219) (221) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Iz, Ir, I: Factores de influencia , Iz, Ir, I, tabulados por Poulos (1967 b). El asentamiento vertical y el desplazamiento horizontal en el punto, se estima a través de: (220) (221) Isz, Isr: Factores de influencia obtenidos por Taylor.  La fig. 79, presenta el factor de influencia para el asentamiento vertical estimado por Taylor y Boussinesq. Se aprecia, que en la cercanías de la carga, ambos asentamientos son asintóticos, pero en seguida el de Taylor se hace mucho menor.

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Fig Carga aislada vertical sobre capa elástica homogénea con base rígida. Asentamientos en superficie según Taylor (1962). Comparación con los correspondientes al semiespacio de Boussinesq. Carga lineal sobre base rígida La fig. 80, muestra la carga lineal sobre capa elástica, y donde se comparan los esfuerzos verticales para los casos: Semiespacio de Boussinesq, cuando el coeficiente de Poisson es igual  = 0.5 y para el caso  = 0. La Curva I representa el caso Boussinesq, en la curva II ( = 0.5) no existe corte en la interfaz y en la curva III se debe producir el mayor cortante en la interfaz ( = 0).

5 (225) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Poulos (1966), da las expresiones para la estimación de los esfuerzos y asentamientos en cualquier punto de la capa elástica. (222) (223) (224) (225) donde: Iz; Ixz, Isx, Isz: Factores de influencia.

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s.r I – Boussinesq II  = ½  = 0 III  =  = máx I  x>0, el esf. es menor al caso III Interfaz Fig Carga lineal vertical sobre capa elástica homogénea con base rígida. Tensiones verticales sobre la interfaz.

7 Carga en faja sobre base rígida-Interfaz lisa (Egorov, 1939)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Carga en faja sobre base rígida-Interfaz lisa (Egorov, 1939) La figura 81 muestra el caso de carga en faja. Aquí se presentan soluciones para: h=a h=2a h=5a Boussinesq Se aprecia que al disminuir h aumenta σz. También se observa, que el menor esfuerzo σz ocurre para el caso de Boussinesq, por tanto los mayores σz se producen considerando la base rígida. También la figura 82, muestra que: Si h es pequeño zx disminuye y aumenta σz Si h es pequeño, las deformaciones del terreno lateral disminuye y zx disminuye El efecto incrementa cuando la interfaz es lubricada.

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Pto donde se priduce el mayor cortante El cortante es cero en este pto. Fig. 82. Efecto de la finitud del estrato compresible sobre la distribución de tensiones Fig. 81. Carga en faja infinita sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz lisa. Tensiones verticales bajo el centro de la faja según Egorov (1939).

9 Interfaz rugosa para carga en faja infinita sobre base rígida
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Interfaz rugosa para carga en faja infinita sobre base rígida Poulos (1967b). La figura 83, presenta la solución para el caso =0.5 y =0. Se observa que el coeficiente , influye poco en las tensiones verticales, especialmente en el caso de faja estrecha. Se debe tener presente que en el caso de Boussinesq σz no es función de . Para el asentamiento vertical, se aprecia: =0,5 Mayor asentamiento para z=2B =0,40 Mayor asentamiento para z=1.5B =0,2 Mayor asentamiento para z=h =0 Mayor asentamiento para z=0.75B

10 z en la esquina de la carga a una prof “z”
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Más cerca de la superficie No existe la curva z/h =0, para determinar el esf en superficie z en la esquina de la carga a una prof “z” Para relaciones h/B 2 Para relaciones de h/B > 2. Menores esfuerzos Fig. 83. Carga en faja infinita sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Disribución de tensiones verticales según Poulos (1967 b) bajo el extremo de la carga. (a) Caso ν = 0.2 y (b) Caso ν = 0.5

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Comentarios anteriores valen aquí también Fig. 83. Carga en faja infinita sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Disribución de tensiones verticales según Poulos (1967 b) bajo el extremo de la carga. (a) Caso ν = 0.2 y (b) Caso ν = 0.5

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La fig. 84, presenta la gráfica que permite estimar los asentamientos verticales y horizontales en el caso de carga en faja infinita sobre capa elástica. La fig. 85, también permite estimar los asentamientos verticales para el caso de interfaz lisa y rugosa, según Ueshita y Meyerhoff (1968). Fig Carga en faja infinita sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Asentamientos horizontales bajo el extremo de la carga según Poulos (1967 b). (a) Asentamiento vertical. (b) Desplazamiento horizontal. Para h/B < 2 y =0 y =0.20, el asentamiento sigue incrementando Asent y desplaz en la esquina y superficial Para relaciones de h/B > 2. Menores esfuerzos Para relaciones h/B 2

