Unidad 2 Capítulo VI Ecuaciones de factor integrante

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1 Unidad 2 Capítulo VI Ecuaciones de factor integrante

2 Sin embargo, al multiplicar esta ecuación por el factor y se obtiene:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante La ecuación diferencial no es exacta debido a que My = 1 ≠ Nx = 2, por tanto, no puede resolverse usando el procedimiento anterior. Sin embargo, al multiplicar esta ecuación por el factor y se obtiene: una ecuación exacta, dado que My = 2 = Nx y, de esta manera, es posible resolverla como tal. Las ecuaciones anteriores son esencialmente equivalentes y tienen las mismas soluciones (excepto en los ceros del factor). Sin embargo, una es exacta y la otra no.

3 Tales factores, en caso de existir, se denominan factores
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Este ejemplo sugiere que una ecuación no exacta puede transformarse en exacta multiplicándola por un factor apropiado. Tales factores, en caso de existir, se denominan factores integrantes y se representan por m (x, y). No existe un procedimiento general para determinar estos factores, excepto para algunos casos especiales, debido a que pueden ser función de x y/o de y. No obstante, es posible determinar factores integrantes de ecuaciones no exactas, cuando éstos dependen de una sola variable, x o y.

4 Sea la ecuación diferencial no exacta de la forma:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Sea la ecuación diferencial no exacta de la forma: Se plantea que existe una función m que, al multiplicarla por la ecuación diferencial, la transforma en exacta, es decir, que la ecuación: cumple con el criterio de exactitud:

5 U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante
Supóngase que el factor integrante es función de x, por lo que su derivada con respecto a y (my) es cero. Así, el criterio de exactitud resulta en la ecuación diferencial: cuya solución existe sí y sólo sí el término de la derecha es una función estricta de x, es decir De esta manera, el factor integrante se obtiene mediante la aplicación del operador integral en la forma siguiente:

6 Es decir, si m = m (x, y), no se obtiene en forma analítica.
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Supóngase que no es así, entonces considere al factor integrante como función de y, por lo que mx = 0. Así: y si , entonces: Es importante subrayar que este procedimiento permite obtener un factor integrante, cuando éste existe, como función de una sola variable x o y. Es decir, si m = m (x, y), no se obtiene en forma analítica.

7 Solución: De la ecuación se observa que:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Ejemplo: Obtenga un factor integrante que transforme la ecuación diferencial: en exacta y resuélvala. Solución: De la ecuación se observa que: Así, Es decir, la ecuación no es exacta. Supóngase que existe un factor integrante m = m (x), entonces:

8 Como el cociente (My – Nx)/N es función de x y y, entonces:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Como el cociente (My – Nx)/N es función de x y y, entonces: Suponga ahora que m = m (y), entonces De aquí se infiere que existe un factor integrante en función de y que es: Por lo que la ecuación es exacta y se puede resolver usando el método apropiado.

9 Prueba: De la ecuación diferencial equivalente
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Prueba: De la ecuación diferencial equivalente se observa que: y sus derivadas parciales respectivas: son iguales. Por lo tanto, la ecuación , al multiplicarse por el factor integrante , se transforma en una ecuación exacta.

10 Solución: Como la ecuación es exacta, existe una función
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Solución: Como la ecuación es exacta, existe una función tal que: por lo tanto:

11 Al comparar las dos soluciones se observa que:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Al comparar las dos soluciones se observa que: entonces Por lo tanto, la solución general tiene la forma: o bien

12 Solución: Las funciones M y N son:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Ejemplo: Resuelva el problema de valor inicial dado, determinando un factor integrante adecuado. Solución: Las funciones M y N son: de manera que La ecuación no es exacta, por lo que procede suponer la existencia de un factor integrante m = m (x), entonces:

13 Como la expresión (My – Nx)/N es función de x, entonces:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Como la expresión (My – Nx)/N es función de x, entonces: este factor transforma la ecuación original en la siguiente ecuación exacta: o bien

14 Prueba: De la ecuación anterior se observa que:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Prueba: De la ecuación anterior se observa que: y sus derivadas parciales respectivas: son iguales. Por tanto, la ecuación es exacta.

15 Solución: La solución es entonces:
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Solución: La solución es entonces:

16 Al comparar ambas soluciones, las constantes son
U-2. Cap. VI. Ecuaciones de Factor Integrante Al comparar ambas soluciones, las constantes son entonces Por lo tanto, la solución general tiene la forma: