UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO

Presentación del tema: "UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO"— Transcripción de la presentación:

1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
Facultad de Ingeniería Coordinación de Materias Propedéuticas Coordinación de Ingeniería Electrónica Métodos Numéricos “Fórmulas de Newton-Cotes: Regla del Trapecio” María de los Ángeles Contreras Flores Mayo 2016

2 Contenido Guión explicativo Objetivo Objetivos específicos
Introducción Concepto de integración Fórmulas de Newton-Cotes Clasificación de las fórmulas de Newton-Cotes Regla del Trapecio Ejemplo Bibliografía

3 Guión explicativo Este material ha sido desarrollado para alumnos del curso de Métodos Numéricos de la licenciatura de Ingeniería Electrónica de la Facultad de Ingeniería de la UAEMex. Su propósito es apoyar la impartición del tema de “Integración Numérica”, el cual es visto en la unidad 3 del propio contenido temático. Los alumnos de Ingeniería Electrónica, cursan esta materia en el segundo semestre de su plan de estudios y es importante que para la correcta comprensión del tema, tengan conocimientos sobre técnicas para obtener derivadas e integrales exactas o analíticas. Temas que, generalmente, son vistos en el primer semestre del nivel superior en la asignatura de Cálculo I. Contenido

4 Guión explicativo Las fórmulas de Newton-Cotes, son herramientas que permiten aproximar la solución de integrales que, por su naturaleza, pueden resultar difíciles de evaluar. Dichas fórmulas, obtienen aproximaciones a la solución mediante el uso de polinomios de diferentes grados, lo que permite al alumno plantear problemas de integración y encontrar su solución de una manera práctica. En este trabajo, se explica el concepto de integración además de mostrar la clasificación de éstas fórmulas. Posteriormente, se deduce la regla del trapecio y se aplica a un ejemplo teórico. En lo referente al uso del material, se recomienda que para su adecuada visualización, sea utilizada la versión de Power Point La animación de las gráficas inicia automáticamente, no es necesario hacer click sobre ninguna de ellas ya que esto provocará que se pierdan los efectos. Contenido

5 Guión explicativo En lo referente al uso del material, se recomienda que para su adecuada visualización, sea utilizada la versión de Power Point 2016. La animación de las gráficas inicia automáticamente, no es necesario hacer click sobre ninguna de ellas ya que esto provocará que se pierdan los efectos. Cada uno de los temas aquí tratados, puede ser accesado desde el contenido, sólo será necesario posicionarse sobre el y hacer click sobre el link. Para regresar al contenido de la presentación, bastará con posicionarse en el ícono y dar la indicación, nuevamente, con otro click. Contenido Contenido

6 Comprender que es la integración numérica y darse cuenta del valor de su aplicación en la solución de problemas en ingeniería, además de aplicar la regla del trapecio como una técnica dada por las fórmulas de Newton-Cotes. Objetivo Contenido

7 Entender la obtención de la regla del trapecio.
Reconocer que la regla del trapecio representa el área bajo un polinomio de primer grado. Resolver problemas de integración, teóricos y prácticos, utilizando la regla del trapecio. Objetivos específicos Contenido

8 Introducción “El cálculo es la matemática del cambio. Los ingenieros tratan frecuentemente con sistemas y procesos que cambian, el cálculo es una herramienta esencial es esta profesión. En la esencia del cálculo existen dos conceptos matemáticos relacionados: la diferenciación y la integración” (Chapra, S. y Canale, R. 2015). Contenido

9 ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑖 +∆𝑥 −𝑓 𝑥 𝑖 ∆𝑥 (ec. 1)
Introducción Según una definición del diccionario, diferenciar significa marcar por diferencias; distinguir, percibir la diferencia en o entre”. En las matemáticas, la derivada es utilizada para la diferenciación, ya que representa la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a una independiente. ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑖 +∆𝑥 −𝑓 𝑥 𝑖 ∆𝑥 (ec. 1) Donde: 𝑦 y 𝑓 𝑥 son representaciones alternativas de la variable dependiente y 𝑥 es la variable independiente. Contenido

