Dra. Sara Aguilera Morales

Presentación del tema: "Dra. Sara Aguilera Morales"— Transcripción de la presentación:

1 Dra. Sara Aguilera Morales
Universidad Católica del Norte Departamento de Enseñanza De Las Ciencias Básicas Difracción Dra. Sara Aguilera Morales

2 DISFRACCIÓN La difracción de las ondas es una desviación de la dirección de los rayos en un medio homogéneo al pasar en las proximidades de un obstáculo. Este fenómeno es posible apreciarlo sólo en los casos en que la longitud de onda utilizada tenga un valor comparable (del mismo orden) con las dimensiones del obstáculo interpuesto. Principio de Huygens – Fresnel Él permitió resolver solamente los problemas acerca de la dirección de propagación del frente luminoso y en esencia no consideraba el problema de la intensidad de las ondas que iban en diferentes direcciones. Fresnel eliminó esta insuficiencia al introducir un sentido físico en el principio de Huygens al completarlo con la idea de interferencia de ondas. De este modo la superficie envolvente de las ondas secundarias adquirió un claro contenido físico al considerarla como la superficie donde, debido a la interferencia mutua de las ondas elementales, la onda resultante tiene una intensidad apreciable.

3 Principio de Huggens – Fresnel
El Principio de Huggens – Fresnel es el principio fundamental de la óptica ondulatoria y permite investigar los problemas relacionados con la intensidad de la onda resultante en diferentes direcciones, es decir resolver el problema de la difracción de la luz. Este Principio también permitió resolver el problema acerca de los límites de aplicación de la ley de propagación rectilínea de la luz y permitió aclarar la Ley de Propagación de Ondas de cualquier longitud. Difracción de Fresnel y Difracción de Fraunhofer  En la difracción de Fresnel los rayos que se difractan son divergentes, ya que proceden de una fuente cercana a los obstáculos.(Fig. 1) O M S Fig. 1

4 Difracción de Fresnel y Difracción de Fraunhofer
Fraunhofer examinó un caso especial de difracción: La difracción de rayos paralelos, cuando el cuadro de difracción se obtiene en el plano focal de una lente convergente. Es decir, la difracción de Fraunhofer se produce cuando tanto el foco luminoso, como la pantalla que recoge el patrón de difracción se encuentran a una distancia infinita de la pantalla que contiene la rendija. (Fig. 2) Fig. 2

5 Difracción por una rendija. Patrón de difracción.
Hasta ahora hemos supuesto que las rendijas son fuentes puntuales de luz. Ahora abandonamos esta suposición y vemos como el ancho finito de las rendijas es la base para la comprensión de la difracción de Fraunhofer. Podemos deducir algunas características de importancia a partir de estos fenómenos si examinamos las ondas que llegan desde varias partes de la rendija, como se observa en la figura 3. De acuerdo con el principio de Huygens, cada parte de la rendija actúa como una fuente de ondas luminosas.(Fig. 3) Para este análisis se divide la rendija en dos mitades. Recordando que todas las ondas estarán en fase cuando salgan de la rendija, consideremos los rayos 1 y 3.  Fig. 3

6 (a/2 )senθ = +λ/2 ó senθ = +λ/a
i1 Difracción por una rendija. Patrón de difracción. Conforme esos dos rayos se desplazan a la derecha de la figura hacia una pantalla de observación lejana, el rayo 1 se desplaza más lejos que el rayo 3 en una cantidad igual a la diferencia de trayectoria (a/2)senθ , siendo a el ancho de la rendija. De manera similar, la diferencia en trayectoria entre los rayos 3 y 5 es también (a/2)senθ. Si esta diferencia de trayectoria es exactamente igual a la mitad de una longitud de onda (es decir la diferencia de fase es π); entonces las dos ondas se cancelan entre sí, lo que da como resultado una interferencia destructiva. Si esto es válido para dos rayos de este tipo, entonces también es válido para dos rayos cualesquiera que se originen en puntos separados a la mitad del ancho de la rendija, ya que la diferencia de fase entre esos dos puntos es de 180°. Por lo tanto, las ondas provenientes de la mitad superior de la rendija interfieren destructivamente con ondas provenientes de la mitad inferior cuando: (a/2 )senθ = +λ/2 ó senθ = +λ/a De igual manera, podemos dividir la rendija en seis partes iguales y demostrar que se obtienen franjas oscuras, cuando:  asenθ = mλ (m= +1, +2, +3…) La condición general de mínimo de difracción será:  asenθ = mλ (m= +1, +2, +3…) (1) Se podría demostrar que la condición de máximos de difracción es también:  asenθ = mλ pero m= 0, +1.43, +2.46… (2)

