Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería

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Ejercicio: La figura muestra los detalles de una pila de un puente que está cimentada en el lecho de un río sobre un depósito de arena de densidad de 2 ton/m3 y un ángulo de fricción efectivo de 35º. La profundidad del río es de 4m y la base de la pila está localizada a 3 m por debajo del lecho río. La pila tiene 3 m de ancho y soporta una carga de 150 ton/m, incluido el propio peso de la estructura y el de la cimentación. Calcular el factor de seguridad contra la falla por capacidad portante en condiciones drenadas y el factor de seguridad respecto a la resistencia al corte.

Datos: Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Df= 3 m γ_sat= 2 ton/m³ B= 3 m ф= 35 grados γw = 1 ton/m³ Q= 150 ton/m γ´= γ_sat- γw γ´ =1 tonm3

a.- El factor de seguridad contra la falla por capacidad portante en condiciones drenadas. b.- El factor de seguridad contra respecto a la resistencia al corte. c.- ¿Qué ocurre con el factor de seguridad, sí el nivel de agua sube dos metros?

Aplicando los factores de Peter- Reid:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Solución parte a: La ecuación de capacidad de carga es la clásica: qult = ½. B . γ´. Nγ+ σ’. Nq +c.Nc c= 0 (arena) Aplicando los factores de Peter- Reid: ф: = 35. π/ 180 Nq = exp (π.tan (ф)) . tan2 ﴾π/4 + ф/2) Ec. 318, pág 129

Esfuerzo total en le fondo de la pila: σ = 4.γw+ Df.γ_sat σ = 10
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Nγ= Nq – 1 Nq= Nγ= q= Df. γ´ q= 3 ton/m² qult= ½. B. (γ´). Nγ+ q. Nq qult= ton/m² Ec. 319, pág 129 Esfuerzo total en le fondo de la pila: σ = 4.γw+ Df.γ_sat σ = 10 u = 4.γw + Df.γw u = 7 σ΄= σ – u σ´= 3 ton/m² (igual a q= 3 ton/m2) Vea ec. 321, pág 130

Determinación del esfuerzo aplicado q_aplicada:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Determinación del esfuerzo aplicado q_aplicada: A= B.1 (área de la base de la fundación por metro lineal) A = 3 m2 q_ aplicada = Q/A – 4.γw- Df.γ_sat A: área por metro lineal Q: carga por metro lineal (150 ton/m) q_ aplicada= 40 ton/m qult = ton/m2 qadm= q_ aplicada FS= qult / q_ aplicada FS= 3.708 qult_neta= qult –q qult_neta= ton/m² FS= qult_neta/ q_aplicada FS= 3.633 (FS > 3 )√

Nγ= exp (π.tan (фm)) .tan ² ( π/4+ фm/2) - 1
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Solución parte b: Factor de seguridad respecto a la resistencia al corte: qadm= ½. B (γ΄). (Nγ) + q.(Nq) Aquí los factores de capacidad de carga son obtenidos con un ángulo de fricción movilizado. qadm= q_ aplicada Nγ= exp (π.tan (фm)) .tan ² ( π/4+ фm/2) - 1 Nq= exp (π.tan (фm)).tan ² ( π/4+ фm/2) En ambos factores de capacidad de carga se están usando la fricción movilizada.

Фm= 20,21..30

ф= 0.611 (radianes) фm= фm.(180/π) фm= 23.609º фm= фm.(π/180)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería фm= 20.π/ TOL≡ 10ˆ(-5) f ( фm) = [½ . B.(γ΄) . ( exp(π.tan(фm)) . tan (π/4 + фm/ 2)² -1) + q. …(exp(π.tan(фm)).tan (π/4 + фm/ 2)² )] + (-1) . q_ aplicada фm= root (f(фm),фm) фm= (radianes) ф= (radianes) фm= фm.(180/π) фm= º фm= фm.(π/180) FS= tan (ф)/ tan (фm) FS= 1.602

Otra forma de resolver la parte b tan (фm) = ⁬ фm= atan
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Otra forma de resolver la parte b tan (фm) = ⁬ фm= atan FS= TOL= 10ˆ(-5) FS= root (f(FS),FS) FS = 1.602

Solución parte c: (sí la altura de agua asciende 2 m el nivel)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Solución parte c: (sí la altura de agua asciende 2 m el nivel) La altura del agua es 6 m La ecuación de capacidad de carga es clásica: qult= ½ . B.γ΄.Nγ+q.Nq+c.Nc Aplicando los factores de Peter – Reid: ф= 35. Nq = exp(π.tan(ф)).tan Nγ = Nq-1 Nq = ; Nγ= q = Df. γ´ q= 3 ton/m²