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Si =0, como existe desplazamiento horizontal??’ Desplaz horizontal en la esquina y en superficie Desplaz horizontales hacia adentro Desplaz. Horizontales hacia fuera y en la esquina Se observa que los asentamientos en cambio si están más influenciados, especialmente en el caso de e elástica de pequeño espesor. Para =0 asentamientos mayores Para =½ asentamientos menores Para =0 no existe deformación lateral Para =½ existe deformación lateral

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En la fig. 85, se nota que el tipo de interfaz tiene muy poca influencia cuando el coeficicnte de Poisson es =0, y en cambio tiene gran impotancia para el caso  = 0.5. Interfaz lisa y rugosa Fig Carga en faja infinita sobre capa elástica con base rígida. Asentamientos bajo el extremo de la carga, según Ueshita y Meyerhoff (1968) para distintos coeficientes de Poisson y condiciones de la interfaz. Esquina 0.25 rugosa 0.5 lisa

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Carga circular - capa elástica homogénea sobre base rígida Este caso tridimensional con simetría radial ha sido resuelto por Biot, y es presentado en la fig Colaboración del terreno lateral es mayor en el caso de simetría radial, resultando menor esfuerzo, por la curva I. La diferencia entre la curva III y la curva II, con respecto a la curva I, son considerables, la razón es: La colaboración del terreno lateral es mayor en el caso de simetría radial. Simetría radial s.r I – Boussinesq II  = ½  = 0 III  =  = máx Fig Carga circular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Distribución de tensiones verticales sobre la interfaz.

16 Borde =0.3 Eje Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
La fig. 87, presenta las distribuciones de tensiones bajo la vertical del centro y bajo el borde de un círculo, determinadas por Milovic (1970), para el caso de interfaz rugosa. A distintas prof. Area circular Borde =0.3 Eje Fig Carga circular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Distribución de tensiones bajo el centro y bajo el borde según Milovic (1970).

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Ueshita y Meyerhoff en su trabajo de 1968 estudiaron con gran detalle los asentamientos bajo el centro del círculo. En la fig. 88, se presentan los resultados. Esta fig. da solamente los asentamientos en el centro. Existe asentamiento diferencial aún siendo interfaz rugosa, si la fundación no es lo suficientemente rígida. Fig Carga circular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Asentamiento bajo el centro del círculo según Ueshita y Meyerhoff (1968) para distintos coeficientes de Poisson y condiciones de la interfaz. El asent. Borde puede ser estimado considerando la recomendación de Terzaghui 0.85 el del centro  =0.5 considerando semi-espacio de Buossinesq (1.6) Valores para Boussinesq

18 Area circular uniformemente cargada
Eje Borde Las figuras 89 y 90, corresponden a Terzaghi (1942). Ellas permiten calcular el asentamiento superficial en cualquier distancia a partir del centro de la carga, y para tres condiciones de espesor de estrato. Area circular uniformemente cargada Fig Carga circular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Asentamientos en superficie según Terzaghi (1942).

19 Boussinesq Asent. superficial Eje Borde Capa elastica
Asentamiento Inmediato en la Superficie Si = q (R / E) Is Boussinesq Asent. superficial Eje Borde Fig Valores del factor de influencia Is para el cálculo de los asentamientos superficiales inmediatos en la superficie Si, producidos bajo un área circular flexible uniformemente cargada (según Terzaghi, 1943). Capa elastica Asent. superficial Capa elastica Asent. superficial Interfaz lisa ?? Espesor delgado levantamiento

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Carga rectangular – capa compresible sobre base rígida La solución completa fue dada por Burmister en 1956, para el caso de interfaz rugosa. La fig. 91, ilustra esta condición. La solución la presenta para  = 0.4, Burmister quien comprobó que este coeficiente tiene poca influencia sobre las tensiones verticales, sobre todo en la parte superior. Sus resultados están dados en lña fig. 92 , 93 y 94, para para z = 0.2h, 0.4h, 0.6h, 0.8h, h Fig Capa elástica con carga rectangular.

