Dpto. de Física y Química

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BACHILLERATO FÍSICA 2. CAMPO GRAVITATORIO R. Artacho Dpto. de Física y Química

CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE
2. CAMPO GRAVITATORIO Índice CONTENIDOS 1. Concepto de campo  2. Campo gravitatorio  3. Enfoque energético del campo  4. Representación gráfica del campo  5. Movimiento de cuerpos en un campo gravitatorio  6. Caos determinista CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE 1. Asociar el campo gravitatorio a la existencia de masa y caracterizarlo por la intensidad del campo y el potencial. 1.1. Diferencia entre los conceptos de fuerza y campo, estableciendo una relación entre intensidad del campo gravitatorio y la aceleración de la gravedad. 1.2. Representa el campo gravitatorio mediante las líneas de campo y las superficies de energía equipotencial. 2. Reconocer el carácter conservativo del campo gravitatorio por su relación con una fuerza central y asociarle en consecuencia un potencial gravitatorio. 2.1. Explica el carácter conservativo del campo gravitatorio y determina el trabajo realizado por el campo a partir de las variaciones de energía potencial. 3. Interpretar las variaciones de energía potencial y el signo de la misma en función del origen de coordenadas energéticas elegido. 3.1. Calcula la velocidad de escape de un cuerpo aplicando el principio de conservación de la energía mecánica. 4. Justificar las variaciones energéticas de un cuerpo en movimiento en el seno de campos gravitatorios. 4.1. Aplica la ley de conservación de la energía al movimiento orbital de diferentes cuerpos como satélites, planetas y galaxias.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE
2. CAMPO GRAVITATORIO Índice CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE 5. Relacionar el movimiento orbital de un cuerpo con el radio de la órbita y la masa generadora del campo. 5.1. Deduce a partir de la ley fundamental de la dinámica la velocidad orbital de un cuerpo, y la relaciona con el radio de la órbita y la masa del cuerpo. 5.2. Identifica la hipótesis de la existencia de materia oscura a partir de los datos de rotación de galaxias y la masa del agujero negro central. 6. Conocer la importancia de los satélites artificiales de comunicaciones, GPS y meteorológicos y las características de sus órbitas. 6.1. Utiliza aplicaciones virtuales interactivas para el estudio de satélites de órbita media (MEO), órbita baja (LEO) y de órbita geoestacionaria (GEO) extrayendo conclusiones. 7. Interpretar el caos determinista en el contexto de la interacción gravitatoria. 7.1. Describe la dificultad de resolver el movimiento de tres cuerpos sometidos a la interacción gravitatoria mutua utilizando el concepto de caos.

¿Cómo es posible la acción a distancia?
2. CAMPO GRAVITATORIO 1 Concepto de campo ¿Cómo es posible la acción a distancia? En 1831, Faraday establece el concepto de líneas de fuerza, aplicadas a las interacciones entre cargas e imanes, que se extienden por el espacio. En 1865, Maxwell, introduce la noción de campo aplicada al electromagnetismo, basada en las ideas de Faraday. Calcula la velocidad en que propaga la interacción: la velocidad de la luz. Einstein establece el concepto de campo en la gravitación: el campo gravitatorio no es más que la deformación de la geometría del espacio-tiempo por efecto de la masa de los cuerpos.

1 Concepto de campo 2. CAMPO GRAVITATORIO
1.1. ¿Qué entendemos por campo? Campo es aquella región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la presencia de una partícula. Un campo es definido mediante magnitudes que adquieren distintos valores en cada punto del espacio y en el tiempo: Ai (x, y, z, t) (solo nos dedicaremos a los campos que no dependen del tiempo, estacionarios). Según el tipo de magnitud, los campos pueden ser escalares (p.ej. campo de temperaturas) o vectoriales (p.ej. campo de velocidades). El campo se pone de manifiesto colocando en su seno una partícula dotada de la propiedad (carga, masa,…) necesaria para interactuar con dicho campo. Magnitudes que definen el campo: intensidad del campo (enfoque dinámico) y potencial (enfoque energético). Magnitudes inherentes a la interacción: fuerza que actúa sobre la partícula (enfoque dinámico) y energía potencial (enfoque energético).