7 Intensidad de los patrones de difracción provenientes de una sola rendija
Para determinar la distribución de la intensidad de la luz para un patrón de difracción proveniente de una sola rendija, se pueden usar fasores. Imaginemos una rendija dividida en un número de pequeñas zonas de ancho ∆y, como se muestra en la figura 4. Cada zona actúa como una fuente de radiación coherente y contribuye con un incremento de campo eléctrico de magnitud ∆E en algún punto de la pantalla. La intensidad luminosa en dicho punto es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico. Fig. 4

8 Intensidad de los patrones de difracción provenientes de una sola rendija
Las magnitudes de los incrementos de campo eléctrico entre zonas adyacentes están fuera de fase, una respecto de la otra en una cantidad ∆ ϕ, la cual está relacionada con la diferencia en trayectoria ∆y senθ entre zonas adyacentes. Recordemos que: ∆ ϕ = (2π/λ)∆y senθ (3)

9 Intensidad de los patrones de difracción provenientes de una sola rendija
Para pequeños valores de θ podemos suponer que todos los valores ∆E son iguales. Cuando θ=0 todos los fasores están alineados, como se muestra en la figura 5a, porque todas las ondas provenientes de las diversas zonas están en fase. En este caso, el campo eléctrico total en el centro de la pantalla es E0 = N∆E, donde N es el número de zonas. La magnitud ER resultante en algún ángulo pequeño θ se muestra en la figura 5.b. Donde cada uno de los fasores difiere en fase en relación con el adyacente en una cantidad ∆ϕ. En este caso ER es la suma vectorial de las magnitudes de los incrementos y ello está dado por la longitud de la cuerda, por lo que ER < E0. Fig. 5

10 Intensidad de los patrones de difracción provenientes de una sola rendija
La diferencia de fase total ϕ entre ondas provenientes de la porción superior e inferior de la rendija es: Donde a = N∆y es el ancho de la rendija. Conforme θ aumenta, la cadena de fasores poco a poco va formando la trayectoria cerrada que se muestra en la figura 5c. En este punto la suma vectorial es igual a cero, luego ER =0, lo que corresponde al primer mínimo de la pantalla. En este caso ϕ= N ∆ϕ = 2π, Luego sen θ = λ/a Es posible obtener la magnitud total del campo eléctrico ER, así como la intensidad de la luz I en cualquier punto de la pantalla de la figura 5.c al considerar el caso limite en el cual ∆y se convierte en infinitesimal (dy) y N se acerca a ∞ . Fig. 5.c

11 Intensidad de los patrones de difracción provenientes de una sola rendija
En este límite la cadena de fasores de la figura 5, se convierten en la figura 6. (Fig. 5) Del triángulo que contiene al ángulo ϕ/2 vemos que: Siendo R el radio de curvatura. Pero la longitud del arco E0 es igual al producto R ϕ, donde ϕ está en radianes. Fig. 6

12 Intensidad de los patrones de difracción provenientes de una sola rendija

13 Intensidad de los patrones de difracción provenientes de una sola rendija
De este resultado vemos en la Fig. 7, donde se presentan mínimos cuando: m= +1, +2, +3,… Fig. 7

14 Red de Difracción Si en lugar de una pantalla con una rendija colocamos en la trayectoria del haz luminoso una pantalla con una serie de rendijas paralelas entre si y del mismo ancho a, como se muestra en la figura 8, tendremos que los cuadros de difracción de todas las rendijas van a coincidir. M O Fig. 8

15 Red de Difracción En este caso, al tener más de una rendija, es necesario considerar no sólo patrones de difracción provenientes de las rendijas individuales, sino también los patrones de interferencia debidos a las ondas que provienen de rendijas diferentes. En esta figura 9, las líneas punteadas indican una disminución en la intensidad de los máximos de interferencia, conforme θ se incrementa. Esta disminución se debe a la presencia de un patrón de difracción. A fin de determinar los efectos que produce cada rendija en el patrón de interferencia de dos rendijas y en el patrón de difracción proveniente de una sola rendija se combinan las siguientes ecuaciones: Interferencia Difracción  Fig. 9