21 (a) (b) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Tiende a muro
Esf a determinadas prof (a) (b) Fig Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Tensiones verticales bajo una esquina según Burmister (1956). (a) Para  = 0.4 y z = 0.2.h . (b) Para  = 0.4 y z = 0.4.h

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(b) (a) Fig Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Tensiones verticales bajo una esquina según Burmister (1956). (a) Para  = 0.4 y z = 0.6.h . (b) Para  = 0.4 y z = 0.8.h

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Fig Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Tensiones verticales bajo una esquina según Burmister (1956). Para  = 0.4 y z = h.

24 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
En las figuras 92, 93 y 94, se observa que para un valor z/h= 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 se tiene: Si L/B incrementa σz/ P incrementa. z/h =0.2 L/B=1 y L/h = z = 0.175 z/h = 0.2 L/B=10 y L/h = 2 z = 0.20 Significa que si la zapata tiende a ser continua, los esfuerzos que transmiten son mayores, para un mismo espesor h. Si h disminuye la L/h aumenta y por tanto el esfuerzo σz también aumenta. Para una misma profundidad z, la relación z/h con valores menores implica mayores espesores del estrato compresible. Por tanto valores menores de la relación z/h corresponde menores esfuerzos. Ueshita y Meyerff (1968), obtuvieron los coeficientes de influencia para los desplazamientos verticales bajo la esquina del rectángulo. La Fig. 95, presenta gráficas que permiten estimar el coeficiente de influencia para los coeficientes de Poisson  = 0,5, 0,3, 0

25 Valores para Boussinesq
Ueshita y Meyerff (1968), obtuvieron los coeficientes de influencia para los desplazamientos verticales bajo la esquina del rectángulo. La Fig. 95, presenta gráficas que permiten estimar el coeficiente de influencia para los coeficientes de Poisson  = 0,5, 0,3, 0 Interfaz rugosa Asent en la esquina y superficie h/B h/B  =0.5 Valores para Boussinesq

26 Interfaz rugosa h/B h/B  =0.3 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Interfaz rugosa h/B h/B Para cualquier dimensión de zapata  =0.3

27  =0 Interfaz rugosa Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Fig 95.- Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz rugosa. Asentamientos bajo la esquina del rectángulo según Ueshita y Meyerhoff (1968), para distintas formas del rectángulo. (a) caso  = 0.5. (b) caso  = 0.3. (c) caso  = 0. Interfaz rugosa

28 diferencial = (centro) - (esquina para B, L) (227)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería El desplazamiento puede expresarse por la ecuación: (226) donde: Se: Asentamiento en la esquina del rectángulo P: Presión aplicada al suelo por el rectángulo B: Ancho del rectángulo Irc: Coeficiente de influencia En la figura 95, se aprecia: Menor asentamiento para =0,5 Mayor asentamiento para =0,0 El asentamiento diferencial, entre la esquina y el centro del rectángulo se estimará, por: diferencial = (centro) - (esquina para B, L) (227)

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La fig. 96, corresponde a Sovinc (1961), quien presenta la distribución de presión z, bajo el centro de un rectángulo cargado en el caso de superficie lubricada. Se aprecia que para cualquier relación b/a el esfuerzo es mayor cuando la relación h/b disminuye. Nota: Si interesa en el borde, entonces ampliamos el rectángulo y luego se divide entre 4. Se busca en el centro y luego se divide entre 4. La adición y sustracción de rectángulo, permite hallar la tensión debajo de un punto cualquiera, dividiendo entre 4, tendremos la tensión bajo la esquina.

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Se aprecia que para cualquier relación b/a el esfuerzo es mayor cuando la relación h/b disminuye h/b=1 b/a=1 b/a=2 b/a=5 h/b=2 b/a=1 b/a=2 b/a=5 h/b=5 b/a=1 b/a=2 b/a=5 Boussinesq Fig Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida. Interfaz lisa. Distribución de tensiones bajo el centro del rectángulo según Sovin (1961).

