Análisis Estocástico de Series de Tiempo Auxiliar nº 2 CI61R-CI71C.

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1 Análisis Estocástico de Series de Tiempo Auxiliar nº 2 CI61R-CI71C

2 OBJETIVOS Introducir el manejo estocástico de Series de Tiempo
Entender y aplicar las diferentes fases generales para la modelación estocástica. Generar series sintéticas alternativas. Variable: Q Medios Mensuales del período Pluvial (Abril –Sep) y de Deshielo (Oct-Marzo)  Modelo Univariado (Los datos fueron entregados) Software a utilizar: SAMS - STATISTICA

3 MOTIVACIÓN: ¿PARA QUÉ GENERAR SERIES DE TIEMPO ALTERNATIVAS?
Para estimar el escenario futuro es recomendable evaluar diferentes escenarios posibles bajo supuestos probabilísticos, que permitan identificar el grado de incertidumbre del proyecto.

4 PROCESO ESTOCÁSTICO Corresponde a una serie en que X1, X2, X3, … son variables aleatorias que cambian en el tiempo.  es por esto que los parámetros hidrológicos como caudales, precipitación, etc, pueden considerarse como realizaciones de un proceso estocástico. Para el Análisis Estocástico se tienen 2 Hipótesis: 1º Estacionareidad 2º Hergodicidad Un modelo matemático que representa un “Proceso estocástico” se llama Modelo Estocástico o Modelo de Serie de Tiempo. Principal finalidad de los Modelos Estocásticos: - PRONOSTICAR - GENERACIÓN SINTÉTICA

5 MODELO ESTOCÁTICO

6 UN PARÉNTESIS ANTES DE SEGUIR CON MODELOS ESTOCÁSTICOS…
Chequeo de la normalización de la serie…  puesto que gran parte de la teoría de la Hidrología Estadística se ha desarrollado suponiendo que las variables se distribuyen normalmente Como? Transformaciones: Cox-Box - Logaritmo X Chequeo de la Asimetría (S) y Kurtosis (K) (Momentos de 3º y 4º orden)  Serie Normal: S=0 y K=3 (Ojo, Excel K=0)

7 UN PARÉNTESIS ANTES DE SEGUIR CON MODELOS ESTOCÁSTICOS…
Estandarización de la Serie…  Media = 0 y Desviación estándar = 1  Además se recomienda visualizar comportamiento de la serie para chequeo de estacionalidad  Tendencias de acuerdo a la estación (Pluvial – Deshielo), variación mensual, etc.

8 MODELACIÓN ESTOCÁSTICA
1º Hipótesis: ESTACIONAREIDAD  “que las propidades estadísticas no varíen en el tiempo” i.e., que el promedio, varianza y covarianza sean iguales para diferentes subgrupos de la serie histórica. Chequeo  2 métodos - determinar subconjuntos de la serie original y comparar estadísticos. - Convergencia de la ACF.

9 MODELACIÓN ESTOCÁSTICA
Principales estadísticos que trata de igualar la Modelación Estocástica respecto de la Serie Histórica: - Media - Desviación estándar - Asimetría (alta incertidumbre y depende de la longitud de la muestra). - Autocorrelación (también está sujeta a gran incertidumbre especialmente en muestras breves)

10 FASES GENERALES PARA LA MODELACIÓN ESTOCÁSTICA
SEGÚN SALAS ET. AL 1980. 1. Identificación de la composición del modelo.  ¿De qué manera se hará la modelación?… modelo Univariado o Multivariado… 2. Selección del Tipo de Modelo.  Analizar las caractarísticas estadísticas de la muestra, observar la ACF y la PACF… 3. Identificación de la Forma del Modelo.  Determinar la cantidad de parámetros del modelo… Parsimonia… 4. Estimación de los parámetros del modelo.  > 2·Error Estandar 5. Verificación de la bondad de ajuste del modelo.  Verificar Normalidad e Independencia de los Residuos

11 FASES GENERALES PARA LA MODELACIÓN ESTOCÁSTICA
SEGÚN BOX ET. AL 1994 1. Realizar transformaciones a los datos originales. 2. Identificar el Modelo a utilizar 3. Estimar los parámetros usando la primera colección de datos o conjunto de entrenamiento (2/3). 4. Validar el Modelo usando una segunda colección de datos o conjunto de validación (1/3).

12 FASES GENERALES PARA LA MODELACIÓN ESTOCÁSTICA
En general, la literatura especializada coincide en sugerir 3 etapas básicas para la modelación estocástica: Identificación del Modelo Estimación de Parámetros Verificación del Modelo (Según Box & Jenkins, 1976 y Salas et. Al 1980)

13 RESIDUO = RUIDO BLANCO…
El residuo corresponde a la diferencia entre el valor real y el valor estimado: Se busca que la distribución de los residuos siga una La Incertidumbre de un proceso estocástico se mide a través de la varianza del error (o residuo),  se busca minimizar la varianza del error. Criterio de Akaike:  MEJOR MODELO MENOR AIC

14 PARSIMONIA… Un modelo es parsimonioso, cuando el número de parámetros (p+q+d) es el mínimo posible, que garantiza una baja incertidumbre (varianza del ruido blanco) Salas et. al, 1980, propone: Donde: N = tamaño muestra k = número de parámetros considerados

15 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN…
En general define la relación existente entre 2 grupos de variables. Box et. al, 1994, sugiere: autocorrelación de orden k Box et. al indica: “Para obtener una estimación útil de la función de autocorrelación, se necesita al menos 50 observaciones de la serie, y las autocorrelaciones calculadas para k=0,1,2,…k, donde k no necesita ser mayor a N/4 para obtener información relevante”

16 IDENTIFICACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS VISUAL DE LA ACF Y PACF
Traducción de gráficos (JP Perez et. al, 2002)… Un proceso autorregresivo de orden p presenta una función de autocorrelación con valores que decaen exponencialmente a cero, mientras que su función de autocorrelación parcial tiene precisamente p valores significativos (los demás están bajo el error estándar y son despreciables) Un proceso de media móvil de orden q tiene precisamente q valores significativos en su función de autocorrelación, mientras que los valores de su autocorrelación parcial decaen exponencialmente a cero. Si el proceso corresponde a una mezcla entre el proceso autorregresivo y uno de media móvil, entonces tanto su función de autocorrelación como su función de autocorrelación parcial presentarán un decaimiento exponencial a cero. Además, para una mezcla de procesos, que contenga ambas componentes, su función de autocorrelación corresponderá a una mezcla de exponenciales y ondas sinusoidales amortiguadas después de los primeros p-q retardos. Por otro lado, la función de autocorrelación parcial asociada presentará una mezcla de exponenciales y ondas sinusoidales amortiguadas después de los primeros p-q retardos.

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18 DIAGNÓSTICO DEL MODELO
ECM ECMN (Normalizado)  r2 = 1 – ECMN Otro…