AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLACION

AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLACION

AJUSTE DE CURVAS MOTIVACION:
- Es común que los datos se dan como valores discretos a lo largo de un continuo. Sin embargo, se requiera la estimación de un punto entre valores discretos. Se puede necesitar la versión simplificada de una función complicada. METODOS: Si los datos exhiben un grado significativo de error, la estrategia será obtener una sola curva que represente la tendencia general de los datos (Regresión por mínimos cuadrados). Si los datos son muy precisos, el procedimiento será colocar una curva o una serie de curvas que pasen por cada uno de los puntos en forma discreta; usualmente estos datos provienen de tablas (Tablas de termodinámica).

AJUSTE DE CURVAS Métodos sin computadora para el ajuste de curvas. El método más simple para ajustar una curva a los datos consiste en ubicar los puntos y después trazar una curva que visualmente se acerque a los datos. Aunque ésta es una operación válida cuando se requiere una estimación rápida, los resultados son subjetivos de la persona que dibuja la curva. Por ejemplo, en la figura se muestran curvas trazadas a partir del mismo conjunto de datos por tres ingenieros. El primero caracterizó la tendencia general ascendente de los datos con una línea recta.

AJUSTE DE CURVAS El segundo usó segmentos de línea recta o interpolación lineal para unir los puntos. Si los valores se encuentran cercanos a ser lineales, tal aproximación ofrece estimaciones que son adecuadas en muchos cálculos de ingeniería. Si la relación es altamente curvilínea o los datos están muy espaciados, es posible introducir errores mediante esa interpolación lineal.

AJUSTE DE CURVAS El tercer ingeniero utiliza curvas suaves para tratar de capturar el serpenteado sugerido por los datos.

AJUSTE DE CURVAS Ajuste de curvas y práctica en ingeniería. Se han encontrado dos tipos de aplicaciones en el ajuste de datos experimentales: análisis de la tendencia y prueba de hipótesis. Análisis de la tendencia.- Representa el proceso de utilizar el comportamiento de los datos para realizar predicciones. En casos donde los datos son medidas de alta precisión, se usan polinomios de interpolación. Los datos imprecisos se analizan mediante una regresión por mínimos cuadrados. Se utiliza para predecir o pronosticar valores de la variable dependiente. Esto puede implicar una extrapolación más allá de los límites de los datos observados o una interpolación dentro del intervalo de los datos. Prueba de hipótesis.- Un modelo matemático existente se compara con los datos obtenidos. Si se desconocen los coeficientes del modelo, será necesario determinar los valores que mejor se ajusten a los datos observados. Por otro lado, si ya se dispone de la estimación de los coeficientes del modelo sería conveniente comparar los valores predichos del modelo con los observados para probar qué tan adecuado es el modelo. Con frecuencia, se comparan modelos alternativos y se elige “el mejor” considerando las observaciones hechas en forma empírica.

REGRESION POR MINIMOS CUADRADOS
Cuando los datos tienen errores sustanciales, la interpolación polinomial es inapropiada y puede dar resultados poco satisfactorios cuando se utiliza para predecir valores intermedios. Con frecuencia los datos experimentales son de este tipo. Por ejemplo, en la figura ¨a¨ se muestran siete datos obtenidos experimentalmente que presentan una variabilidad significativa. Una inspección visual de esos datos sugiere una posible relación entre y y x.

Ahora, si un polinomio de interpolación de sexto grado se ajusta a estos datos (figura b), pasará exactamente a través de todos los puntos. Sin embargo, a causa de la variabilidad en los datos, la curva oscila mucho en el intervalo entre los puntos. En particular, los valores interpolados para x = 1.5 y x = 6.5 parecen estar bastante más allá del rango sugerido por los datos.

Una estrategia más apropiada en tales casos consiste en obtener una función de aproximación que se ajuste a la forma o a la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente en todos los puntos. La figura c ilustra cómo se utiliza una línea recta para caracterizar de manera general la tendencia de los datos sin pasar a través de algún punto específico.

El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajutar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos: (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn). La expresión matemática para la línea recta es y = a0 + a1x + e Donde a0 y a1 son coeficientes que representan la intersección con el eje y y la pendiente, respectivamente, e es el error, o diferencia, entre el modelo y las observaciones. Al reordenar la ecuación anterior: e = y – a0 – a1x

Criterio para un “mejor” ajuste. Una estrategia para ajustar una “mejor” línea a través de los datos será minimizar la suma de los errores residuales de todos los datos disponibles, como sigue: Donde n = número total de puntos. Sin embargo, éste es un criterio inadecuado (figura), la cual presenta el ajuste de una línea recta de dos puntos. Sin embargo, cualquier línea recta que pase a través del punto medio que une la línea da como resultado un valor mínimo de la ecuación igual a cero, debido a que los errores se cancelan.

