Resumen de Fórmulas – Matemática Financiera

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1 Resumen de Fórmulas – Matemática Financiera
Universidad de la República – Facultad de Ciencias Económicas y Administración Resumen de Fórmulas – Matemática Financiera INTERES Y DESCUENTOS, RENTAS Leyes financieras de cálculo interés simple: 𝑉𝐹=𝑉𝑃 1+𝑛𝑖 interés compuesto: 𝑉𝐹=𝑉𝑃 1+𝑖 𝑛 𝑛 , 𝑖 expresados en igual unidad de tiempo Tasas Nominales de interés compuesto: 𝑗 𝑚 definida en un cierto período y con m capitalizaciones en esa unidad de tiempo. 𝑗 𝑚 𝑚 = 𝑖 𝑝 tasa efectiva para el período p entre dos capitalizaciones. Tasa Nominal de capitalización instantánea 𝛿 𝑉𝐹= 𝑉𝑃 𝑒 𝛿𝑛 Descuento de Documentos: 𝐷=𝑉𝑁 −𝑉𝐴 Comercial Simple: 𝑉𝐴=𝑉𝑁 1−𝑛𝑑 Comercial Compuesto: 𝑉𝐴=𝑉𝑁 1−𝑑 𝑛 Racional Simple: 𝑉𝐴= 𝑉𝑁 1+𝑛𝑑 Racional Compuesto: 𝑉𝐴= 𝑉𝑁 1+𝑑 𝑛 𝑛 , 𝑑 expresados en igual unidad de tiempo Tasa Nominal de Descuento Comercial Compuesto: 𝑓 𝑚 definida en un cierto período y con m aplicaciones en esa unidad de tiempo. 𝑓 𝑚 𝑚 = 𝑑 𝑝 tasa efectiva de descuento para el período p entre dos aplicaciones. Equivalencia de tasas de interés compuesto: Dos tasas de interés compuesto son equivalentes cuando iguales VP luego de iguales cantidades de tiempo se transforman en iguales VF. Ejemplos: 𝑖 𝑎 = 1+ 𝑖 𝑚 12 − 𝑖 𝑚 = 1+ 𝑖 𝑠 1/6 −1 Tasas en diferentes monedas: 1+ 𝑖 $ = 1+ 𝑖 $𝐸 1+𝑑𝑒𝑣 Todas las tasas expresadas en igual unidad de tiempo. 𝑑𝑒𝑣 es la tasa efectiva de devaluación del peso ($) respecto a la moneda extranjera ($E) durante el período en cuestión, 𝑑𝑒𝑣 𝑘 = 𝑇𝐶 𝑘 𝑇𝐶 𝑘−1 −1 Tasa real (𝒓): 1+𝑖 = 1+𝑟 1+ℎ Todas las tasas expresadas en igual unidad de tiempo. ℎ es la tasa efectiva de inflación durante el período en cuestión, medida por un índice de precios (𝐼𝑃), ℎ 𝑘 = 𝐼𝑃 𝑘 𝐼𝑃 𝑘−1 −1 Amortización e Interés: 𝐶 𝑘 = 𝐼 𝑘 + 𝐴 𝑘 𝐼 𝑘 = 𝑆 𝑘−1 𝐷 ∙𝑖 𝐴 𝑘 =𝑆 𝑘−1 𝐷 − 𝑆 𝑘 𝐷 𝑘=𝑗 𝑗+ℎ 𝐴 𝑘 = 𝑆 𝑗−1 𝐷 − 𝑆 𝑗+ℎ 𝐷 Rentas caso general: 𝑅 𝑡,𝑛,𝑖 = 𝑘=1 𝑛 𝐶 𝑘 1+𝑖 𝑡−𝑘 Rentas Cuotas Constantes: 𝑅 𝑡,𝑛,𝑖 =𝐶∙𝑉 𝑡,𝑛,𝑖 =𝐶 1− 1+𝑖 −𝑛 𝑖 1+𝑖 𝑡 Saldos: 𝑆 𝑘 𝐷 =𝑅 0,𝑛−𝑘,𝑖 𝑆 𝑘 𝐴 =𝑅 1,𝑛−(𝑘−1),𝑖 𝑆 𝑘 𝐴 = 𝑆 𝑘 𝐷 + 𝐶 𝑘 𝑆 𝑘+1 𝐴 = 𝑆 𝑘 𝐷 1+𝑖 PROYECTOS DE INVERSIÓN Supuestos Básicos sobre Ingresos Netos 𝐼 0 <0 𝐼 𝑘 ≥0 ⩝𝑘∈ ℕ, 1≤𝑘≤𝑛 𝑘=0 𝑛 𝐼 𝑘 >0 Tasa interna de retorno real (tirr): 𝒓 ∗ Si la inflación