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La fig. 97, también corresponde a Sovinc (1961), la cual permite estimar los asentamientos en la esquina de un rectángulo cargado, para un suelo con  =0.5. Fig Carga rectangular sobre capa elástica homogénea con base rígida.Interfaz lisa. Asentamientos bajo la esquina del rectángulo cargado para  = 0.5 según Sovinc (1961). En la esquina y en superficie Valores que se alcanzan cuando tiende al semiespacio de Boussinesq

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Facultad de Ingeniería Método aproximado de steinbrenner para el calculo de los asientos de un rectangulo en el caso de base rígida. Steinbrenner estima los asentamientos sin tener en cuenta la modificación en la distribución de las tensiones. La fig. 98 muestra el asentamiento que ocurre en superficie y el asentamiento que ocurre a cierta profundidad por debajo de la superficie. Steinbrenner define: ΔS= S0 – Sz Donde: ΔS: Asentamiento en la esquina para el caso de profundidad z de la capa compresible. S0: Asentamiento de la superficie en el caso de profundidad indefinida. Sz: Asentamiento que experimenta el punto a la profundidad “z”, en el caso de profundidad indefinida.

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Fig Esquema de asentamientos bajo una capa elástica superficial. Nota: En el caso de haber varias capas de diversa compresibilidad, resultaría necesario efectuar el cálculo para distintas profundidades, con los coeficientes de elasticidad correspondientes sucesivamente a cada una de las capas. Por diferencia podrá hallarse el asiento debido a éstas y con ello el asiento total de la superficie.

34 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
También, indica que el asentamiento puede ser estimado a través de: (229) Donde: f1(a,b,z), f2(a,b,z): Funciones estimadas de la fig. 99. A,B: Constantes que dependen del coeficiente de poisson. A = 1 -  (230) B = 1 -  - 2 (231) m,n: parámetros para entrar a la fig.99 y vienen dados por: (232) Para terreno incompresible resulta:  = ½ (233) Para  = 0 resulta A = B = 1

35 f1(a,b,z) f2 (a,b,z) z/b Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería f1(a,b,z) f2 (a,b,z) z/b Fig Carga rectangular sobre multicapa elástica. Acortamiento de la capa elástica superficial bajo la esquina del rectángulo. Método aproximado. Según Steinbrenner.

36 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
La fig. 100, se presentan otras relaciones equivalentes a la ec. 229, 230 y 231. Fig Valores de las funciones F1 y F2 para el cálculo del asentamiento inmediato Si en una capa de suelo de espesor finito bajo la esquina de un área rectangular flexible uniformemente cargada (según Steinbrenner).

37 Superficie de carga general con base rígida
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Superficie de carga general con base rígida La solución exacta puede encontrarse numéricamente por la aplicación del método del sector de Poulos. La Fig. 101, ilustra un área general uniformemente cargada. Esta carga se ubica dentro de coronas Fig (a) Area general cargada uniformemente. (b) Carga general sobre base rígida. (c) Carga circular en el semiespacio de Boussinesq.

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Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Método aproximado de Newmark La fig. 101.b, muestra una capa elástica con una base rígida a una profundidad “z”. Si la carga general, se hace algo análogo al método aproximado de Steinbrenner, apoyado en lo que se muestra en la fig. 101.c Entonces, se necesita conocer el asentameinto Sz que sufre el punto situado a dicha profundidad z, en el caso de tratarse del semiespacio homogéneo (fig. 101.c), se estima a través de: Para cualquier círculo (234) asentameinto Sz que sufre el punto situado a dicha profundidad z Asentamiento producido por la n-ésima parte de una corona que se percibe desde la profundidad z bajo los semiángulos de apertura 1 y 2 (ver fig. 102), será:

39 La expresión anterior da el asent en superficie
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones n: número de sectores en los cuales se dividen las coronas Nota: Existen gráficas para los cálculos. (235) En superficie La expresión anterior da el asent en superficie Fig Corona cargada en determinado sector.

40 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones n: número de sectores en los cuales se dividen las coronas. Nota: existen gráficas para los cálculos. Semiespacio Elástico Heterogéneo Para el caso lineal, este semiespacio se evalúa a través de: E(z) = E(o) + λz (236) Donde: E(z): Módulo de Young E, Variando linealmente con la profundidad E(o): Valor del modulo de Young E, en la superficie. λ : Pendiente de la variación del modulo con la profundidad ”z”. Es el modelo heterogéneo mas simple que se puede proponer para un semiespacio elástico infinito heterogéneo. Para el semiespacio homogéneo de Boussinesq, se tiene que: λ = 0 y por tanto E(z) = E(o) en el semiespacio. Para el caso = E(o) = 0, es un modelo poco realista, resultando la ecuación: E(z)= λ·Z (237) Sin embargo, este modelo se acepta en el caso de arenas sueltas.

