EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD EN LAS DECISIONES JUAN ANTONIO DEL VALLE F.

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1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD EN LAS DECISIONES JUAN ANTONIO DEL VALLE F.

2 Los criterios basados en el valor monetario esperado (VME) no siempre convencen a los tomadores de decisiones debido a que todo mundo está consciente que el dinero tiene diferente significado entre las personas, entre las empresas, entre las instituciones y aún entre los países. Además el significado del dinero para alguien en especial puede variar en el tiempo y no tener un valor constante. Lo que se propone en este Capítulo es usar una combinación de valor esperado y utilidad del dinero como medida de efectividad para seleccionar entre las alternativas.

3 4.1 Concepto de Equivalente Bajo Certeza.
Al cuestionar por separado a dos alumnos de una clase de análisis de decisiones la siguiente situación. Suponga, se le pregunta a cada alumno, que usted es el dueño de un boleto de una rifa que tiene un 50% de posibilidades de obtener diez mil pesos; ¿Cuál es la cantidad mínima de dinero en que estaría dispuesto a traspasar el derecho a participar?. Se les anticipó a cada uno que era conveniente que no se apresuraran a dar una respuesta e hicieran la reflexión necesaria.

4 Después de un tiempo razonable, los alumnos respondieron de muy diversa manera. Uno de ellos estaba dispuesto a vender su boleto por $4500 pero no por menos; el otro estaba dispuesto a venderlo por una cantidad mayor a $5000. ¿ Está usted  seguro ?, se le preguntó, que usted no podría aceptar vender su opción por menos de $ 4500?; su compañero de clase podría estar dispuesto a vender el boleto por $5000. El alumno respondió que habría que "tenerle fé" al boleto y consideraba que su precavido compañero podría cambiar de opinión si el dinero estuviera sobre la mesa; esperaría que la respuesta del compañero cambiara si pensara un poco más en lo que podría obtener con ese millón de pesos.

5 4.1 Concepto de Equivalente Bajo Certeza (2)
El otro alumno defendió su posición de una manera semejante; este joven insistió en el límite de $5000 e insinuó que su arriesgado compañero no tomaba la situación con la suficiente seriedad, ya que arriesgaba la venta del boleto al pedir $4500 a cambio de sólo de una posibilidad. Cada quien puede tener su propia opinión acerca de las respuestas de estos dos alumnos, sin embargo, es difícil hacer un estudio de sus conductas. Si tuviéramos que aconsejar a cada uno de ellos sobre que decisión tomar en un problema similar al propuesto, entonces mejor simplemente aceptemos el hecho de que ellos difieren en sus actitudes hacia el riesgo y que esas diferencias debieron influenciar sus respuestas.

6 Con los conceptos de los capítulos 1 y 2, se podría hacer un análisis comenzando por obtener un diagrama de árbol de decisiones, con los valores terminales y las probabilidades en los estados de la naturaleza. Suponga la siguiente lotería:       Una persona partidaria de VME calcularía lo siguiente:              0.5(10,000) + 0.5(0) = 5000 para guiar su decisión. Sin embargo ahora estamos suponiendo que no siempre estamos de acuerdo con el VME y que, si nos ofrecieran intercambiar los derechos de esa opción por un poco menos de $5000 pudiéramos aceptarlo. En esta forma, usted tiene una manera muy práctica de dar solución a este dilema; cada quien puede usar su propio juicio para decidir que cantidad específica quiere recibir en lugar de la rifa. El alumno que fijó esa cantidad en $4500, estableció que si le fuera ofrecida una cantidad mayor a ella usted aceptaría en lugar de jugársela en la opción descrita; si le ofrecieran una cantidad menor a $4500 la rechazaría. En otras palabras, $4500 es su equivalente bajo certeza, EBC, para esta lotería.

7 Usted aun puede decir que todo esto no está muy claro, porque $4500 es realmente una cantidad muy cuestionable. Bien, imagínese que un vendedor ofrece el boleto de la lotería en venta y que alguien ofrece alguna cantidad X por la lotería citada. El vendedor requerirá instrucciones y no importará que tan subjetivo sea el costo, el alumno deberá decirle al vendedor: acepta una cantidad de $4500 o mayor, rechaza cualquier cantidad menor a ella. Al analizar el problema de toma de decisiones, se cuenta ahora con un mejor consejero que es el EBC en lugar de seguir simplemente los dictados del VME, el cuál no es una guía completa para casi todas las personas en su toma de decisiones.