10 Introducción Si se hace que ∆𝑥 se aproxime a cero, entonces el cociente de las diferencias se convierte en una derivada: 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥 𝑖 +∆𝑥 −𝑓 𝑥 𝑖 ∆𝑥 Donde: 𝜕𝑦 𝜕𝑥 que también es denotada como 𝑦 ′ o 𝑓′ 𝑥 𝑖 es la primera derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 evaluada en 𝑥 𝑖 . En la figura 1 se observa que la derivada evaluada es la pendiente de la recta tangente a la curva en 𝑥 𝑖 . Contenido

11 Contenido 𝑦 𝑦 𝑦 𝑓(𝑥 𝑖 + ∆𝑥) ∆𝑦 𝑓(𝑥 𝑖 + ∆𝑥) ∆𝑦 𝑓(𝑥 𝑖 ) 𝑓(𝑥 𝑖 ) 𝑓′(𝑥 𝑖 )
Figura 1. Definición gráfica de una derivada: Conforme ∆𝑥 se aproxima a cero, la aproximación por diferencia se va convirtiendo en derivada.

12 Concepto de integración
Frecuentemente se requiere evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada explícita, o bien, su antiderivada no es sencilla de obtener. Un método muy útil para este propósito recibe el nombre de cuadratura numérica” y utiliza la siguiente suma: 𝑖=0 𝑛 𝑎 𝑖 𝑓 𝑥 𝑖 para aproximar 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . (Burden, 2001) Contenido

13 𝐼= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑐. 2 Concepto de integración
La integración es el proceso inverso a la diferenciación. De acuerdo a la definición de diccionario integrar significa “juntar partes en un todo; unir; indicar la cantidad total…”. Matemáticamente, la integración se expresa por: 𝐼= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑐. 2 que representa a la integral de la función 𝑓 𝑥 con respecto a la variable independiente 𝑥, evaluada entre los límites 𝑥=𝑎 y 𝑥=𝑏. La función 𝑓 𝑥 en la ecuación 2 se llama integrando. (Chapra, S. y Canale, R. 2007) Contenido

14 Concepto de integración
La ecuación anterior, representa el valor total o sumatoria de 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 sobre el intervalo desde 𝑥=𝑎 hasta 𝑥=𝑏. De hecho, el símbolo es una S estilizada (antigua) que intenta representar la estrecha relación entre integración y suma. En la figura 2, se puede ver una representación gráfica del concepto, para funciones que están por encima del eje x, la integral expresada por la ecuación 2, corresponde al área bajo la curva de 𝑓 𝑥 entre 𝑥=𝑎 y 𝑏1. (Chapra, S. y Canale, R. 2015) 1 El proceso representado por la ecuación 2 y la figura 2 se conoce como integración definida. Contenido

15 Concepto de integración
Contenido Concepto de integración f(x) x a b Figura 2. Representación gráfica de la integral 𝑓 𝑥 entre los límites 𝑥=𝑎 y 𝑥=𝑏. La integral es equivalente al área bajo la curva.

16 Concepto de integración
Contenido Concepto de integración Las fórmulas de cuadratura que se analizan en esta sección, se basan en los polinomios interpolantes de Lagrange. Primero seleccionan un conjunto de nodos distintos 𝑥 0 ,⋯, 𝑥 𝑛 del intervalo 𝑎,𝑏 para luego integrar dicho polinomio (Burden, 2001). 𝑃 𝑛 𝑥 = 𝑖=0 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 𝐿 𝑖 𝑥 y su término de error de truncamiento en 𝑎,𝑏 para obtener: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑖=0 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 𝐿 𝑖 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑎 𝑏 𝑖=0 𝑛 𝑥− 𝑥 𝑖 𝑓 (𝑛+1) 𝜀 𝑥 𝑛+1 ! 𝑑𝑥

17 𝑓 𝑛 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 2 +⋯+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑐. 4
Contenido Fórmulas de Newton-Cotes Las fórmulas de Newton-Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Consisten en reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es más fácil de integrar: 𝐼= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≅ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑐.3 Donde: 𝑓 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 es un polinomio de la forma 𝑓 𝑛 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 2 +⋯+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑐. 4 y, 𝑛 es el grado del polinomio.

