U.D. 9 * 2º ESO FIGURAS SEMEJANTES

Presentación del tema: "U.D. 9 * 2º ESO FIGURAS SEMEJANTES"— Transcripción de la presentación:

1 U.D. 9 * 2º ESO FIGURAS SEMEJANTES
π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

2 U.D. 9.3 * 2º ESO CRITERIOS DE SEMEJANZA
π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas pero distintas medidas en los lados. En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales. La razón de proporcionalidad de sus lados o razón de semejanza es: a’ b’ c’ r = ---- = ---- = ----- a b c a a’ b b’ c c’

4 TRIÁNGULOS SEMEJANTES
CRITERIO Dos triángulos serán semejantes si tienen sus lados proporcionales. C C’ Tenemos que se cumple, de entrada: a b c ---- = ---- = ---- a’ b’ c’ Sobre el lado A’B’ del triángulo A’B’C’ se lleva el segmento AB y se traza una paralela al segmento C’A’. Al estar ambos triángulos en posición de Tales, sus ángulos son iguales y por lo tanto son semejantes. a b a’ A C B b’ c A A’ B’ c’

5 TRIÁNGULOS SEMEJANTES
No siempre vamos a saber si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales y los tres ángulos correspondientes iguales. Por ello se tienen tres criterios para su identificación. CRITERIOS: 1.- Tienen los lados proporcionales. EJEMPLO La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: r = ---- = ---- = = 2 2, ,5 a=2,5 a=5 b=2 b=4 c=1,5 c=3

6 CRITERIO 2.- Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales. Consecuencia: Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual C C’ Sobre el lado CA se lleva el lado C’A’ y se traza una paralela al lado AB. Como los ángulos son iguales, ambos triángulos han quedado en posición de Tales, por lo cual son semejantes. b’ a’ b’ c’ A’ B’ A B

7 Tienen dos ángulos iguales.
EJEMPLO Tienen dos ángulos iguales. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual, pues siempre: A+B+C = 180º C=180º - A – B A=70º B=80º A=70º B=80º

8 El triángulo inscrito es igual al ABC.
CRITERIO 3.- Dos triángulos serán semejantes si tienen un ángulo correspondiente igual y los lados que lo forman son proporcionales. De entrada sabemos que A=A’ y que se cumple b c --- = ---- b’ c’ C C’ Sobre el lado A’B’ se lleva el segmento AB ( lado c) y se traza un segmento paralelo a B’C’. El triángulo inscrito es igual al ABC. Al quedar ambos en posición de Tales, son semejantes. a b a’ b’ B A c b c A’ B’ c’

9 EJEMPLO Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido vale igual. La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: r = ---- = ---- = 2 ,5 Las hipotenusas valdrán: a=√(42+32) = 5 a´=√(22+1´52) = 2,5 Comprobamos que son proporcionales: 5 r= -----= 2 2,5 b=2 b=4 A=90º c=1,5 A=90º c=3

10 TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES
Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. Los triángulos en posición de Thales son semejantes. b’=3 a=30 a’=5 a’=40 b=24 b’=4 l’=6 l’=6 c=9 a=2,5 b’=32 b=1 b=2 c=1,5 l=2 l=2 c’=3 c’=12