8 4.2  El Concepto de Lotería. En la explicación del Equivalente Bajo Certeza se ha utilizado el concepto de lotería para significar una situación de riesgo, la cual tiene una probabilidad Pi   de obtener un premio xi , donde i va desde 1 hasta n , siendo n el número de premios.  El conjunto de los premios es entonces X = {x1 , ,xn}, representándose una lotería L de la siguiente forma:              L = {(P1 ,x1 ), , (Pn ,xn )}

9 esto es, una lotería queda definida por el conjunto de pares ordenados (p1 ,x1 ), como se puede apreciar en la siguiente figura:

10 Reglas Lógicas para Preferencia de los Premios
Los premios guardan entre sí una relación de preferencia o de utilidad, así cuando un premio i se prefiere a otro premio j, se simboliza como xi  >  xj  , mientras que xi~ xj significa que el premio i es indiferente al premio j.

11 Reglas Lógicas para Preferencia de los Premios (2)
Las principales reglas lógicas para el manejo de premios y loterías son las siguientes: - Sean xi  y  xj  dos elementos del conjunto de premios X, entonces sólo se pueden tener una de las siguientes tres relaciones de preferencia: xi > xj  ó xj  > xi  ó xi ~ xj. - Si xi  > xj y xj > xk  , entonces es válido el principio de transitividad xi > xk  .

12 - Si se ordenan por su preferencia los premios de X y si suponemos que xi > > xn , entonces para cada premio xi de X diferente de x1 y xn , deberá haber indiferencia entre tenerlo con certeza o bien jugar a la lotería L' = {(p,x1),(1-p,xn )} si existe un valor p; en forma gráfica esta regla se expresaría de la siguiente forma:

13 4.3 Construcción de Curvas de Utilidad.
Para aplicar el enfoque utilitario a los problemas de decisión, es necesario contar con una función ó al menos con una gráfica que nos relacione las cantidades de dinero (o de unidades del atributo de interés) con la utilidad que asignamos a cada una de ellas. El rango en unidades de utilidad en que puede variar el valor de la función puede ser totalmente arbitrario, sin embargo una práctica recomendable es considerar que las utilidades pueden variar entre cero y uno; a la cantidad mayor de dinero o al mejor valor terminal de algún atributo se le asigna el valor de uno, mientras que cero se le asigna a la menor cantidad de dinero o al peor valor del atributo.

14 Es conveniente advertir que para el diseño de la curva de utilidades es necesaria la opinión del decisor, ya que sólo él puede sintetizar todos los intereses que deben implicarse en una decisión, incluyendo las actitudes al riesgo. En esta situación se puede decir que cada decisor deberá contar con su propia curva de utilidad, la cual es válida en un tiempo determinado para analizar los problemas de decisión de ese decisor precisamente.

15 Existen distintos métodos para la obtención de esas curvas, mismos que podemos clasificar por el tipo de cuestionamiento al decisor; algunos métodos cuestionan probabilidades mientras que otros se basan en preguntas sobre equivalentes bajo certeza para un conjunto de loterías.

16 Método Cuestionando Probabilidades.
 Sea X = {xo , x1 , , xn , x* } el conjunto de resultados terminales de cualquier problema de decisiones y supongamos las siguientes relaciones de preferencia entre estos valores: x*>xi>x0, donde i=1,....,n. Además supongamos que se le asignan utilidades arbitrarias a xo  y x* de cero y uno respectivamente:                 u(xo) = 0      y      u(x*) = 1

17 Ahora para cualquier xi  se cumple lo siguiente:
1≤ u(xi) ≤ 0.  El método consiste en cuestionar al decisor sobre probabilidades que para él hagan indiferente recibir una cantidad xi  ó jugar a la siguiente lotería:  L = {(p,x*),(1-p,x0)}.

18 Vista la situación de otra forma se le pide al decisor declare un valor p tal que las dos alternativas del siguiente árbol de decisiones le sean indiferentes:  

19 esto es :                  u(xi ) = p u(x* ) + (1-p) u(x0 ) Estas preguntas se repetirían para diferentes valores de xi , hasta obtener un número de valores de la función que permitan dibujar la curva con la exactitud deseada. Usualmente son 5 los puntos a obtener para dibujar la curva.

20 Ejemplo Enunciado Se propone dos contratos a la empresa constructora A.B.C ; El primer contrato le puede generar una de estas utilidades, con sus respectivas probabilidades: Ganancias en millones de pesos Probabilidades 80.00 0.60 50.00 0.20 10.00 0.15 -6.00 0.05

21 Ejemplo Enunciado (2) El contrato número dos le puede generar utilidades según la tabla lateral. Otra alternativa es el no aceptar ningún contrato. Resolver el problema tomando en cuenta las preferencias del gerente de A.B.C. Ganancias en millones de pesos Probabilidades 100.00 0.40 25.00 0.50 -30.00 0.10

22 Solución del Ejemplo: El problema puede plantearse así:
             A1 : Seleccionar el contrato 1.              A2 : Seleccionar el contrato 2.              A3 : No aceptar ninguno.