Por lo tanto, otro criterio lógico podría ser minimizar la suma de los valores absolutos de las discrepancias, La figura b muestra por qué este criterio también es inadecuado. Para los cuatro puntos dados, cualquier línea recta que esté dentro de las líneas punteadas minimizará el valor absoluto de la suma. Así, este criterio tampoco dará un único mejor ajuste.

Una tercera estrategia para ajustar una mejor línea es el criterio minimax. En esta técnica, la línea se elige de manera que minimice la máxima distancia a que un punto se encuentra de la línea. Como se ilustra en la figura , tal estrategia es inadecuada para la regresión, ya que da excesiva influencia a puntos fuera del conjunto; es decir, a un solo punto con un gran error.

La estrategia que supera las deficiencias de los procedimientos mencionados consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal. Este criterio tiene varias ventajas, entre ellas el hecho de que se obtiene una línea única para cierto conjunto de datos.

Para determinar los valores de a0 y a1 , la ecuación anterior se deriva con respecto a cada uno de los coeficientes: Al igualar estas derivadas a cero, se dará como resultado un Sr mínimo. Si se hace esto, las ecuaciones se expresan como

Ahora, si observamos que Σa0 = na0, expresamos las ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultáneas, con dos incógnitas (a0 y a1): Éstas se llaman ecuaciones normales, y se resuelven en forma simultánea Este resultado se utiliza conjuntamente con la ecuación anterior para obtener donde 𝑦 y 𝑥 son las medias de y y x, respectivamente.

Problema.- Ajuste a una línea recta los valores x y y en las dos primeras columnas de la siguiente tabla.

Solución.- Se calculan las siguientes cantidades: Cálculo de las incógnitas a0 y a1:

Solución.- El ajuste por mínimos cuadrados es: y = x

Cuantificación del error en la regresión lineal. Cualquier otra línea diferente a la calculada dará como resultado una suma mayor de los cuadrados de los residuos. Así, la línea es única y, en términos de nuestro criterio elegido, es la “mejor” línea a través de los puntos. Varias propiedades de este ajuste se observan al examinar más de cerca la forma en que se calcularon los residuos. El cuadrado del residuo representa el cuadrado de la discrepancia entre el dato y una estimación de la medida de tendencia central: la media. En la ecuación anterior, el cuadrado del residuo representa el cuadrado de la distancia vertical entre el dato y otra medida de tendencia central: la línea recta (figura).

El error estándar del estimado sy/x .- El subíndice “y/x” designa que el error es para un valor predicho de y correspondiente a un valor particular de x. También, observe que ahora dividimos entre n – 2 debido a que se usaron dos datos estimados (a0 y a1).

r es el coeficiente de correlación. En un ajuste perfecto, Sr = 0 y r = 1, significa que la línea explica el 100% de la variabilidad de los datos. Si r = 0, Sr = St el ajuste no representa alguna mejora. Una representación alternativa para r que es más conveniente para implementarse en una computadora es

Problema.- Calcule la desviación estándar total, el error estándar del estimado y el coeficiente de correlación para los datos del ejemplo anterior.

Solución.- Las sumatorias se realizan y se presentan en la siguiente tabla. El error estándar del estimado es: El coeficiente de correlación:

Programa computacional para la regresión lineal.- Es relativamente fácil desarrollar un seudocódigo para la regresión lineal. La opción de graficar resulta benéfico para el uso efectivo y la interpretación de la regresión. Tales capacidades se incluyen en paquetes de software populares como Excel y MATLAB. Se recomienda gráficar y contra x, que muestre tanto los datos como la línea de regresión. La inclusión de la capacidad aumentará mucho la utilidad del programa en los contextos de solución de problemas.

Linealización de relaciones no lineales.- La regresión lineal ofrece una poderosa técnica para ajustar una mejor línea a los datos. Sin embargo, se considera el hecho de que la relación entre las variables dependiente e independiente es lineal. Éste no es siempre el caso, y el primer paso en cualquier análisis de regresión deberá ser graficar e inspeccionar los datos en forma visual. Por ejemplo, en la siguiente figura se muestran algunos datos que obviamente son curvilíneos. En algunos casos, las técnicas como la regresión polinomial son apropiadas. En otros, se pueden utilizar transformaciones para expresar los datos en una forma que sea compatible con la regresión lineal.