2 Campo gravitatorio 2. CAMPO GRAVITATORIO
 Para definir la magnitud que representa al campo gravitatorio originado por una masa m, elegimos la aceleración que adquirirá una partícula situada en dicho campo y que es independiente de la masa de la partícula testigo. La intensidad del campo gravitatorio, 𝒈 , en un punto es la magnitud que define el campo gravitatorio desde el punto de vista dinámico y que puede considerarse como la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa testigo colocada en dicho punto: 𝑔 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑟 2 𝑢 𝑟 𝑔 = 𝐹 𝑚′ = −𝐺 𝑚𝑚′ 𝑟 2 𝑢 𝑟 𝑚′ =−𝐺 𝑚 𝑟 2 𝑢 𝑟 La unidad del campo gravitatorio en el SI es el N/kg, que equivale al m/s2. 𝒈 es una magnitud vectorial radial y su sentido apunta hacia m que da lugar al campo. Varía conforme al inverso del cuadrado de la distancia.

2 Campo gravitatorio 2. CAMPO GRAVITATORIO EJERCICIO 1
¿A qué distancia de un cuerpo de masa 3m tiene el campo gravitatorio el mismo valor que a una distancia r de un cuerpo de masa m?

2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos Campo gravitatorio en el exterior de un cuerpo esférico Corteza esférica 𝑑𝑚 𝑑𝑚′ 𝑑 𝑔 𝑑 𝑔 ′ 𝑟 𝑠 La intensidad resultante de un campo gravitatorio debido a una corteza esférica se dirige al centro de la corteza. El valor de dicho campo es el mismo que se obtendría si toda la masa de la corteza estuviese concentrada en dicho centro. 𝑔 𝑖 𝑠 𝑔 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos Campo gravitatorio en el exterior de un cuerpo esférico Esfera sólida El campo gravitatorio originado por cuerpos esféricos de masa m en un punto exterior P es el mismo que el que originaría dicha masa si estuviese concentrada en el centro del cuerpo: 𝑔 =−𝐺 𝑚 𝑟 2 𝑢 𝑟

2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos Campo gravitatorio en el interior de un cuerpo esférico Corteza esférica 𝑑𝐴=𝜋 𝑟 2 =𝜋 (𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃) 2 𝑑 𝐴 ′ =𝜋 𝑟 ′ 2 =𝜋 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃 2 =𝜋 (2𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃) 2 =4𝑑𝐴 𝑟′ 𝑏 𝑑𝜃 𝑆 𝑟 𝑑𝜃 𝐶 𝑚 𝑑𝐴 𝑑𝐴′ 𝑚′ Si la corteza es uniforme: 𝑚 ′ =4𝑚 𝑎=2𝑏 𝑔=𝐺 𝑚′ 𝑎 2 −𝐺 𝑚 𝑏 2 =𝐺 4𝑚 2𝑏 2 − 𝑚 𝑏 2 =0 𝑔 𝑔=𝐺 𝑚 𝑟 2 El campo neto en el interior de una corteza esférica es nulo 𝑔=0

2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos Campo gravitatorio en el interior de un cuerpo esférico Esfera sólida homogénea La densidad de la esfera: En P, solo contribuye la masa m’: 𝑚 𝑟 𝜌= 𝑚 𝑉 = 𝑚 4 3 𝜋 𝑟 3 𝑚′ 𝑃 𝑟′ 𝑚 ′ =𝜌 𝑉 ′ = 𝑚 4 3 𝜋 𝑟 3 · 4 3 𝜋 𝑟′ 3 =𝑚 𝑟′ 3 𝑟 3 𝑔 𝑔 =−𝐺 𝑚 ′ 𝑟 ′ 𝑢 𝑟 =−𝐺 𝑚 𝑟 ′ 3 𝑟 𝑟 ′ 𝑢 𝑟 =−𝐺 𝑚 𝑟 3 𝑟′ 𝑢 𝑟 𝑔=𝐺 𝑚 𝑟 2 𝑔=0 El campo neto en el interior de una esfera sólida maciza aumenta linealmente con r’.

Dos esferas A y B tienen la misma densidad, pero el radio de A es el triple del radio de B. ¿Qué relación guardan los respectivos valores del campo en un punto P equidistante de los centros de las esferas? Si la separación entre los centros de las esferas es d, ¿a qué distancia de la esfera A se encuentra el punto en el que el campo resultante es nulo?