Esfuerzo total en el fondo de la pila: σ = 6. γw + Df.γ_sat
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Esfuerzo total en el fondo de la pila: σ = 6. γw + Df.γ_sat σ = 12 ton/m² u = 6 . γw+Df.γw u = 9 ton/m² σ´ = σ –u σ´ = 3 ton/m² qult= ½ . B. (γ´) . Nγ +q.Nq qult= ton/m² (es decir que la capacidad de carga no varió)

Determinación del esfuerzo aplicado q_ aplicada: A= B.1
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Determinación del esfuerzo aplicado q_ aplicada: A= B.1 q_ aplicada= Q/A γw - Df.γ_sat + 2. w (se le suma dos metros de agua porque es carga que se coloca luego de la construcción) A: área por metro lineal Q: carga por metro lineal q_ aplicada= 42 tn/m² qadm= q_ aplicada FS= qult /q_aplicada FS= 3.532 qult_neta= qult –q qult_neta= ton/m² FS= qult_neta /q_aplicada FS= 3.46

Ejercicio: Calcular el factor de seguridad para el problema planteado.
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Ejercicio: Calcular el factor de seguridad para el problema planteado. β= 10° d= m Qv= ton Qh= ton h_zapata= 0.50 m γ_ concreto= 2.4 tonm3 d B

Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Aplique Meyerhot. Si es necesario interpole para hallar el valor de Nγq tomando en cuenta el empotramiento. Aplique el factor de inclinación de Meyerhot al resultado. Trabaje con el empotramiento del centro de la zapata. Aplique ec. General. Considere los factores de forma de De Beer y de inclinación de Meterhot y de empotramiento de Meyerhot. Tome las dimensiones necesarias respecto al centro de la zapata. Aplique la ec. general. Considere los factores de forma de De Beer y de inclinación de Meyerhot y no considere los factores de empotramiento. Tome las dimensiones necesarias respecto al centro de la zapata

q_ult= ½.γ.B.Nγ.Sγ. iγ.dγ.gγ. +q. Nq.sq.iq.dq.gq
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería d) Aplique ec. general. Considere los factores de forma de De Beer y de inclinación de Meyerhot y de empotramiento de Meyerhot. Tome las dimensiones necesarias respecto al centro de la zapata. Tome en cuenta los factores de inclinación del terreno. q_ult= ½.γ.B.Nγ.Sγ. iγ.dγ.gγ. +q. Nq.sq.iq.dq.gq e) Aplique ec general. Considere los factores de forma de De Beer y de inclinación de Meyerhot y de empotramiento de Meyerhot. Tome las dimensiones necesarias respecto a los puntos más desfavorables de la zapata. Tome en cuenta los factores de inclinación del terreno. q_ult= ½.γ.B.Nγ.Sγ. iγ.dγ.gγ.bγ+q. Nq.sq.iq.dq.gq.bq

q_ult= ½.γ.B.Nγ.Sγ. iγ.dγ.gγ.bγ+q. Nq.sq.iq.dq.gq.bq
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería f) Considere que la zapata es paralela al terreno. Aplique la ec. general. Considere los factores de forma de De Beer y de inclinación de Meyerhot y de empotramiento de Meyerhot. Tome las dimensiones necesarias respecto a los puntos más desfavorables de la zapata. Tome en cuenta los factores de inclinación del terreno y de inclinación de la zapata. q_ult= ½.γ.B.Nγ.Sγ. iγ.dγ.gγ.bγ+q. Nq.sq.iq.dq.gq.bq g) Resolver el problema corrigiendo los factores de capacidad de carga aplicando el método propuesto por Bowles. Nota: Para q_ aplicada considere una altura de zapata de 0.50m

γ_sat= ton/m γ_w= 1 tonm tan =0.176 ф=35º c= 0 γ_h= 1.9 ton/m3 γ´= γ_sat – γ_w γ´=0.95 ton/m3

Aplicando la metodología de Meyerhot para fundaciones en ladera:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Aplicando la metodología de Meyerhot para fundaciones en ladera: q_ult= ½. γ. B. Nγq Df= 1.5 m B= 2 m L= 3 m =0.75 Con β = 10° y ф= 35° y una realción de empotramiento D/B= 0.75 = β= ф= Nγq= 25 = Nγq= (100 – 25) Nγq= 81.25 = β= ф= Nγq= 100 ver ec. 384, pág 162 y fig. 191