41 La fig. 103, presenta los tres modelos mencionados.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La fig. 103, presenta los tres modelos mencionados. Fig Modelos de estimación del módulo en el semiespacio heterogéneo. El modelo de Winkler se identifica con este modelo elástico heterogéneo, dado por la ec. 237, y donde inicialmente se expreso por la relación k = q/s, es decir el asentamiento en un punto de la superficie es proporcional a la carga que hay sobre él.

42 Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga en Faja
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga en Faja Gibson (1967), propuso la siguiente expresión para la estimación del módulo de rigidez transversal cuando υ = 0.5, es decir considerando que el terreno es incompresible. G(z)= G(0)+m.z (238) Donde: G(z): Módulo de rigidez transversal variando linealmente con la profundidad “z”. G(o): Módulo de rigidez transversal en la superficie del terreno. m: Pendiente de la variación del modulo G con la profundidad “z”. La fig. 104, muestra la representación de la ec. 238

43 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones Fig (a) Variación lineal del módulo de rigidez transversal con la profundidad. (b) Carga en faja en el semiespacio heterogéneo. (c) Variación lineal del módulo de Youngcon la profundidad.

44 Si  = 0, se obtiene el módelo de Winkler
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones De acuerdo a la fig. 104, la pendiente de la variación del módulo se puede expresar a través de: (239) : Parámetro con dimensiones de longitud que caracteriza el grado de heterogeneidad De la ec. 239, se escribe: (240) Si  = 0, se obtiene el módelo de Winkler Si  = , resulta el caso de Boussinesq Sustituyendo la ec. 239 en la ec. 238, se obtiene: (241) (242)

45 q: Carga uniformemente repartida en la faja.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Comparando los resultados para =0 y =, Gibson encontró, que la distribución de las tensiones verticales en esos casos es idéntica, por tanto para heterogeneidad intermedia, la distribución debe ser parecida a la correspondiente a Boussinesq. En principio esto sólo podría ser válido para  =.1/2 Para el modelo de Winkler, el asentamiento a cualquier profundidad a cierta distancia “x” del origen, se estima a través de:  =0 (modelo Winkler) (243) donde: q: Carga uniformemente repartida en la faja. m: Pendiente de la varaicón del módulo de rigidez transversal. b: Ancho de la franja. x: distancia horizontal a partir del origen de la carga. z: Profundidad a la cual se quiere estimar la carga.

46 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La fig.105, permite estimar el asentamiento de acuerdo al modelo de Winkler. x/b Fig Carga en faja infinita. Semiespacio de Winkler. Distribución de asentamientos según Gibson (1967). 2.m.S(x,z)/q Asent en superficie Asent a una prof igual a “b” s.r Aparentemente G toma en cuenta la deformación que sufre el suelo en sentido horizontal, ya que las profundidades donde analiza el problema son pequeñas (z/b)=0 hasta (z/b)=1

47 (244) Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga Circular
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga Circular Brown y Gibson (1972), presentan gráficas para estimar el asentamiento para una carga circular en un semiespacio elástico heterogéneo, aplicando el modelo lineal de variación del módulo de rigidez transversal, dado por la ec Las figuras 106 y 107, presenta dichos resultados. La fig. 106, permite estimar el coeficiente de influencia I, para la estimación del asentamiento en el centro del circulo Sz(r=0) tal como se indica: (244) donde: Sz(r=0): Asentamiento superficial en el centro del círculo. I: Coeficiente de influencia (figura 106). P: Carga uniformemente distribuida aplicada en la superficie circular a: Radio del área circular. G(0): Módulo transversal en la superficie-

48 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones En la fig. 106, la relación /a, representa el grado de heterogeneidad. También se muestra como influye el coeficiente de Poisson “” en el asentamiento. Ejemplo si /a = 10 el asentamiento cuando =0 es mayor que dos veces el asentamiento que cuando  = 0,5. Coeficiente de influencia Para menor heterogeneidad el asentamiento se hace más independiente de  Da el asent en superficie y en el eje Baja heterogeneidad Grado de heterogeneidad Alta heterogeneidad Fig Carga circular sobre semiespacio elástico heterogéneo con variación lineal del módulo de Young. Coeficiente de influencia para el asentamiento del ¡centro del círculo según Brown y Gibson (1972).