16 Red de Difracción Luego:   (7) A pesar que esta expresión parece complicada, simplemente representa el patrón de difracción de una sola rendija (el factor incluido en paréntesis cuadrado) que actúa como una “envoltura” para un patrón de interferencia de dos rendijas (el factor de coseno al cuadrado), como se puede observar en la figura 10. La curva punteada representa el factor entre paréntesis cuadrado. El factor que incluye coseno al cuadrado daría por sí mismo una serie de pik, todos de la misma altura. Pera el efecto de la difracción impide que ellas tengan la misma altura, como se puede apreciar en la figura 10. Fig. 10

17 Red de Difracción La distancia entre los puntos medios de aberturas adyacentes de la red se llama constante o periodo de la red, d. La diferencia de camino óptico de los haces contiguos es δ = d senθ ( 8) A esta diferencia de marcha (o camino óptico) le corresponde una diferencia de fase Φ = (2π/λ)δ (9) Para determinar la amplitud resultante de las oscilaciones en distintos puntos de la pantalla, podemos utilizar la suma de vectores, Fig. 11. x a1 a2 a3 an Fig. 11

18 Red de Difracción Se producirá un máx. para Φ= 2mπ (m= 0,1,2….) (10) En estos puntos   Introduciendo 8 y 9 en 10, se tiene: (11) La expresión 11 representa la condición de máximos principales de interferencia en una red.

19 Red de Difracción Los mínimos de intensidad del cuadro de difracción se obtienen en los puntos de la pantalla para los cuales la amplitud resultante es nula. Ello ocurre cuando el polígono compuesto por los vectores está cerrado, es decir cuando el ángulo N Φ es igual a un numero par de π. m=1, 2, 3, … m ≠ 0, N, 2N, …   (12)  La expresión 12 representa las condiciones de mínimos de interferencia en una red. La ecuación: a senθ= mλ representa las condiciones de mínimo de difracción. Si m = 1 (primer mínimo de difracción). a senθ= λ (13) Si dividimos la expresión 11 por la 13 (14)

20 Red de Difracción Esta expresión permite determinar qué máximo de interferencia coincide con el primer mínimo de difracción. En el patrón de una red de difracción se producen N-1 mínimos de interferencia entre dos máximos principales adyacentes. En el patrón de una red de difracción se puede observar que entre dos máximos principales adyacentes hay N – 2 máximos secundarios. Las figuras 12 y 13 muestran la distribución I de intensidades para redes de difracción que tienen diferentes números de rendijas. Fig. 13 Fig. 12

21 Resolución de aperturas de una sola rendija y circulares
La capacidad que tienen los sistemas ópticos para distinguir objetos muy cercanos entre sí, está limitada debido a la naturaleza ondulatoria de la luz. La figura 14, muestra dos fuentes de luz alejadas de una rendija de ancho a. Las fuentes pueden ser dos fuentes puntuales no coherentes S1 y S2, por ejemplo podría tratarse de dos estrellas lejanas. En la pantalla se observa la suma de dos patrones de difracción provenientes de S1 y S2. Fig. 14 Si las fuentes están muy cercanas entre sí (figura 14.b)  

22 Criterio de Rayleigh: “Cuando el máximo central de una imagen coincide con el mínimo de otra imagen adyacente, se dice que las imágenes están casi resueltas”. Partiendo de este criterio, es posible determinar la separación angular mínima θmin subtendida por las fuentes en la rendija de la figura 15, para la cual las imágenes casi quedan resueltas. De la condición de mínimo de difracción para el primer mínimo tenemos: senθ = λ/a Debido a que en la mayoría de los casos λ << a , senθ es muy pequeño y es posible utilizar la aproximación senθ ≈ θ . Por lo tanto, el ángulo de resolución limite para una rendija de ancho a es: θmin = λ/a ( 15) Estando θmin expresado en radianes.