es constante en todo el período: 𝒉 𝑟 ∗ = 𝑟−ℎ 1+ℎ Si el Índice de Precios al Consumo es 𝑰𝑷𝑪 𝒌 con 0≤𝒌≤𝒏 𝐼 𝑘 ∗ = 𝐼 𝑘 𝐼𝑃𝐶 𝑘 𝐼𝑃𝐶 𝐼 0 + 𝑘=1 𝑛 𝐼 𝑘 ∗ 𝑟 ∗ 𝑘 =0 Evaluación de una inversión: Valor Presente Neto: 𝑉𝑃𝑁= 𝐼 0 + 𝑘=1 𝑛 𝐼 𝑘 1+𝑖 𝑘 Tasa Interna de Retorno (Tir): r 𝐼 0 + 𝑘=1 𝑛 𝐼 𝑘 1+𝑟 𝑘 =0 Valor Presente Neto Promedio (VPNP) 𝑉𝑃𝑁𝑃= 𝑉𝑃𝑁 𝑉 0,𝑛,𝑖 con 𝑉 0,𝑛,𝑖 = 1− 1+𝑖 −𝑛 𝑖 Notación: 𝒏 es la duración del proyecto en períodos 𝒊 es la tasa de costo de capital Tasa interna de retorno terminal (tirt): 𝒓 ′ 𝐼 0 + 𝑘=1 𝑛 𝐼 𝑘 1+𝑖 𝑛−𝑘 𝑟′ 𝑛 =0 Tasa de Fisher: 𝒊 𝑭 𝐼 0 𝐴 + 𝑘=1 𝑛 𝐴 𝐼 𝑘 𝐴 𝑖 𝐹 𝑘 = 𝐼 0 𝐵 + 𝑘=1 𝑛 𝐵 𝐼 𝑘 𝐵 𝑖 𝐹 𝑘 Reinversiones: 𝑉𝑃𝑁 𝑘 =𝑉𝑃𝑁 1− (1+𝑖) −𝑛𝑘 1− (1+𝑖) −𝑛 𝑉𝑃𝑁 ∞ = 𝑉𝑃𝑁 1− (1+𝑖) −𝑛

2 𝑥: edad de la persona en años enteros
BONOS Valor Redención: 𝑉𝑅 ; coincide con Valor Nominal (𝑉𝑁) a menos que se indique lo contrario Tasa de Costo de Capital: 𝑖 Bono Bullet 𝑃𝑀= 𝑘=1 𝑛 𝐶 𝑘 1+𝑖 𝑘 + 𝑉𝑅 1+𝑖 𝑛 Si C es constante: 𝑃𝑀=𝐶 1− 1+𝑖 −𝑛 𝑖 + 𝑉𝑅 1+𝑖 𝑛 Tasa interna de retorno (TIR): 𝑟 −𝑃𝑀+𝐶 1− 1+𝑟 −𝑛 𝑟 + 𝑉𝑅 1+𝑟 𝑛 =0 Rendimiento Corriente: 𝑅𝑒𝑛𝑡= 𝐶 𝑃𝑀 Bono Cupón Cero Precio Mercado : 𝑃𝑀= 𝑉𝑅 1+𝑖 𝑛 Tasa interna de retorno (TIR): 𝑟 −𝑃𝑀+ 𝑉𝑅 1+𝑟 𝑛 =0 CALCULO ACTUARIAL 𝑥: edad de la persona en años enteros 𝑙 𝑥 : número de personas con vida exactamente a la edad 𝑥, integrantes del grupo inicial 𝑙 0 𝑣= 1 1+𝑖 𝑑𝑖𝑓 𝑞 : contrato diferido q años Costo Puro del Seguro Dotal Puro: Costo Puro de Renta anual Adelantada en caso de vida: Vida entera: Por n años: Vida entera diferido: Por n años diferido: Costo Puro de Renta anual Vencida en caso de vida: Vida entera: Por n años: Vida entera diferido: Por n años diferido: Costo Puro de un Seguro de muerte PACIPF Vida entera: Por n años: Vida entera diferido: Por n años diferido: Costo Puro de un Seguro de muerte PMF Vida entera: Por n años: Vida entera diferido: Por n años diferido: Costo Puro del Seguro Dotal Mixto: Seguro de Muerte PACIPF: Seguro de Muerte PMF: Primas Puras Anuales: 𝑃𝑃𝐴= 𝐶𝑃 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜 𝐶𝑃 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝐶𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑖𝑑𝑎 Reserva Matemática Pura (en el momento k): RMPK = Obligaciones futuras del Asegurador (en k) – Obligaciones futuras del Asegurado (en k)