23 Árbol de decisiones

24 El conjunto de resultados posibles en orden de preferencia es:
                   X={ 100,80,50,25,10,0,-6,-30 }  El mejor resultado es X* = 100. El peor resultado es Xo = -30. Aplicando el método cuestionando probabilidades: u(100) = 1.0       u(-30) = 0.0

25 Para Xi =80 se debe encontrar un valor de p tal que haya las dos ramas del siguiente árbol equivalentes:

26 Entrevistando al Gerente General. de A.B.C.:
 Nos declara que p = 0.95, entonces u(80) = 0.95(1) (0) por lo tanto :                          u(80) = 0.95 El procedimiento se repite para Xi = 50, 25, 10, 0, -6 y se obtienen las siguientes cantidades:           u(50) = 0.80           u(25) = 0.65   Este conjunto de valores es la función utilidad del Gerente General.de A.B.C. u(10) = 0.55          u(0)  = 0.40          u(-6) = 0.35  

27 Graficando tenemos a la Función de Utilidad:

28 Método Cuestionando Equivalentes Bajo Certeza
Un método diferente para evaluar las curvas de utilidad es utilizando declaraciones de equivalentes bajo certeza a un conjunto de loterías. Entre estos métodos se encuentra el del  Tetraedro, el cual consiste en pronosticar la cara que queda contra el piso.  Los supuestos iniciales son los mismos que los explicados antes, solo que ahora se pediría al decisor declarar los equivalentes bajo certeza para las siguientes loterías:  

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30 Cuestionado EBC’s Evaluando las utilidades para los equivalentes bajo certeza se tienen los siguientes resultados :                   u(EBC1 ) = 0.25u(x*) u(xo)  = 0.25                   u(EBC2) = 0.50u(x*) u(xo) = 0.50                   u(EBC3) = 0.75u(x*) u(xo)  = 0.75    Con estos tres puntos y los dos supuestos ( X*=1 y Xo =0) se tienen cinco puntos, cantidad mínima acostumbrada para trazar la curva.

31 3.4 Análisis de las Actitudes del Decisor.
 El análisis de la curva de utilidad de un decisor permite identificar la actitud del decisor hacia el riesgo. Es posible detectar tres posibles actitudes: aversión, indiferencia y propensión.

32 Prima de Riesgo. Este concepto es de utilidad para calificar la actitud hacia el riesgo y se define como la diferencia entre el valor monetario esperado y el equivalente bajo certeza.                        PR = VME - EBC El signo positivo de la prima de riesgo significará que el EBC se sitúa en la gráfica de la curva a la izquierda del VME y la forma de la curva es de tipo cóncava respecto al eje de las abcisas, véase la siguiente figura; la prima de riesgo en este caso representa la cantidad que el decisor está dejando de ganar por su aversión al riesgo. Sea la siguiente lotería

33 Sea la siguiente lotería de referencia:

34 Si graficamos en una curva cóncava de aversión al riesgo, los puntos x1 y x2, y se les asignan respectivamente las utilidades u1 y u2 , se puede observar que la prima de riesgo resulta positiva

35 Si la prima de riesgo es igual a cero, significa que el decisor se rige por el criterio del valor monetario esperado y no toma en cuenta al riesgo; la curva de utilidades en este caso es una recta, existiendo una relación lineal entre el atributo y su utilidad:

36 Cuando la prima de riesgo es negativa significa que el decisor está dispuesto a pagar esa cantidad por participar en la situación de riesgo; en este caso la curva resulta de tipo convexa y se puede observar que al graficar los puntos de la lotería y sus utilidades correspondientes en esa curva, el equivalente bajo certeza se sitúa a la derecha del valor monetario esperado, como puede verse en seguida:

37 Es conveniente hacer notar que las consideraciones anteriores son válidas para el caso de funciones crecientes, la situación se invierte cuando la función es de tipo decreciente; en el caso de funciones decrecientes las curvas cóncavas denotan propensión mientras que las convexas indicarán aversión.

38 La determinación precisa de una función de utilidad requiere que primero se conozca cual es su forma general, para lo que debe verificarse que las preferencias del decisor satisfagan ciertos criterios, los cuales restringen la forma de la función de utilidad. Para ello es útil obtener una expresión cualitativa de sus preferencias, para después escoger la función de utilidad específica que satisfaga los requerimientos de forma y que además sea consistente con unos cuantos valores de µ(x) que hallan sido evaluados de manera cuidadosa