El ajuste lineal no es bueno El ajuste por una parábola es adecuado

Ejemplo de un modelo exponencial.- Donde α1 y β1 son constantes. Este modelo se emplea en muchos campos de la ingeniería para caracterizar cantidades que aumentan (β1 positivo) o disminuyen (β1 negativo), a una velocidad que es directamente proporcional a sus propias magnitudes. Por ejemplo, el crecimiento poblacional o el decaimiento radiactivo tienen este comportamiento. Como se ilustra en la figura a, la ecuación representa una relación no lineal (para β1 ≠ 0) entre y y x. Por ejemplo, la ecuación se linealiza al aplicar el logaritmo natural se obtiene:

Figura a:

Otro ejemplo de modelo no lineal es la ecuación de potencias: Donde α2 y β2 son coeficientes constantes. Este modelo tiene muchas aplicaciones en todos los campos de la ingeniería. Como se ilustra en la figura b, la ecuación (para β2 ≠ 0 o 1) es no lineal. La ecuación anterior es linealizada al aplicar el logaritmo de base 10 se obtiene : De este modo, una gráfica de log y contra log x dará una línea recta con pendiente β2 e intersección con el eje de las ordenadas log α2.

Figura b:

Un tercer ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación de razón del crecimiento.- Donde α3 y β3 son coeficientes constantes. Este modelo particularmente es adecuado para caracterizar la razón de crecimiento poblacional bajo condiciones limitantes, también representa una relación no lineal entre y y x (figura c) que se iguala o “satura”, conforme x aumenta. La ecuación anterior es linealizada al invertirla para dar: De esta forma, una gráfica de 1/y contra 1/x será lineal, con pendiente β3 / α3 y una intersección con el eje de las ordenadas 1/ α3 .

Figura c:

Problema.- Ajuste la ecuación a los datos de la siguiente tabla mediante una transformación logarítmica de los datos. Una regresión lineal de esta transformación mediante logoritmos dan el siguiente resultado:

Solución.-Así, la intersección con el eje de las ordenadas es log α2 igual a –0.300 y, por lo tanto, al tomar el antilogaritmo, α2= 10–0.3 = 0.5. La pendiente es β2=1.75. En consecuencia, la ecuación de potencias es: y = 0.5x1.75 Esta curva, como se grafica en la siguiente figura, indica un buen ajuste. Gráfica de datos transformados Gráfica de datos no transformados

REGRESIÓN POLINOMIAL En la ingeniería, aunque algunos datos exhiben un patrón marcado, como el que se advierte en la figura, son pobremente representados por una línea recta, entonces, una curva podrá ser más adecuada para ajustarse a los datos. Un método para lograr este objetivo es utilizar transformaciones. Otra alternativa es ajustar polinomios a los datos mediante regresión polinomial.

REGRESIÓN POLINOMIAL El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste de datos con un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de segundo grado o cuadrático: En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es:

REGRESIÓN POLINOMIAL Al seguir el procedimiento de la sección anterior, obtenemos la derivada de la ecuación anterior con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomio, Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan para desarrollar el siguiente conjunto de ecuaciones normales:

REGRESIÓN POLINOMIAL Donde todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n. Observe que las tres ecuaciones anteriores son lineales y tienen tres incógnitas: a0, a1 y a2. Los coeficientes de las incógnitas se evalúan de manera directa, a partir de los datos observados. En este caso, observamos que el problema de determinar un polinomio de segundo grado por mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales simultáneas. El caso bidimensional se extiende con facilidad a un polinomio de m-ésimo grado como sigue: El análisis anterior se puede extender fácilmente a este caso más general. Así, se reconoce que la determinación de los coeficientes de un polinomio de m-ésimo grado es equivalente a resolver un sistema de m + 1 ecuaciones lineales simultáneas.

REGRESIÓN POLINOMIAL El error estándar se formula como sigue: Problema.- Ajustar a un polinomio de segundo grado los datos dados en las dos primeras columnas de la siguiente tabla.

REGRESIÓN POLINOMIAL Solución.- A partir de los datos dados: Cálculos para un análisis de error del ajuste cuadrático por mínimos cuadrados.

REGRESIÓN POLINOMIAL Entonces, las ecuaciones lineales simultáneas son: Resolviendo estas ecuaciones con una técnica como la eliminación de Gauss se tiene a0 = , a1 = y a2 = Por lo tanto, la ecuación cuadrática por mínimos cuadrados en este caso es:

REGRESIÓN POLINOMIAL El error estándar del estimado con base en la regresión polinomial es: El coeficiente de correlación es r = Estos resultados indican que con el modelo se explicó el % de la incertidumbre original. Este resultado apoya la conclusión de que la ecuación cuadrática representa un excelente ajuste.