Nγq= 81 = γ= 1.188 q_ult = ½ γ. B. Nγq q_ult= 96.188 ton/m² Q= ?
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Nγq= 81 = γ= 1.188 q_ult = ½ γ. B. Nγq q_ult= ton/m² Q= ? α = atan α. = 5.711 Q=

Este valor de q_ult debe ser corregido por inclinación de la carga:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Este valor de q_ult debe ser corregido por inclinación de la carga: iγ = iγ= 0.7 q_ult= q_ult . iγ q_ult= ton/ m² q_aplicada=

Si no se considera el factor de inclinación: q_ult= ½. γ. B. Nγq
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería q_aplicada = ton/ m² FS= FS= 1.498 Si no se considera el factor de inclinación: q_ult= ½. γ. B. Nγq q_ult= ton/ m² FS= 2.139

b. Aplicando la ecuación general considerando empotramiento
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería b. Aplicando la ecuación general considerando empotramiento (factores forma de De Beer, inclinación y empotramiento Meyerhof) (dimensiones respecto al centro) ф= 35º q_ult= ½.γ.B.Nγ.sγ iγ.dγ +q. Nq.sq.iq.dq ф = Nq= exp (π.tan (ф)) .tan ( π/4+ ф/2) ² ф= rad Nγ= 2 (Nq + 1) . tan (ф) Nq= q = Df. γ_h Nγ= q = 2.85 factores de forma De Beer: sγ = sq= 1 + sγ = sq= 1.467 Ec , pág 137 Ec pág 137 329.6, pág 135 Ec 329

Factores de inclinación de Meyerhot:
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Factores de inclinación de Meyerhot: iγ = iq= iγ = iq= 0.877 Factores de empotramiento Meyerhot : ф= 0.611 Nф= tan Nф= 3.69 Ec y pág 136

dγ= 1 + 0.1 . Nф ½ . ф>10° D<B dq= 1 + 0.1 . Nф ½
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Ec , pág 137 Ec pág 137 dγ= Nф ½ ф>10° D<B dq= Nф ½ dγ = dq= 1.144 q_ult= ½.γ.B.Nγ.sγ iγ.dγ +q. Nq.sq.iq.dq ½.γ.B.Nγ.sγ iγ.dγ= q. Nq.sq.iq.dq = q_ ult= ton/ m² FS= FS= 3.851 γ= ton/m3 q_aplicada = ton/ m²

c. aplicando la ecuación general sin considerar empotramiento (S de DE Beer, inclinación Meyerhof, empotramiento 1, dimensiones centro) dγ:= dq:= 1 q_ult:= 1 .γ.B.Nγ·Sγ·iγ·dγ+ q·Nq·sq·iq·dq 2 1.γ.B.Nγ·Sγ·iγ·dγ = q- Nq-sq-iq-dq = q_ult = ton/m2 FS:= q ult___ q_aplicada FS =3.366 d.- Aplique la ec. general. Considere los factores de forma de De Beer y de inclinación de Meyerbot y de empotramiento de Meyerbot. Tome las dimensiones necesarias respecto al centro de la zapata. Tome en cuenta los factores de inclinación del terreno.

dq:= N1/2 Df B dγ:= N1/2 Df B Φ>10º D<B Factores de inclinación del terreno (Vesic):

Facultad de Ingeniería q_ult:= 1 .γ.B.Nγ·Sγ·iγ·dγ.gγ+ q·Nq·sq·iq·dq.gq 2 Similar al valor obtenido por Meyerhof, sin considerar la inclinación del carga FS= 2.139 q_ult = ton/m2 FS:= q ult___ q_aplicada FS =2.967 e.- Aplique Ia ec. general. Considere los factores de forma de De Beer y de inclinación de Meyerhot y de empotramiento de Meyerhot. Tome las dimensiones necesarias respecto a !os puntos más desfavorables de Ia zapata. Tome en cuenta los factores de inclinación del terreno.

El anterior γ= 1.188 ton/m3 Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería Qv :=250 ton Qh=25 ton B=2 m L :=3 m γh = 1.9 ton/m3 γsat:= ton/m3 γw:= l ton/m β := 10 º El anterior γ= ton/m3 Valores anteriores

Factores de inclinación del terreno (Vesic) Anterior: q_ult = ton/m2 Anterior FS =2.967

Ejercicio 2.4 Prof. febres (propuesto)
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Ejercicio 2.4 Prof. febres (propuesto) f. Es eI ejercicio anterior, pero con la base de la zapata paralela al terreno. Factores “S” de De Beer, Inclinación Meyerhof. Todas las dimensiones respecto a los ptos más desfavorables. Tome en cuenta factores de inclinación del terreno y zapata.