23 Criterio de Rayleigh: Muchos sistemas ópticos utilizan aperturas circulares en vez de rendijas. Ver figura 15, que muestra patrones de difracción para tres situaciones diferentes, en las cuales pasa luz proveniente de dos fuentes puntuales a través de una apertura circular. El análisis muestra que el ángulo de resolución límite para una apertura circular es: θmin = 1.22 λ/D Donde D es el diámetro de la apertura. Fig. 15

24 Características de una red de difracción
Para tener posibilidades de comparar el funcionamiento de los dispositivos espectrales y elegir cuál de ellos es el más efectivo para solucionar tal o cual problema físico, es necesario establecer ciertas características de dichos dispositivos. Dispersión angular El papel fundamental de los dispositivos espectrales consiste en la determinación de la longitud de onda de la radiación que se estudia, problema que en la mayoría de los casos se reduce a la medición de la diferencia en las longitudes de onda de dos líneas espectrales cercanas. Generalmente la posición de la línea espectral se da por el ángulo definido por la dirección de la normal respecto al frente ondulatorio después de pasar por el elemento dispersante. De aquí, que la dispersión angular se define como la distancia angular entre las direcciones para dos líneas espectrales por su longitud de onda en 1Å. D = d θ / d λ (17) Si la distancia focal de la lente que proyecta el espectro sobre la pantalla es igual a f, entonces la separación lineal dx = f dθ, de manera que la dispersión lineal es:    (18)

25 Dispersión angular La diferencia dθ entre los máximos para λ1 y λ2, se hallará de las condiciones que define la posición de los máximos de interferencia: d senθ= mλ Al diferenciar se tiene: dcosθdθ = mdλ ( 19)

26 Poder separador o poder de resolución
La posibilidad de diferenciación de dos máximos depende de la sensibilidad al contraste del método (visual o fotométrico), con el cual se investiga la distribución de la intensidad a lo largo del espectro. Por lo tanto, la posibilidad de separación de dos líneas es un tanto indeterminada. Apliquemos el criterio de Rayleigh. Si dos líneas contiguas poseen igual intensidad y forma, entonces la intensidad de las líneas espectrales que se observa es equivalente al 80% de la intensidad de los máximos vecinos. Para dos longitudes de onda dadas λ1 y λ2 el poder de resolución R de la rejilla se define como: (Fig. 16). (20) Donde n es la densidad de líneas. N = nl [ l ancho de la red]

27 Poder separador o poder de resolución
Fig.16

28 Región de dispersión G En las condiciones reales del experimento se trabaja no con ondas monocromáticas con longitud de onda λ, sino con cierto intervalo espectral que abarca las longitudes de onda desde λ hasta λ + ∆λ. La presencia de este conjunto de λ introduce una complicación considerable en el buen funcionamiento de los aparatos espectrales, especialmente en aquellos en los que se observan espectros de altos ordenes, los cuales son capaces de sobreponerse el uno sobre el otro si se trabaja con un intervalo espectral bastante ancho. Así para cada dispositivo existe un ancho limite ∆λ del intervalo espectral, con el cual es posible la obtención de máximos y mínimos discretos. Este intervalo recibe el nombre de región de dispersión G del dispositivo espectral. (Fig. 17). I Fig. 17

29 Región de dispersión G El lugar del máximo de orden m para el borde derecho del intervalo (λ + ∆λ) se determina de la condición:   d sen θ*m = m (λ + ∆λ) (21) El lugar del máximo de orden (m + 1) para el borde izquierdo del intervalo λ se da por la expresión:   d sen θ m + 1 = (m + 1) λ ( 22) El cuadro de interferencia se torna impreciso bajo la condición:   θ*m = θm + 1 Luego m(λ + ∆λ) = (m + 1) λ o bien G = ∆λ = λ/m ( 23) De esta manera G del dispositivo espectral depende del orden de interferencia observado en el dispositivo dado. Para la red de difracción generalmente se observan espectros de segundo y tercer orden, es decir m = 2 o m = 3. De acuerdo con esto la región de dispersión ∆λ = λ/2 o ∆λ = λ/3 es muy grande. En esto consiste la gran ventaja de la red, la cual incluso permite analizar luz blanca, es decir un intervalo espectral muy amplio.