18 Fórmulas de Newton-Cotes
Como se observa en la figura 3, un polinomio de primer grado (línea recta) puede ser utilizado para obtener una aproximación. De igual forma, se pudo haber empleado una parábola con el mismo propósito, o bien, un polinomio de mayor grado. Contenido

19 f(x) x a b Contenido 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 x Á𝒓𝒆𝒂 𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐
Figura 3. Aproximación de una integral utilizando un polinomio de primer grado.

20 Fórmulas de Newton-Cotes
La integral, también puede ser aproximada empleando un conjunto de polinomios aplicados por segmentos de longitud constante a la función o datos, a este método se le conoce como “Integración numérica compuesta. En la figura 4 se aprecia la forma en la que se aproxima el valor de la integral utilizando tres segmentos de línea recta. Sin embargo, pueden ser empleadas más particiones con la intención de disminuir el error. Contenido

21 Contenido f(x) x a b Figura 4. Aproximación de una integral mediante el área bajo tres segmentos de línea recta.

22 Clasificación de las fórmulas de Newton-Cotes
Contenido Clasificación de las fórmulas de Newton-Cotes Las fórmulas de Newton-Cotes se clasifican en dos tipos: Cerradas y, Abiertas Las fórmulas cerradas son aquellas que conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración. En las fórmulas abiertas los límites de integración van más allá del intervalo de los datos. Generalmente, estas formas no se utilizan para integración definida, pero son muy útiles para evaluar integrales impropias y obtener la solución de ecuaciones diferenciales parciales (Chapra y Canale, 2007). En la figura 5, se presentan gráficamente ambos conceptos.

23 Clasificación de las fórmulas de Newton-Cotes
Considera los valores de a y b f(x) No se consideran los valores de a y b f(x) x x a b a b a) Fórmulas cerradas b) Fórmulas abiertas Contenido Figura 5. Diferencia entre las fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas

24 Figura 6. Fórmulas cerradas de Newton-Cotes
Regla del Trapecio (n=1) Regla de Simpson 1 3 (n=2) Regla de Simpson 3 8 (n=3) Regla de Boole (n=4) Contenido Figura 6. Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

25 Figura 7. Fórmulas abiertas de Newton.Cotes
Regla Punto Medio (n=0) n=1 n=2 n=3 Contenido Figura 7. Fórmulas abiertas de Newton.Cotes

26 Figura 8. Fórmulas compuestas de Newton.Cotes
Regla del Punto Medio Regla de Simpson 1 3 Regla del Trapecio Contenido Figura 8. Fórmulas compuestas de Newton.Cotes

27 Regla del Trapecio Es la primera de las fórmulas de integración de Newton-Cotes y corresponde al caso, donde el polinomio de la ecuación es de primer grado: 𝐼= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≅ 𝑎 𝑏 𝑓 1 𝑥 𝑑𝑥 Contenido

28 𝑃 1 𝑥 = 𝑥− 𝑥 1 𝑥 0 − 𝑥 1 𝑓 𝑥 0 + 𝑥− 𝑥 0 𝑥 1 − 𝑥 0 𝑓 𝑥 1
Regla del Trapecio Para obtener la regla del trapecio que permita aproximar 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , se utilizará el polinomio lineal de Lagrange con 𝑥 0 =a, 𝑥 1 =𝑏 y ℎ=𝑏−𝑎: 𝑃 1 𝑥 = 𝑥− 𝑥 𝑥 0 − 𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑥− 𝑥 𝑥 1 − 𝑥 0 𝑓 𝑥 1 𝑃 1 (𝑥) se integra junto con su término de error: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 0 𝑥 𝑥− 𝑥 𝑥 0 − 𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑥− 𝑥 𝑥 1 − 𝑥 0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 0 𝑥 1 𝑓′′ 𝜀(𝑥) 𝑥− 𝑥 0 𝑥− 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑒𝑐. 5 Contenido