REGRESIÓN POLINOMIAL Algoritmo para la regresión polinomial.- la principal tarea es la generación de los coeficientes de las ecuaciones normales. Paso 1: Introduzca el grado del polinomio sujeto a ajuste, m. Paso 2: Introduzca el número de datos, n. Paso 3: Si n < m + 1, imprima un mensaje de error que indique que la regresión no es posible y termine el proceso. Si n ≥ m + 1, continúe. Paso 4: Calcule los elementos de la ecuación normal en la forma de una matriz aumentada. Paso 5: Usando la matriz aumentada determine los coefi cientes a0, a1, a2,…, am, por medio de un método de eliminación. Paso 6: Imprima los coeficientes.

INTERPOLACION UNIDIMENSIONAL
Matlab provee dos tipos de interpolación en una sola dimensión: La interpolación polinomica La interpolación basada en FFT, este método calcula la transformada de Fourier de un vector que contiene los valores de una función periódica. La interpolación polinomica.- La función interp1 realiza interpolación de una sola dimensión, una operación importante para el análisis de datos y el ajuste de curvas, su forma general es: y1=interp1(x, y, x1, Método) Donde: x = Arreglo de valores de orden creciente y = Arreglo que contiene las imágenes de x de una función x1 = Es un número o arreglo de números los cuales van a ser interpolados.

Método = Son las operaciones a utilizar en la interpolación, nearest (valor del punto más próximo, linear (utiliza una función lineal para cada par de puntos consecutivos), spline (utiliza una función cúbica suave para cada par de puntos consecutivos), cubic (utiliza una función cúbica de Hermite). Ejemplo.- x=[ ]; y=[ ]; x1=[ ];% valores a interpolar y1=interp1(x,y,x1,'nearest'); plot(x,y) hold on plot(x1,y1,'or') grid

Ejemplo.- x=[ ]; y=[ ]; x1=[ ];% valores a interpolar y1=interp1(x,y,x1,'linear'); plot(x,y) hold on plot(x1,y1,'or') grid

INTERPOLACION BIDIMENSIONAL
La función interp2 permite interpolar en dos dimensiones, su forma general es: Z1=interp2(X, Y, Z, X1, Y1, Método) Donde: Z= Arreglo rectangular que contiene los valores de los puntos X,Y. X e Y = Arreglos de un mismo tamaño conteniendo los puntos para los cuales los valores de Z son dados. X1 e Y1 = Arreglos que contienen los puntos a interpolar Método = Son las opciones, existen tres métodos para dos dimensiones: nearest, bilinear, bicubic.

Ejemplo.- [x,y]=meshgrid(-3:1:3); z=3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2)-10*(x/5-x.^3-y.^5)..... *exp(-x.^2-y.^2)-1/3*(-(x+1).^2-y.^2); surf(x,y,z)

Ejemplo.- Con una malla más fina [x,y]=meshgrid(-3:0.25:3); z=3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2)-10*(x/5-x.^3-y.^5)..... *exp(-x.^2-y.^2)-1/3*(-(x+1).^2-y.^2); surf(x,y,z)

Ejemplo.- Interpolación de los puntos x1, y1 usando la opción nearset. [x,y]=meshgrid(-3:1:3); z=3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2)-10*(x/5-x.^3-y.^5)..... *exp(-x.^2-y.^2)-1/3*(-(x+1).^2-y.^2); surf(x,y,z) hold on x1=-3:0.3:3; y1=-3:0.3:3; [x1,y1]=meshgrid(x1,y1); z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'nearest'); surf(x1,y1,z1+10)

Ejemplo.- Interpolación de los puntos x1, y1 usando la opción bilinear. [x,y]=meshgrid(-3:1:3); z=3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2)-10*(x/5-x.^3-y.^5)..... *exp(-x.^2-y.^2)-1/3*(-(x+1).^2-y.^2); surf(x,y,z) hold on x1=-3:0.3:3; y1=-3:0.3:3; [x1,y1]=meshgrid(x1,y1); z1=interp2(x,y,z,x1,y1,‘bilinear'); surf(x1,y1,z1+10)

Ejemplo.- Interpolación de los puntos x1, y1 usando la opción bicubic. [x,y]=meshgrid(-3:1:3); z=3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2)-10*(x/5-x.^3-y.^5)..... *exp(-x.^2-y.^2)-1/3*(-(x+1).^2-y.^2); surf(x,y,z) hold on x1=-3:0.3:3; y1=-3:0.3:3; [x1,y1]=meshgrid(x1,y1); z1=interp2(x,y,z,x1,y1,‘bicubic'); surf(x1,y1,z1+10)

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