2.2. Campo gravitatorio terrestre Por todo lo anterior, podemos considerar que el campo gravitatorio terrestre sería el mismo que el que tendría si toda la masa del planeta estuviera concentrada en su centro: 𝑔 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑅 𝑇 𝑢 𝑟 =−9,8 𝑢 𝑟 𝑁 𝑘𝑔 𝑜 𝑚/ 𝑠 2 Variaciones con la altitud 𝑔=𝐺 𝑀 𝑇 𝑟 2 𝑑𝑔=−2𝐺 𝑀 𝑇 𝑟 3 𝑑𝑟=−2𝑔 𝑑𝑟 𝑟 𝑔 ′ =𝑔+𝑑𝑔=𝑔−2𝑔 𝑑𝑟 𝑟 =𝑔 1−2 𝑑𝑟 𝑟 =𝑔 1− 2ℎ 𝑅 𝑇  Esta ecuación es válida cuando las altitudes son pequeñas en comparación con el radio terrestre.

Considerando que en la superficie de Marte g es de 3,72 m/s2, calcula cuál sería el valor de la gravedad en la cima del monte Olimpo, que, con sus 25 km de altura, es el monte conocido más alto del sistema solar.

2.2. Campo gravitatorio terrestre Variaciones con la latitud 𝑌 𝑎 𝑐 = 𝜔 2 𝑟= 𝜔 2 𝑅 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑎 𝑐𝑟 𝑎 𝑐 𝑟  Valor máximo en el ecuador  0’034 m/s2 𝑎 𝑐ℎ 𝜑 𝑔 𝑋 𝜑 𝑎 𝑐𝑟 = 𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜑= 𝜔 2 𝑅 𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝑅 𝑇 𝑎 𝑐ℎ = 𝑎 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝜑= 𝜔 2 𝑅 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 =− 𝑔− 𝜔 2 𝑅 𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝑢 𝑟 + 𝜔 2 𝑅 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑢 ℎ  Dado que ac es muy pequeña: Localidad Polo N Greenwich Florida Ecuador Latitud 90º0’ 51º29’ 24º34’ 0º0’ Gravedad 9,8321 9,8119 9,7897 9,7799 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 =𝑔− 𝜔 2 𝑅 𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑

Calcula los valores de la gravedad efectiva en las latitudes canarias (aprox. 28º) y cantábricas (aprox. 43º). g = 9,81 m/s2

2.3. Principio de superposición de campos 𝑔 = 𝑔 𝑔 𝑔 𝑔 4 𝑚 1 𝑔 1 𝑟 1 𝑃 𝑔 2  En general: 𝑔 4 𝑟 2 𝑔 3 𝑚 2 𝑔 = 𝑖=1 𝑛 𝑔 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 −𝐺 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 𝑢 𝑟𝑖 𝑟 4 𝑚 4 𝑟 3 𝑚 3 El campo gravitatorio debido a un conjunto de masas en un punto que dista una distancia ri de cada una de ellas es igual a la composición vectorial de los campos individuales generados por cada una de ellas.

Tres partículas que tienen, respectivamente, una masa de 2, 4 y 0,3 kg se encuentran situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 8,66 m de altura. ¿Cuánto vale la intensidad del campo, 𝑔 , en el centro de dicho triángulo?

3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
La fuerza gravitatoria es conservativa. Es posible asociarle una función de la posición denominada energía potencial. 𝑊 𝐶 =−∆ 𝐸 𝑃 3.1. Energía potencial gravitatoria 𝑊= ∞ 𝑟 𝐹 ·𝑑 𝑟 =−𝐺𝑚𝑚′ ∞ 𝑟 𝑢 𝑟 ·𝑑 𝑟 𝑟 2 =−𝐺𝑚𝑚′ ∞ 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 2 =−𝐺𝑚𝑚′ − 1 𝑟 − − 1 ∞ 𝑊=𝐺 𝑚𝑚′ 𝑟 =−∆ 𝐸 𝑃 =− 𝐸 𝑃 𝑟 − 𝐸 𝑃 (∞) 𝐸 𝑃 𝐸 𝑃 ∞ =0 𝐸 𝑃 𝑟 =−𝐺 𝑚𝑚′ 𝑟 𝑟 𝐸 𝑃 𝑟 =−𝐺 𝑚𝑚′ 𝑟 La energía potencial gravitatoria es el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para aproximar dos masas desde el infinito a una distancia r. 𝐸 𝑃 𝑟 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚′ 𝑅 𝑇