29 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= ℎ 2 𝑓 𝑥 0 +𝑓 𝑥 1 − ℎ 3 12 𝑓′′ 𝜀 𝑒𝑐. 6
Regla del Trapecio Dado que 𝑥− 𝑥 0 𝑥− 𝑥 1 no cambia de signo en 𝑥 0 , 𝑥 1 , puede ser empleado el teorema del valor medio a fin de obtener la siguiente regla: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= ℎ 2 𝑓 𝑥 0 +𝑓 𝑥 1 − ℎ 𝑓′′ 𝜀 𝑒𝑐. 6 Donde: 𝑥 0 =a, 𝑥 1 =𝑏 y ℎ=𝑏−𝑎. Esta fórmula es conocida como la regla del trapecio porque, cuando 𝑓 es una función con valores positivos, la 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 es aproximada calculando el área de un trapecio, como se aprecia en la figura 9. (Burden, 2001) Contenido

30 Error Regla del Trapecio f(x) Polinomio de 1er. grado x a b
Área bajo la curva x Contenido a b Figura 9. Integral bajo una línea recta. La forma que toma el área calculada es un trapecio

31 Donde 𝜀 es algún valor en el intervalo de 𝑎 a 𝑏.
Error de truncamiento Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, se genera un error que puede ser importante. La estimación del error de truncamiento para la Regla del Trapecio es: 𝑒 𝑡 =− 𝑓 ´´ 𝜀 𝑏−𝑎 (ec. 7) Donde 𝜀 es algún valor en el intervalo de 𝑎 a 𝑏. Contenido

32 Error de truncamiento Debido a que el término de error de la regla del trapecio tiene 𝑓 ′′ , la regla dará un resultado exacto cuando sea aplicada a una función cuya segunda derivada sea cero, es decir, cualquier polinomio de grado uno o menor. (Burden, 2001) Para funciones con derivadas de 2° orden y orden superior (es decir, con curvatura) puede ocurrir un error. (Chapra, S. y Canale, R. 2007) Contenido

33 Ejemplo ∴ 0 0.8 (0.2+25𝑥−200 𝑥 2 +675 𝑥 3 −900 𝑥 4 +400 𝑥 5 )𝑑𝑥
Contenido Ejemplo Utilice la regla del trapecio para integrar numéricamente la función: 𝑓 𝑥 =0.2+25𝑥−200 𝑥 𝑥 3 −900 𝑥 𝑥 5 desde 𝑎=0 hasta 𝑏=0.8: ∴ (0.2+25𝑥−200 𝑥 𝑥 3 −900 𝑥 𝑥 5 )𝑑𝑥

34 Contenido Solución Evaluar la función 𝑥−200 𝑥 𝑥 3 −900 𝑥 𝑥 5 en los límites: 𝑓 0 =0.2 𝑓 0.8 =0.232 ℎ=𝑏−𝑎 ∴ℎ=0.8 Sustituir los valores obtenidos en la ecuación 6: 0 0.8 (0.2+25𝑥−200 𝑥 𝑥 3 −900 𝑥 𝑥 5 )𝑑𝑥= ℎ 2 𝑓 𝑥 0 +𝑓 𝑥 1 − ℎ 𝑓′′ 𝜀 𝐼≅ ∴ 𝐼≅=0.172

35 Evalúe la siguiente integral:
Ejercicio Evalúe la siguiente integral: 0 4 1− 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 En forma analítica; Utilizando la Regla del Trapecio; Obtenga el error. Contenido

36 Bibliografía Chapra C. Steven y Canale P. Raymond, (2007), Métodos numéricos para ingenieros, McGraw-Hill, 5ª. Edición, México. Cheney W y Kinkaid D, (2011), Métodos Numéricos y computación, Cengage Learning, 6ª. Edición, México. Burden R., Análisis Numérico, Thomson, 7ª. Edición, México. Contenido