LÓGICA DE ORDEN SUPERIOR

Presentación del tema: "LÓGICA DE ORDEN SUPERIOR"— Transcripción de la presentación:

1 LÓGICA DE ORDEN SUPERIOR
César Barrado Fernández Ingeniería Informática

2 Contenidos Introducción Lógica y teoría de conjuntos
Semántica estándar para SOL Incompletud de la lógica de segundo orden Completud de SOL con semántica general Conclusiones

3 Introducción Lógica de segundo orden extiende a la lógica de primer orden. Teoría de conjuntos como sustrato

4 Lógica y teoría de conjuntos (I)
Noción de clase pertenecía a la lógica Aparece la teoría de conjuntos de Cantor Replantear conceptos (clase y conjunto) Distinciones (sintaxis y semántica, lenguaje y metalenguaje, niveles de cuantificación).

5 Lógica y teoría de conjuntos (II)
Dos maneras de fundamentar una teoría: Definir conceptos empleando los de otra disciplina ya fundamentada Considerar que los conceptos básicos son primitivos

6 Clases y conjuntos Para fundamentar la teoría de conjuntos:
Noción de conjunto (Cantor): Cualquier colección de objetos bien determinados y distintos que sin contradicción pueda ser tomada como una unidad, reuniendo los objetos en un todo Noción de clase (von Neumann) -> Clases últimas

7 Paradojas (I) Lógicas o matemáticas: Semánticas o epistemológicas:
Paradoja de Russell (definición de clase) Paradoja de Cantor (cardinalidad de la clase universal) Semánticas o epistemológicas: Paradoja de Epiménides (mentiroso) Paradoja de Richard (cardinalidad de los números reales)

8 Paradojas (II) Para evitar las paradojas lógicas:
Teoría de tipos simple Para evitar las paradojas semánticas: Distinción entre lenguaje y metalenguaje Elimina autorreferencia y reflexibidad Teoría axiomática (menos intuitiva que la teoría de tipos)

9 Teoría de conjuntos como sustrato

10 Semántica estándar para SOL (I)

11 Semántica estándar para SOL (II)
Al adoptar la semántica estándar para la lógica de segundo orden tomamos la teoría de conjuntos como metalenguaje

12 Capacidad expresiva (I)
Gran poder expresivo de la lógica de segundo orden Cuantificación sobre todos los conjuntos y relaciones del dominio de individuos Excesiva capacidad expresiva Validez de ciertas fórmulas de segundo orden no puede establecerse ni refutarse en la teoría de conjuntos Lenguaje que pueda expresar más de lo que la teoría de conjuntos pueda decidir no es estable No se puede encontrar un cálculo deductivo completo para la lógica asociada a dicha semántica

13 Capacidad expresiva (II)

14 Incompletud de la lógica de segundo orden (I)
No existe un cálculo correcto y completo para lógica de segundo orden con semántica estándar No puede tenerse a la vez un gran poder expresivo y buenas propiedades lógicas

15 Incompletud de la lógica de segundo orden (II)
Incompletud no tiene que ver con el razonamiento de segundo orden Sí en esta semántica, ligando la metateoría de conjuntos de ZFC a la semántica de segundo orden Lógica completa modificando la semántica

16 Completud de SOL con semántica general
Calculo correcto => semántica de modelos generales Universos de la estructura cerrados bajo definibilidad Cambia el conjunto de fórmulas válidas => cambia la lógica Semántica más natural y razonable

17 Conclusiones Mayor poder expresivo Mejores propiedades lógicas

18 GRACIAS