Unidad 4 Anexo 3. Capítulo V. Reducción del orden.

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1 Unidad 4 Anexo 3. Capítulo V. Reducción del orden.

2 U-4.A-3. Cap. V. Reducción del orden.
El método de reducción de orden aplica a ecuaciones diferenciales lineales de cualquier orden. Si y1 es una solución conocida no trivial (y1 ≠ 0) de una ecuación lineal homogénea de orden n, entonces la sustitución de una 2ª solución y = v(x) y1 reduce la ecuación dada a una lineal homogénea de orden n − 1 en v. Por tanto, la aplicación del método de reducción de orden transforma una ecuación de orden n en y a una ecuación de orden n − 1 en v, resultado que se presenta en el siguiente teorema:

3 Si y1 es una solución no trivial de la ecuación homogénea:
U-4.A-3. Cap. V Reducción del orden. Si y1 es una solución no trivial de la ecuación homogénea: entonces la sustitución de y = vy1 reduce esta ecuación a una ecuación lineal homogénea de orden n − 1 en v. Si es posible encontrar una solución de la ecuación de orden (n − 1) en v. Es factible continuar reduciendo el orden sucesivamente; mientras se puedan encontrar soluciones de la ecuación. El método aplica a ecuaciones no homogéneas también.

4 U-4.A-3. Cap. V. Reducción del orden.
Aunque sea viable reducir una ecuación de orden n a una de primer orden aplicando repetidamente el método de reducción de orden, rara vez resulta práctico hacerlo. Para ecuaciones de orden superior, la ecuación reducida es al menos de 2° orden y, generalmente, no es más fácil de resolver que la original. Las ecuaciones de orden superior se pueden resolver en forma sistemática sin usar reducción de orden. Reducir el orden de una ecuación no siempre representa alguna simplificación apreciable.