3.1. Energía potencial gravitatoria El término “mgh” 𝐸 𝑃 𝐴 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 𝐸 𝑃 𝐵 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 +ℎ 𝐵 𝐸 𝑃 𝐵 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 +ℎ ℎ 𝐸 𝑃 𝐴 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 𝐴 ∆ 𝐸 𝑃 =𝐸 𝑃 𝐵 − 𝐸 𝑃 (𝐴) ∆ 𝐸 𝑃 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 +ℎ − −𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 = =𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 1 𝑅 𝑇 − 1 𝑅 𝑇 +ℎ =𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 ℎ 𝑅 𝑇 2 + 𝑅 𝑇 ℎ  Sí h<<RT , RTh<<RT2: ∆ 𝐸 𝑃 =𝐸 𝑃 𝐵 − 𝐸 𝑃 𝐴 =𝑚𝑔ℎ

EJERCICIO 6 ¿Cuánto trabajo se realiza al desplazar una masa de kg desde la superficie terrestre hasta una distancia igual a tres veces el radio de la Tierra?

3.1. Energía potencial gravitatoria Energía potencial de un sistema de varias partículas La energía potencial gravitatoria de tres o más partículas es la suma llevada a cabo sobre todos los pares de partículas. 𝑚 2 𝑚 1 𝑟 12 𝐸 𝑃 = 𝐸 𝑃12 + 𝐸 𝑃13 + 𝐸 𝑃23 𝑟 13 𝑟 23 𝐸 𝑃 =−𝐺 𝑚 1 𝑚 2 𝑟 𝑚 1 𝑚 3 𝑟 𝑚 2 𝑚 3 𝑟 23 𝑚 3

EJERCICIO 7 Un sistema consta de cuatro partículas de 10 g situadas en los vértices de un cuadrado de 20 cm de lado. ¿Cuál es la energía potencial del sistema?

3.2. Potencial gravitatorio Se define el potencial gravitatorio en un punto, V, como la energía potencial adquirida por la unidad de masa colocada en dicho punto. 𝑃 𝑚 𝑟 𝑉 𝑟 = 𝐸 𝑃 (𝑟) 𝑚′ =−𝐺 𝑚 𝑟 ( 𝐽 𝑘𝑔 ) 𝑃 𝑟 1  Por el Principio de superposición: 𝑚 1 𝑟 3 𝑉(𝑟)=−𝐺 𝑚 1 𝑟 𝑚 2 𝑟 𝑚 3 𝑟 3 𝑚 2 𝑟 2 𝑚 3

3.2. Potencial gravitatorio Relación entre potencial y la intensidad del campo Si derivamos la expresión del potencial respecto de r, Como V = V(x, y, z), 𝑉=−𝐺 𝑚 𝑟 ⟹ 𝑑𝑉 𝑑𝑟 =𝐺 𝑚 𝑟 ⟹ 𝑔=− 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝑔 𝑥 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑥 ; 𝑔 𝑦 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑦 ; 𝑔 𝑧 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝑔 =− 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝑘 =− 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉

EJERCICIO 8 Cuatro masas de 2, 4, 3 y 0,4 kg, respectivamente, se encuentran en los vértices de un cuadrado de 2 m de lado. ¿Cuánto vale el potencial en el centro del cuadrado? ¿Qué energía potencial adquirirá una masa de 10 kg situada en dicho punto?

4 Representación gráfica del campo gravitatorio
4.1. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales Las líneas de fuerza son siempre tangentes al vector intensidad del campo. Su sentido es siempre entrante hacia la masa que origina el campo. Las líneas de fuerza nunca se cruzan. El número de líneas de fuerza que atraviesan una unidad de superficie es proporcional a valor de g. Todos los puntos que se encuentran a la misma distancia r de la masa m, tienen el mismo valor del potencial y constituyen una superficie equipotencial. Las superficies equipotenciales nunca se cortan. Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales. líneas de fuerza superficie equipotencial A superficie equipotencial B

5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio
5.1. Energía de amarre o de ligadura La energía mínima necesaria para que un cuerpo de 1 kg abandone necesariamente la Tierra se denomina energía de amarre o de ligadura. 𝐹=− 𝐹 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 =𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 2 𝑊= 𝑅 𝑇 ∞ 𝐹 ·𝑑 𝑟 =𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 ∞ 1 𝑟 2 𝑑𝑟=𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 Sustituyendo los datos de la Tierra y m = 1 kg: 𝑊=6,28· 𝐽