49 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La fig. 107, permite estimar el asentamiento a cualquier distancia medida a partir del centro de la carga circular, para diferentes para valores del coeficiente de Poisson de = 0, = 1/3 y = 1/2 . Alta heterogeneidad Borde Eje Baja heterogeneidad r/a sr Entre el eje y el borde, el asent es mayor cuando existe alta heterogeneidad Son casi iguales la forma de la superficie de los asentamientos

50 Difiere respecto a los anteriores
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Borde Eje Difiere respecto a los anteriores Fig Carga circular sobre semiespacio elástico heterogéneo con variación lineal del módulo de Young. Asentamientos en superficie para distintos coeficientes de Poisson, según Brown y Gibson (1972). En la fig. 107, se observa: Los perfiles de  = 0 y  = 1/3 difieren del perfil de  =1/2de Winkler. La presencia de cierta compresibilidad es importante.  tiene gran influencia en la forma y magnitud de los asientos. El valor de  es importante a medida que aumenta . El asentamiento Sz (r = 0) se determina de la primera figura.

51 Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga Rectangular
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Solamente para  = 0.5 tiene significado elástico el modelo de Winkler. Se comprueba que para  = 1/3, aún para pequeños valores de  el perfil de asentamientos difiere mucho del resultante del modelo de Winkler. Ya que las formas de las superficies de asentamientos son casi iguales para  = 1/3 y  =0, se comprende que la presencia de una cierta compresibilidad es mucho más importante que los aumentos relativos de la misma. Semiespacio Elástico Heterogéneo – Carga Rectangular Brown y Gibson (1973), también estudió este caso. Ley de variación de la deformabilidad, referida al módulo de Young, es idéntica a la establecida en la ec. 242 para carga en faja y circular, siempre y cuando se considere que el coeficiente de Poisson es constante. En este caso por tanto, la variación de módulo es (ver fig c):

52 E (z): Módulo de Young variando linealmente con la profundidad “z”.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (245) Donde: E (z): Módulo de Young variando linealmente con la profundidad “z”. E(o): Modulo de Young en la superficie, del terreno. m: Pendiente de la variación de modulo E con la profundidad “z” Si β aumenta, la influencia es mayor en el valor del asentamiento. De la fig. la pendiente se expresa, por: (246) Para la solución se aplica el método general del sector de Poulos, basado en los resultados numéricos obtenidos por Gibson para los asentamientos bajo el centro de un área circular uniformemente cargada. El asentamiento total producido por determinado sector del círculo como el indicado en la fig. 108, se expresa como: Ley de variación de la deformabilidad igual caos circular s.r mayores asentamientos

53 Asentamiento producido por el sector del circulo
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Fig Carga rectangular. Aplicación del método de Poulos al cálculo de los asentamientos. Asentamiento producido por el sector del circulo

54 Ssector: Asentamiento producido por determinado sector del circulo.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (247) Donde: Ssector: Asentamiento producido por determinado sector del circulo. S(R): Asentamiento en el centro de un círculo uniformemente cargado de radio “R” Δθ: Diferencial del ángulo θ, medido en el centro del círculo. Integrando el área rectangular de la fig. 108, por sectores de radio “R” variables, se plantea: (248) Sesquina: Asentamiento total bajo la esquina de un área rectangular La fig. 109 permite estimar el factor de influencia “I” para el cálculo del asentamiento en la esquina de un rectángulo la heterogeneidad del semi espacio elástico.

55 /B altos (baja heterogeneidad). Mayor asent
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones /B altos (baja heterogeneidad). Mayor asent La ec. 248, se escribe: (249) Boussinesq Independiente de . Da mayores asentamientos /B bajos (alta heterogeneidad). Menor asentamientos Fig carga rectangular sobre semiespacio elástico heterogéneo con variación lineal Módulo de Young. Asiento bajo la esquina del rectángulo según Brown y Gibson (1973).

56 Estas variaciones están representadas a través del factor K
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Butler (1974). Estudió el caso de una carga rectangular sobre una capa elástica con heterogeneidad lineal apoyada en una base rígida. Aplicó un método de análisis aproximado, extrapolando simplemente el método de Steinbrenner, Consideró un sistema multicapa (fig. 110), en que los módulos de elasticidad de las distintas capas varían linealmente con la profundidad, y con ello determinó los asentamientos bajo la esquina de un rectángulo cargado (fig. 111). Modelo multicapa Estas variaciones están representadas a través del factor K Fig Esquema de modelo multicapa simulando una capa elástica heterogénea con variación lineal del modulo de Young sobre base rígida, según Butler (1974)

