Unidad 4 Anexo 1. Capítulo IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación.

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1 Unidad 4 Anexo 1. Capítulo IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación.

2 U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación.
En muchas aplicaciones prácticas, los sistemas resorte-masa pueden someterse a ciertas fuerzas (externas) que son de naturaleza periódica y pueden expresarse como F0 cos w t o bien F0 sen w t, donde w es la frecuencia con que se aplica la fuerza impuesta y F0 su amplitud. Un ejemplo de este tipo de fuerzas externas es la que puede experimentar un sistema cuando se conecta a una máquina rotatoria ligeramente desbalanceada. Las vibraciones que tal sistema experimentará en este caso son forzadas, ya que son provocadas por el efecto de una fuerza externa.

3 Este movimiento se conoce con el nombre de pulsaciones.
U-4.A-1. Cap. IV Vibraciones forzadas sin amortiguación. Considere el sistema resorte-masa sin fricción que está en equilibrio estático y se sujeta a la siguiente fuerza externa: x(0) = 0 v(0) = 0 Fe = F0 cos wt m x Suponiendo que el sistema no incluye fricción y que no tiene amortiguador (g = 0), obtenga una relación para la posición de la masa relativa a su posición de equilibrio como función del tiempo para w ≠ w0. Este movimiento se conoce con el nombre de pulsaciones.

4 La solución de esta ecuación no homogénea es de la forma:
U-4.A-1. Cap. IV Vibraciones forzadas sin amortiguación. Solución: En este caso no hay amortiguación pero si una fuerza externa de naturaleza periódica que se aplica al sistema, por lo que el modelo se reduce a: con: x(0) = x0 y x’(0) = v0 La solución de esta ecuación no homogénea es de la forma: La solución de la parte homogénea de esta ecuación se obtuvo en el ejemplo anterior (vibraciones libres) como:

5 y sustituyendo en la ecuación no homogénea:
U-4.A-1. Cap. IV Vibraciones forzadas sin amortiguación. Dado que w ≠ w0, la solución particular, usando el método de coeficientes indeterminados, se plantea como: así y sustituyendo en la ecuación no homogénea: se obtiene: por lo que:

6 Aplicando las condiciones iniciales, las constantes C1 y C2 resultan:
U-4.A-1. Cap. IV Vibraciones forzadas sin amortiguación. Aplicando las condiciones iniciales, las constantes C1 y C2 resultan: por lo que la solución general es: que es la diferencia de dos funciones periódicas con la misma amplitud pero con periodos diferentes.

7 use la siguiente identidad:
U-4.A-1. Cap. IV Vibraciones forzadas sin amortiguación. Con el propósito de visualizar el comportamiento de la oscilación, considere w ≈ w0 y haga: use la siguiente identidad: Para expresar la solución general en la forma: Una oscilación con frecuencia A con amplitud oscilatoria con frecuencia B < A y extremos en  2 F0/m(w02  w2).

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cuya gráfica es: Fenómeno acústico que ocurre cuando dos instrumentos de frecuencias casi idénticas se tocan simultáneamente.

9 Resuelva el ejemplo anterior para el caso especial en que w = w0 .
U-4.A-1. Cap. IV Vibraciones forzadas sin amortiguación. El caso en que ambas frecuencias se igualan, w = w0 , se considera en el siguiente ejemplo. Resuelva el ejemplo anterior para el caso especial en que w = w0 . Solución: La ecuación diferencial, condiciones iniciales y la solución homogénea permanecen iguales; sin embargo, la solución particular debe tomarse como: ya que el término homogéneo F0 cos w0t es una solución de la ecuación homogénea asociada.

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Al sustituir esta solución particular en la ecuación y despejar los coeficientes desconocidos, se obtiene: Por tanto, la solución particular es: así, la solución general se determina sumando las soluciones complementaria y particular, para obtener:

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Aplicando las condiciones iniciales, x(0) = x’(0) = 0, las constantes arbitrarias se determinan como C1 = C2 = 0. Entonces, la solución general es: La característica más notable de esta solución es que la amplitud de la oscilación es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente F0/(2mw0), lo que hace que el desplazamiento se vuelva ilimitado cuando t  , como se muestra en la figura siguiente:

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Este fenómeno de amplitud siempre creciente se conoce como resonancia y en este caso se llama resonancia pura o resonancia no amortiguada, ya que se supone que el movimiento no presenta fricción ni amortiguación. La gráfica indica que la amplitud del movimiento tenderá a infinito cuando t  ; sin embargo, en la práctica, el sistema colapsará en algún tiempo t = tf como resultado de estas vibraciones violentas. La solución no aplica para t > tf. Así mismo, la suposición de fuerza de resorte lineal se invalida para amplitudes grandes.

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El fenómeno de resonancia sucede independientemente de las condiciones iniciales, debido a que, para valores altos de t, la solución particular domina el movimiento. En la práctica, la resonancia ocurre aún en sistemas cuya amortiguación no es suficiente para contrarrestarla y existen muchos casos espectaculares de estructuras cuya destrucción se debió a este fenómeno. La resonancia se presenta debido a que la fuerza externa actúa siempre en la dirección de la velocidad, aumenta la amplitud y no siempre resulta en destrucción. Se usa para crear algunos efectos muy deseables en acústica, sismografía y electrónica.