5.2. Velocidad de escape Para que un cuerpo abandone totalmente el campo gravitatorio debemos suministrarle, al menos, una energía igual a la de amarre: 1 2 𝑚 𝑣 2 =𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 ⟹ 𝑣= 2𝐺 𝑀 𝑇 𝑅 𝑇 Esta velocidad se denomina velocidad de escape y es independiente de la masa del cuerpo e indiferente de la dirección de lanzamiento. En la Tierra vale 11,2 km/s. No es suficiente para escapar del sistema solar. Para ello es necesario una asistencia gravitacional. Asistencia gravitacional para la Sonda Cassini

5.3. Energías y órbitas Cuando la velocidad de un cuerpo es menor que la velocidad de escape el cuerpo quedará ligado al campo gravitatorio. Velocidad orbital  La fuerza gravitatoria hace el papel de fuerza centrípeta 𝐹 𝑟 𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 2 =𝑚 𝑣 2 𝑟 ⟹ 𝑣= 𝐺 𝑀 𝑇 𝑟 Es la velocidad orbital supuesta una órbita circular.

5.3. Energías y órbitas Energía mecánica en una órbita 𝐸 𝑀 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 2𝑟 𝑟 La energía mecánica de un satélite es: 𝐸 𝑀 = 𝐸 𝐶 + 𝐸 𝑃 = 1 2 𝑚 𝑣 2 −𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 𝐸 𝑃 𝑅 𝑇 𝑟 3 𝑟 𝑟 2 𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 2 =𝑚 𝑣 2 𝑟 ⟹ 𝐸 𝐶 = 1 2 𝑚 𝑣 2 =𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 2𝑟 𝐸 3 <0 𝐸 𝑃 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 𝐸 2 <0 𝐸 𝑀 =𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 2𝑟 −𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 2𝑟 𝐸 1 <0

5.3. Energías y órbitas Energía mecánica y órbitas  EM < 0 𝐸 En este caso las órbitas son cerradas: circulares o elípticas. 𝑟 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟 𝐸 𝑀 <0 𝐸 𝐶 𝑚 𝐸 𝑃 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 𝑀 𝑇 𝑟 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜

5.3. Energías y órbitas Energía mecánica y órbitas 𝐸  EM = 0 𝑟 𝐸 𝑀 =0 En este caso las órbitas son abiertas: parábolas. 𝐸 𝐶 𝐸 𝑃 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 𝑚 𝑀 𝑇

5.3. Energías y órbitas Energía mecánica y órbitas 𝐸  EM > 0 𝐸 𝑀 >0 𝑟 En este caso las órbitas son abiertas: hipérbolas. 𝐸 𝐶 𝐸 𝑃 =−𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑟 𝑚 𝑀 𝑇

5.4. Satélites de órbita terrestre Órbita terrestre baja (LEO) Órbita terrestre media (MEO) Órbita geoestacionaria (GEO) El radio de la órbita está entre 600 y 1200 km. El plano de la órbita tiene una orientación fija respecto del Sol (heliosíncronas). Usos: Localización de personas. Observación de la Tierra. Estudio de cosechas. Análisis de la masa forestal. Telefonía móvil. Transmisión de datos. El radio de la órbita está entre y km. Televisión. Medida de elementos espaciales. Localización de personas, vehículos con fines civiles y militares (GPS, a km) Se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre, a una altura sobre la superficie de unos km. El periodo de la órbita coincide con el de rotación de la Tierra (24 h). Meteorología. Comunicaciones

6 Caos determinista 2. CAMPO GRAVITATORIO
En Mecánica Clásica, el problema de dos cuerpos consiste en determinar la posición en función del tiempo de dos partículas puntuales que interactúan entre sí (estrella y planeta, planeta y satélite). Cuando el problema es más complejo, además de la Ley de Gravitación Universal , se debe utilizar el cálculo diferencial e integral. El origen de la teoría del caos es la resolución del problema de los tres cuerpos (se comenzó a estudiar con el sistema Sol-Tierra-Luna).

Los deterministas afirmaban que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenómenos y las condiciones iniciales, y además existe una solución, entonces se puede predecir con certeza el futuro del sistema en estudio. Poincaré (precursor del la teoría del caos) demostró que no existía una solución analítica válida para un tiempo finito que pudiera describir el movimiento de tres cuerpos que estén en interacción gravitatoria mutua. Una pequeña perturbación en el estado inicial, podía llevar al sistema a un estado totalmente diferente.

A los sistema que una pequeña variación de las condiciones iniciales, les produce grandes diferencias en el comportamiento, seles denomina sistemas caóticos (sistema solar, fluidos en régimen turbulento, predicción meteorológica, economía).

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