57 E: Módulo de Young a determinada profundidad “z”
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Los módulos de elasticidad de las distintas capas varían linealmente con la profundidad, expresando: (250) Donde: E: Módulo de Young a determinada profundidad “z” B: Ancho del rectángulo. k: Grado de heterogeneidad. La Ec. 250 se escribe (251) B/K: Representa el grado de heterogeneidad del suelo. Por tanto: (252)

58 Tiende al semi espacio de Boussinesq K altos β pequeño
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Se determina que: K pequeño β alto Mayor asentamiento Poca Heterogeneidad Tiende al semi espacio de Boussinesq K altos β pequeño Alta Heterogeneidad No tiende al semi espacio de Boussinesq Altos módulos y asentamientos menores El asentamiento en la esquina de un rectángulo se estima, a través de: (253) Donde: S: Asentamiento en la esquina de un rectángulo. Eo: Modulo de Young en superficie B: Ancho de rectángulo. Is: Coeficiente de influencia

59 (a) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones Z/B =0 - Is=0. Asent en superf cero ????? Se interpreta que si Z =0, no existen capas compresibles Alta heterogeneidad. Menor asentamiento Si existe varias capas, se aplicara el método de superposición (a) Baja heterogeneidad. Mayor asentamiento. Semi-espacio de Boussinesq

60 (b) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (b)

61 (c) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (c)

62 (d) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (d)

63 (e) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (e)

64 (f) Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías Fundaciones (f) Fig Carga rectangular sobre capa elástica heterogénea con variación lineal del módulo de Young y base rígida. Asentamiento bajo la esquina del rectángulo para diversas formas del rectángulo y coeficientes de Poisson según Butler (1974).

65 La Fig. 112 y 113, pertenecen a Burmister, para la solución del sistema de dos capas, donde consideran capa subyacente es infinita tanto en la dirección horizontal como vertical. La capa superficial infinita en la dirección lateral, pero de profundidad finita Los materiales homogéneos, isotropicos y elásticos. Fig. 112 Basic pattern of Burmister two-layer stress influence curves (From Burmister, Highway Research Bulletin 177)

66 capa superficial este libre de cortante y de esfuerzos normales fuera del área cargada
capas estén en contacto continuos Los esfuerzos y deflexiones, dependen de la relación de módulos, de la capa de refuerzo y de la subrasante.

67 La fig. 112, da los esfuerzos verticales bajo el centro de un plato circular de radio “a”.
El efecto de la capa de refuerzo es notable, en el valor de los esfuerzos, comparado con el semi espacio de Boussinesq. A medida que E1/E2 aumentan, los esfuerzos a cualquier profundidad disminuyen. Ensayos han demostrado, que los esfuerzos y deflexiones obtenidas por las ecuaciones de Boussinesq, son mas grandes que las medidas, y observadas.

68 Δr: Asentamiento total para plato rígido.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones La deflexión total de la superficie en el caso del sistema multicapa, puede ser obtenida por medio de: (254) (255) Δr: Asentamiento total para plato rígido. Δf: Asentamiento total para platos flexibles. p: Carga por unidad de área sobre el plato circular. a: radio del plato. E2: Modulo de elasticidad de la capa subyacente. F2: Factor adimensional que depende de la relación de módulos y de la relación de espesor de la capa de refuerzo respecto al radio (Fig. 113). Plato flexible Plato rígido

69 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones Fig Influence values – two layer theory. (From Burmister, Proceeding, Highway Research Borrad, 1943)

70 Fórmulas de Palmar y Barber (ver fig. 114).
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones TEORIA DE DOS CAPAS Fórmulas de Palmar y Barber (ver fig. 114). Fig (a) Desplazamientos en la primera capa y en la subrasasnte. (b) Sistema de dos capas. (c) Sistema equivalente de dos capas a una capa.

71 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Haciendo referencia a la misma nomenclatura utilizada anteriormente, se escribe: Desplazamiento en la superficie del pavimento T (256) Desplazamiento de la primera capa P (257) Desplazamiento en la superficie de la subrasante s

72 Base del Método (fig. 114.b y 114.c)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (258) METODO DE ODEMARK Base del Método (fig. 114.b y 114.c) (259) Cálculo de la deflexión total superficial (260) Cálculo de la deflexión superficial de la subrasante s

73 Cálculo del esfuerzo vertical en subrasante
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones (261) P = T - s (262) Cálculo del esfuerzo vertical en subrasante (263) (264)