Ahora hay que afectar la carga última por inclinación de la zapata.

Ejercicio: Una prueba de carga con placa ha indicado una falla por capacidad de carga, a una presión aplicada de 35 ton/m2 en una arena. La placa es cuadrada, de 30 cm de lado y se cargó a 1 m bajo la superficie del terreno. El peso específico del suelo se estima en 1.60 ton/m3. Calcular: La capacidad de carga de una zapata cuadrada de 2 m de lado, cimentada a 1m bajo la superficie del terreno arenoso, cuando se considera falla local. Placa de 30 x30 cm B = 2 m cuadrada

Aplique: a.- Teoría clásica de Terzaghi para falla general b Teoría clásica de Terzaghi para falla local c.- Interprete los resultados obtenidos de la fricción y factores de capacidad de carga para falla local y general. d.- Los factores de Peck, Hansen y Thornburn y la ecuación de Lamber y Whitman. e.- Ecuación general. f.- Del resultado de la ec. general si q_aplicada=100/B^2 ton/m2, determine B. FS = 3

a. Aplicando Terzaghi para falla general zapata cuadrada. Ec. 145 pág 99 Por ser arena, el suelo de fundación entonces se tiene: Para la placa se tiene: Sustituyendo qult = 35 y B = 0.30 m, en la ecuación y buscando los factores de capacidad de carga en los diagramas de Terzaghi para general general hasta que converga, se obtiene el ángulo de fricción que da solución al problema.

Falla general Proceso de convergencia: Pag 99

Solución del problema Consideremos que es la solución

Para la zapata real la capacidad de carga última será : b.- Aplicando Terzaghi para falla local zapata cuadrada. Ec. 149, pág 99 Por ser arena: Para la placa

Proceso de convergencia: Falla local Pag 100

Es la solución Se considera que es la solución

Para la zapata real la capacidad de carga última será : c.- Comparación de valores Por falla general: Por falla local:

Cuando se hace el análisis por falla local para alcanzar las 35 ton/m2, nos indica que la arena para alcanzar la falla general tiene una gran capacidad de carga, logicamente mayor a 35 ton/m2. Cuando se hace el análisis por falla general nos dice que la arena tiene una fricción bastante baja de 28 º y que su capacidad de carga por falla local será menor a las 35 ton/m2. El un diseño para definir B, debemos de tomar en cuenta las condiciones de campo del sitio para ver si diseñamos para los 28º o decidimos diseñar para falla local correspondientes a los 28º de falla general, es decir para tener una capacidad de carga aún menor a las 35 ton/m2.

d.- Los factores de Peck, Hansen y Thornburn y la ecuación de Lamber y Whitman. No se dio en el texto Para la placa la ecuación debe igualarse a: Proceso de iteración:

Falla local Pág 102

Esta es la solución Para la zapata real se tendrá:

Observación: La solución aplicando los factores de capacidad de carga de Terzaghi se encontró para una fricción igual a 38º, mientras que para los factores de Peck, Hansen y Thornburn 32º. Vemos entonces lo conservador que es Terzaghi. e.- Ecuación general. Ec 329, pág 135

q_ult Expresión de q_ult

Pendiente Iteración 0 1 f(0) f(1) 2 - ó + + ó -

La solución se encuentra para una fricción de 27.24º grados. Evaluando para la zapata real se obtiene:

f.- B = ? para q_aplicada = 100 / B ^2 del resultado ec. general. FS = 3

Ejercicio: Las propiedades físicas del material en el cual se construyen la zapata son las siguientes:

Considere altura de zapata h, igual a 40 cm yConsidere factor de seguridad FS = 3

Se pide: a.Diseñe zapata cuadrada considere Meyerhot b.Determine q_aplicada c.Determine qult dDetermine q_adm e-Aplique el método de la secante f Diseñe la zapata considerando los factores de inclinación de Hansen (1970) modificados por Vesic (1975) g- Diseñe la zapata considerando los factores de forma de De Beer. h.- Diseñe sin considerar los factores de empotramiento y de forma y de onclinación de Meyerhot. L = B zapata cuadrada

- Peso unitario por encima del nivel freático sobre_carga: Peso unitario que debemos aplicar en la ec. general:

