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Apuntes 2º Bachillerato C.T.
VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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PRODUCTO VECTORIAL U.D * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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PRODUCTO VECTORIAL El producto VECTORIAL de dos vectores libres , u y v, es otro vector perpendicular a ambos, o sea perpendicular al plano que forman los dos vectores factores. Se define así: |uxv| = |u|.|v|. sen[u,v] Si u=(a, b, c) = (ai + bj + ck) y v=(a´, b´, c´) = (a´i + b´j + c´k) uxv = (ai + bj + ck).(a´i + b´j + c´k) = = a.a´.ixi + a.b´.ixj + a.c´.ixk + + b.a´.jxi + b.b´.jxj + b.c´.jxk + + c.a´.kxi + c.b´.kxj + c.c´.kxk = Como ixi =jxj = kxk = 1.1.sen 0º = = 0 Y además: ixj = k, jxk=i, kxi=j jxi = -k, ixk = -j, kxj=-i Tenemos que: uxv = a.b´.k + a.c´.(-j) + b.a´.(-k) + b.c´.i + c.a´.j + c.b´.(-i) uxv = (b.c´ - c.b´)i + (c.a´ - a.c´) j + (a.b´ - b.a´) k uxv v [u,v] u @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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MATRIZ Y VALOR PRODUCTO
MATRIZ DE UN PRODUCTO VECTORIAL El producto VECTORIAL de dos vectores libres es el vector: uxv = (b.c´ - c.b´)i + (c.a´ - a.c´) j + (a.b´ - b.a´) k Que podemos expresar en forma de matriz: i j k (UxV) = a b c a´ b´ c´ Si las filas de coeficientes son iguales o proporcionales, el valor es 0, no hay producto vectorial al ser un vector combinación lineal del otro. Geométricamente ambos vectores estarían sobre rectas coincidentes o paralelas. uxv v [u,v] u vxu @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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PROPIEDADES ANTICOMMUTATIVO El producto UxV tiene el mismo módulo que VxU pero direcciones opuestas: UxV = – VxU COLINEALIDAD Si U y V son colineales, situados sobre una misma recta (o paralela), entonces se cumple que: UxV = VxU = 0 FACTOR REAL, K Si k es un número real y U, V son vectores no colineales: kU x V = U x kV = k(U x V) DISTRIBUTIVA Si U, V, W son vectores no colineales: U x (V + W) = U x V + U x W @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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PROPIEDADES El modulo de UxV representa el área del paralelogramo, que tiene a los vectores U y V como lados concurrentes. Area = base . altura = |U|·|V|·sen α = |U x V| V |V|.sen α α U @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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Aplicación geométrica
v El módulo o norma del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo formado por ellos. u u v u u v El área de un triángulo será, por consiguiente: S =(1/2).|ABxAC| v @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.
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Aplicación Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1 , 2 , 3), B(2 ,– 1, 4) y C(3 ,– 2, 1). Resolución: El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo que forman los vectores AB y AC. AB = (2 – 1 ,– 1 – 2, 4 – 3) = (1 ,– 3, 1) AC = (3 – 1 ,– 2 – 2, 1 – 3) = (2 ,– 4 ,– 2) i j k A = |ABxAC| / 2 = – = |10i +4j + 2k| / 2 = 2 – 4 – 2 = √[ ] = √120 / 2 = √30 u2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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Aplicación Halla un vector U de la misma dirección que V (1, –2, 3) y tal que determine con el vector W (–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u2. Resolución: Si U es de la misma dirección que V(1, –2, 3), será de la forma U = x.V, o sea U(x, –2x, 3x), con x <> 0. Para que forme con W(–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u2, ha de ser: | UxW| = 25 i j k P = (UxW) = x -2x 3x = –10xi – 5xj + 0k |P| = |(–10x, –5x, 0)|= 25 √[(-10x)2 + (-5x) ] = √(125x2) = 25 125x2 = 625 x2 = 5 x = +/- √5 Por tanto, hay dos soluciones: (√5, –2√5, 3√5) y (–√5, 2√5, –3√5) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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EJERCICIOS Hallar un vector perpendicular con A = (-1; 3; 4) y B = (8; 1; -2). Resolución Un vector P, que es perpendicular con los vectores A y B es el que se obtiene calculando el producto vectorial entre ellos. i j k P = (AxB) = = 2i + 34j – 25k Sean los vectores A = (1; 0; 0) y B = (1; 1; a). Hallar el valor de a para que su producto vectorial sea nulo. P = (AxB) = = – aj + k <> 0 a No hay ningún valor de a que anule el producto vectorial. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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EJERCICIOS Hallar el módulo de A x B, con A = (-1; 1; 1) y B = (1; 1; -1). Resolución i j k P = (AxB) = = –2i – 2k |AxB| = √[(-2)2 + (-2) 2] = √8 = 2·√2 Sean los vectores A = (2; 4; -1) y B = (1; 2; a). Hallar el valor de a para que su producto vectorial sea nulo. P = (AxB) = = (4·a + 2)i + (–1 – 2·a)j + (4 – 4)k = 0 a 4.a + 2 = 0 a = - 2/4 = - 0,5 ; - 1 – 2.a = 0 a = 1 / (-2) = - 0,5 Para a = - 0,5 el producto vectorial es nulo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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EJERCICIOS Hallar las componentes de dos vectores unitarios que son perpendiculares a los vectores A = (2; 1; 3) y B = (3; 2; 1). Resolución i j k P = (AxB) = = –5i + 7j + k El otro vector perpendicular a P será – P, el opuesto. Q = - P = – (–5i + 7j + k) = 5i – 7j – k |P|=|Q| = √[(-5) ] = √( ) = √75 = 5·√3 Los vectores unitarios P´y Q´ serán: P´= (–5 / 5·√3)i + (7 / 5·√3)j + (1 / 5·√3) k P´= (–√3 / 3)i + (7·√3 / 15)j + (√3 / 15) k Q´= – P´ = (√3 / 3)i + (–7·√3 / 15)j + (–√3 / 15) k @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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ÁNGULO QUE FORMAN El módulo del producto vectorial de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: |uxv| = |u|.|v|. sen[u,v] De donde despejamos el ángulo que forman: |uxv| sen[u,v] = [u,v] = arcsen (sen[u,v]) |u|.|v| Ejemplo Sea |u| = 1, |v| = 50, |uxv| = 25. Hallar el ángulo que forman u y v. Sen[u,v] = |uxv|/|u|.|v| = 25/1.50 = 0,5 [u,v] = arcsen 0,5 = 30º v [u,v] u Nota: Salvo que conozcamos los módulos, la mejor forma de hallar el ángulo entre dos vectores es mediante su producto escalar. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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