Sistemas de ecuaciones lineales

Presentación del tema: "Sistemas de ecuaciones lineales"— Transcripción de la presentación:

1 Sistemas de ecuaciones lineales
Prof. M. Alonso

2 Sistemas de ecuaciones lineales
En esta unidad estudiaremos como resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Empezamos con unas definiciones fundamentales para entender el material.

3 Definición Un sistema de ecuaciones lineales consiste de dos o más ecuaciones de primer grado con una o más variables. Recuerde que las ecuaciones de primer grado son aquellas en donde la variable está elevada al exponente 1.

4 Ejemplos Estudie los ejemplos

5 Objetivo: resolver un sistema
La pregunta que nos debemos hacer es, ¿qué objetivo perseguimos si nos dan un sistema de ecuaciones lineales? El objetivo es hallar la solución del sistema. Pero, ¿qué es la solución del sistema?

6 Definición La solución de un sistema de ecuaciones lineales consiste en hallar los valores de cada variable de manera que cuando sustituimos esos valores hacen cierta cada ecuación del sistema.

7 Ejemplo Considere el sistema
La solución del sistema es el par ordenado (1, 2 ) porque si sustituimos esos valores en la primera y la segunda ecuación obtenemos una expresión cierta. Veamos: 2(1) + 2 = 4 3(1) – 2 = 1 = = 1 4 = = 1

8 Ejemplo Determine si (-1, 6) es solución del sistema Solución:
5(-1) + 6 = 1 (-1) – 4(6) = 1 = = 1 1 = =1 Cierto Conclusión: NO ES SOLUCIóN Falso

9 COMO HALLAR LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA
Vamos estudiar solamente dos métodos, aunque hay varios, para hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Los dos métodos son: Método Gráfico Método de Eliminación

10 Método gráfico El método gráfico consiste en trazar la gráfica de ambas ecuaciones. Recordamos de nuestra primera unidad, que la gráfica de estas ecuaciones son rectas. Por lo tanto, visualmente tendremos dos rectas en el plano cartesiano. Si tenemos dos rectas en el plano pueden ocurrir tres posibilidades. ¿Sabes cuáles?

11 Método gráfico: tres posibilidades
Que las rectas se crucen en un solo punto. El punto donde se intersecan es la solución del sistema. Este sistema se conoce con el nombre de sistema independiente. Que las rectas nunca se crucen, es decir, dos rectas paralelas. Este sistema NO tiene solución y se conoce con el nombre de sistema inconsistente. Que una recta esté encima de la otra y por consiguiente sólo vemos una sola recta. Este sistema tiene infinitas soluciones y se conoce con el nombre de sistema dependiente.

12 Recuerde… Las rectas se trazan con el intercepto en y y con la pendiente.

13 Ejemplo 1 Halle la solución del sistema

14 Ejemplo 1 resuelva Trazamos la gráfica de la primera ecuación 2x + y = 4. Lo primero que tenemos que hacer es despejar para y. Y = -2x + 4 Observe que el intercepto en y es (0,4) y la pendiente es -2. Recuerde escribir la pendiente como un cociente, o sea,

15 Ejemplo 1: resuelva Pendiente -2 Intercepto en y es (0, 4)

16 Ejemplo 1 Ahora trabajamos con la segunda ecuación: -x + y = Repetimos el mismo procedimiento, es decir, despejamos para la y. Y = x + 1 Note que la pendiente es 1 ; el intercepto en y es (0,1). Trazamos esta gráfica en el mismo plano cartesiano.

17 El punto de intersección, es decir (1,2) es la solución del sistema
Ejemplo 1 El punto de intersección, es decir (1,2) es la solución del sistema

18 Ejemplo 1 Observe que las dos gráficas se intersecan en el par ordenado (1, 2). Este par es la solución del sistema. Verifique esta solución sustituyendo en el sistema original.

19 Ejemplo 2 Halle la solución del sistema
Solución: repita el mismo procedimiento que se utilizó en el ejemplo anterior.Es decir, despejar para la variable y ambas ecuaciones, usar pendiente e intercepto para trazar las rectas.

20 Ejemplo 2: resuelva Este sistema NO tiene solución porque no existe ningún punto de intersección

21 Ejemplo 3: resuelva Repita los mismos pasos del ejemplo 1 y del ejemplo 2.

22 Observe que solamente obtuvimos una sola recta
Ejemplo 3 Observe que solamente obtuvimos una sola recta

23 Ejemplo 3 Este sistema tiene infinitas soluciones porque ambas rectas coinciden, por eso solamente vemos una. Es un sistema dependiente.

24 Método Algebraico Este método consiste en trabajar con el sistema sin trazar la gráfica. El procedimiento es tratar de eliminar una de las variables ya sea sumando o restando las dos ecuaciones.

25 Ejemplo 4 Resuelva por el método de eliminación el sistema

26 Sabemos que el valor de x es 1
Ejemplo 4 Observe que si restamos las ecuaciones la variable y se elimina. Sabemos que el valor de x es 1 X = 1

27 Ejemplo 4 Una vez sabemos que x = 1 sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones para buscar el valor de y. Si sustituimos en la primera ecuación obtenemos, 2( 1) + y = 4 2 + y = 4 y = 4 – 2 y = 2 Por lo tanto, la solución es el par ordenado (1,2).

28 Ejemplo 5: resuelva Solución: Vamos a restar para eliminar la y.
Observe que ambas variables desaparecieron y que obtuvimos una igualdad que es falsa. Esto indica que el sistema NO tiene solución.

29 Ejemplo 6: resuelva Solución: Si queremos eliminar la y tenemos que multiplicar la primera ecuación por –2 y después sumar. Observe que ambas variables desaparecieron pero la igualdad es cierta. Esto quiere decir que tiene infinitas soluciones y por lo tanto es un sistema dependiente.

30 Fin Haz los ejercicios asignados del del libro de texto.