No existe excentricidad: Como e = 0, por tanto B’ = B Factores de capacidad de carga: Factores de forma De Meyerhof:

Factores de Inclinación de Meyerhof: Factores de empotramiento de Meyerhof:

Sustituyendo en la ec. general: Igualando q_aplicada = q_adm

Respuesta Parte a B = 1.85 m

Facultad de Ingeniería Parte b Parte c

Parte d Parte e Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Solución aplicando el método de la secante Primera iteración

Segunda iteración:

Tercera iteración:

Cuarta iteración:

Quinta iteración: ES LA SOLUCIÓN

Sexta iteración

Parte f Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Factores de inclinación de Hansen (1970) modificados por Vesic (1975)

Antes B = m La solución será B = 1.90 m

Parte g Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Veamos los valores de los factores de inclinación: Parte g Veamos que pasa cuando se toman los factores de forma de De Beer:

Antes B = m Meyerhof Antes B = Factores i Vesic Solución B = 2 m

Parte h Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Diseño sin considerar los factores de empotramiento

Antes B = m Meyerhof Antes B = Factores i Vesic Solución B = 1.95 m Sin tomar los factores de empotramiento

Problema Nº 1 Proyecto de zapatas:La fig. muestra las condiciones generales del suelo, en el más desfavorable de seis sondeos.

Considere las siguientes resistencias: Para la zapata del muro qu = 7.32 ton/m2 Para la zapata cuadrada qu = 8.30 ton/m2 FS = 3 para falla por capacidad portante. concreto = 2.4 ton/m3 Determine: a.- Area requerida para la zapata del muro b.- Area requerida para la zapata cuadrada Parte a Por ser arcilla: Como la zapatas no tiene ningún empotramiento, solamente están empotradas en su altura de concreto, la ecuación se escribe, como: No existe empotramiento

Aplicando Skempton para el factor de capacidad de carga: Como D/B = 0 y B/L =0, el valor de Nc será: Nc =5 Sin embargo, si se obtiene de la tabla que presenta Skempton, para fundaciones continuas, y son empotramiento, su valor es: Nc = 5.14 La resistencia no drenada para el muro, será: Por tanto la capacidad de carga, para este caso será: La carga aplicada por metro lineal será

Nota: Se debería restar la otra parte de la zapata de ancho (B/2), que corresponde al sótano. hexc= m – m m hexc = 2.06 m (No tomando en cuenta la excentricidad )

Si se toma en cuenta el empuje activo: Como se  =0, la ec. resulta: h: altura del muro h = hexc + hzapata h = h = 2.51 m (no existe empuje del suelo) Ea = ton/m

Ea = 2.21 ton/m (sino se considera la cohesión). En esta caso hay excentricidad Pesos: Sin embargo, si se toma en cuenta que el peso W1 se ha quitado al otro lado de la zapata, la carga aplicada será:

Parte b Area requerida para la zapata cuadrada interna. No existe empotramiento De la tabla de Skempton para Df/B =0  Nc = 6.20

Ejercicio: Diseñe el área requerida de las zapatas laterales y de las zapatas internas.

Diseñe para un FS = 3 por falla portante · Aplique la ec. general Datos de la arena I:  = 1.44 ton/m3  = 30º Datos de la arena II:  = 1.84 ton/m3 N = 18 golpes/pie Para SPT =  = 33º Diseño zapatas internas hexc = m – m m hexc = 1.80 m

con  = 33º resulta N = y Nq = 26.09

Diseño de las zapatas laterales : P T

Carga por pared de muro sobre la zapata: Considerando que el muro atraviesa todo el ancho de zapata. Esfuerzo vertical a la profundidad de 1.50 m, será:

Esfuerzo horizontal que produce este esfuerzo vertical por debajo de 1.50 m, será: Empuje activo total, será: Punto de aplicación del empuje Ea, será:

Pesos W1, W2 y W3: W1=? La normal a la base será:

Ubicación de la normal respecto al punto “P”: Sustituyendo, resulta: Proceso iterativo, para determinar el ancho apropiado del muro: Primer tanteo · Si B = 1 m yN = m N=77.77 ton

También qaplicada, puede ser obtenida:

qadm = ? q_máx= ton/m2 q_aplicada = ton/m2

Segundo tanteo · Si B = 2 m yN = N = ton

También qaplicada, puede ser obtenida: qadm = ?

Tercer tanteo · Si B = 1.80 m yN = N = ton

También qaplicada, puede ser obtenida:

qadm = ?

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