30 Aplicaciones Holografía: Es una de las aplicaciones de la red de difracción, que permite la obtención de imágenes tridimensionales de los objetos. La física de la holografía fue desarrollada por Dennis Gabor en el año 1948, lo que le valió la obtención del Premio Nóbel de Física en 1971. La figura 18, muestra un holograma, así como el carácter tridimensional de su imagen. Fig. 18

31 Aplicaciones La figura 19 muestra como se hace un holograma. La radiación láser se divide en dos partes mediante un espejo semiplateado en B. Una parte del rayo es reflejada del objeto a fotografiar e incide en una película fotográfica normal. La otra parte del haz se hace diverger por la lente L2, se refleja en los espejos M1 y M2 y finalmente llega a la película. Los dos haces se superponen para formar un patrón de interferencia extremadamente complicado sobre la película. Fig. 19

32 Aplicaciones El holograma no sólo registra la intensidad de la luz dispersa por el objeto (igual que un una fotografía convencional), sino también la diferencia de fases entre el haz de referencia y el haz disperso por el objeto. Gracias a esta diferencia de fase se forma un patrón de interferencia que produce una imagen en la que se conserva toda la información tridimensional disponible de la perspectiva de cualquiera de los puntos sobre el objeto.  El patrón de interferencia existente sobre la película actúa como una rejilla de difracción. La figura 20, muestra dos rayos de luz incidiendo sobre la película y pasando a través de ella. Fig. 20

33 Difracción de los rayos X mediante cristales
Si se dispone de una rejilla con un espaciamiento entre rendijas adecuadas, (del orden de λ) es posible determinar la longitud de onda de cualquier onda electromagnética. Los rayos X fueron descubiertos en el año 1895 por Wilhem Roentgen ( ). Ellos son ondas electromagnéticas de una longitud de onda muy reducida (del orden de 0,1nm). Sería imposible construir una rejilla con un espaciamiento tan pequeño. Sin embargo el espaciamiento atómico es de aproximadamente 0,1nm. En el año 1913, Máximo Von Laue ( ), sugirió que la organización normal de los átomos en un cristal pudiera funcionar como una rejilla de difracción tridimensional para los rayos X. Los patrones o figuras de difracción provenientes de cristales son complejos dada la naturaleza tridimensional de la estructura cristalina.

34 Difracción de los rayos X mediante cristales
La figura 21, muestra un arreglo experimental para la observación de la difracción de los rayos X mediante un cristal. Sobre el cristal incide un haz colimado de rayos X monocromáticos. Los rayos difractados son muy intensos en ciertas direcciones, que corresponden a la interferencia constructiva de ondas reflejadas de las capas de átomos del cristal. Los rayos difractados, que pueden ser detectados sobre una película fotográfica, forman un arreglo de puntos conocidos como patrón de Laue. Ver figura 22a. Es posible deducir la estructura cristalina analizando las posiciones relativas y las intensidades de los diversos puntos en el patrón. La figura 22b muestra un patrón de Laue correspondiente a una enzima cristalina, utilizando una amplia gama de longitudes de onda, de manera que el resultado es un patrón en remolino. Fig. 22 Fig. 21

35 Difracción de los rayos X mediante cristales
En la figura 23 se muestra la organización de los átomos en un cristal de cloruro de sodio (Na Cl). Cada celda unitaria (el sólido geométrico que se repite a través de todo el cristal), es un cubo de arista a. Un examen cuidadoso de la estructura del NaCl muestra que los iones yacen en planos discretos .. Fig. 23 Estructura cristalina del Cloruro de Sodio (NaCl). Las esferas celestes representan los iones Cl – y las esferas rojas representan los iones Na +. La longitud del cubo de arista a es igual 0, nm.

36 Ahora supongamos que un rayo X incidente forma un ángulo θ con uno de los planos, como en la figura 24. El rayo puede reflejarse tanto del plano superior, como del inferior. El rayo del plano inferior se desplaza más que el rayo reflejado desde el plano superior. Fig. 24

37 Difracción de los rayos X mediante cristales
La diferencia en la trayectoria efectiva es igual a 2dsenθ cuando esta diferencia de trayectoria es igual a algún múltiplo entero λ. Los dos haces se refuerzan (interferencia constructiva). De aquí la condición de máximo es: 2d sen θ = mλ m = 1,2,3… Esta condición se conoce como ley de Bragg en honor a William Bragg ( ), quien fue el primero en deducir esta relación. Si se mide la longitud de onda y el ángulo de difracción es posible usar esta expresión para calcular el espaciamiento de los planos atómicos.