CAPITULO II: SOLUCION NUMÉRICA DE ECUACIONES

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1 CAPITULO II: SOLUCION NUMÉRICA DE ECUACIONES
Métodos Numéricos CAPITULO II: SOLUCION NUMÉRICA DE ECUACIONES

2 Introducción La solución de un problema puede, en parte, requerir la determinación de las raíces de una ecuación. Las raíces de una ecuación se definen como los valores de x que satisfacen la ecuación de la forma: f(x)=0. Ejemplos de estas ecuaciones son: f(x) = x2 + 3x + 2 = 0 g(x) = x6 - 2x5 - 3x4 + 16x2 - 2x +12 = 0 h(x) = x - tan x = 0. Las primeras dos ecuaciones son ejemplos de ecuaciones polinomiales, y la tercera es un ejemplo de una ecuación trascendente.

3 Tipos de Métodos Cerrados o Intervalos
Necesitan de dos variables iniciales, es decir, un intervalo (limite superior, limite inferior) para encontrar un resultado aproximado a la raíz. Los valores iniciales deben ¨encerrar¨ a la raíz. Método de Bisección o Búsqueda Binaria.

4 Tipos de Métodos Abiertos
Se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierren a la raíz. Cuando los métodos abiertos convergen lo hacen más rápido que los métodos cerrados. Iteración simple de punto fijo (Aproximaciones sucesivas) Newton – Raphson Secante

5 Iteración simple de punto fijo (Aproximaciones sucesivas)
Arreglar la ecuación f(x)=0 de tal modo que x esté del lado izquierdo de la ecuación: x=g(x) La transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x a cada lado de la ecuación original. Ejemplos: 𝑥 2 −2𝑥+3=0 𝑥= 𝑥 sin 𝑥 =0 𝑥= sin 𝑥 +𝑥

6 Iteración simple de punto fijo (Aproximaciones sucesivas)
Fórmula: 𝑥 𝑖+1 =𝑔( 𝑥 𝑖 ) Dado un valor inicial para la raíz xi, la ecuación se utiliza para obtener una nueva aproximación xi+1. El error aproximado: 𝐸 𝑎 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 𝑥 𝑖 100%