4. Fonones: Vibraciones Cristalinas

Presentación del tema: "4. Fonones: Vibraciones Cristalinas"— Transcripción de la presentación:

1 4. Fonones: Vibraciones Cristalinas
Bibliografía: Kittel, cap. 4. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

2 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio lineal homogeneo, Ey modulo de elasticidad,  densidad del medio Solucion de la forma, ondas viajeras Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

3 Desplazamiento Atómico en una red
Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por: Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal. Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R. El desplazamiento del átomo i se puede escribir como Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

4 Desplazamiento Atómico
Cuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación. Problema se vuelva 1D: para cada k (vector de onda) hay 3 modos de vibración: 1 de polarización longitudinal 2 de polarizaciones transversales Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

5 Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos
La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados res pecto de sus posiciones de equilibrio El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN) El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico). (No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

6 Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos
La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es: De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

7 Cadena Lineal monoatomica
Consideremos una línea de átomos. Entonces, la fuerza sobre atomo s es: Considerando sólo las interacciones con primeros vecinos mas cercanos: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

8 Oscilaciones de una Cadena Lineal
Ley de Newton (ecuación de movimiento): Dependencia temporal: luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

9 Oscilaciones de una Cadena Lineal
Solucion de la forma Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

10 Oscilaciones de una Cadena Lineal
Una forma más conveniente es: Finalmente: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

11 Oscilaciones de una Cadena Lineal
La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia Relación de k en función de k se llama relación de dispersión. Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

12 Primera Zona de Brillouin
k La solución de k sobre el espacio recíproco es periódica. Toda la información está en la primera zona de Brillouin. La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k = k+G ! (G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

13 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
Primera Zona de Brillouin Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

14 Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco
Punto B, onda propagandose derecha Punto A, onda propagandose izquierda El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico al de k+G. Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin (1ZB) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

15 Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco
La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas. El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es: El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

16 Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco
k vk=vsonido Vk=0 en borde de ZB (esperable en una onda estacionaria) La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana. La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk (i.e. es la pendiente de k vs. k) Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

17 Significado de vk=0 en frontera de zona de Brillouin
dk/dk =0 en el límite de la ZB. Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB. Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria. Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo Vs= 0. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

18 Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco
Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones. Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran. Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco. Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1a zona de Brillouin (ZB). Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

19 límite de longitud de onda largo
ka<<1  cos(ka)  1 - 1/2(ka)2 Resultado:  es directamente proporcional al vector de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas:  = vk (mecánica del continuo). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

20 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
Dispersión en Cu Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

21 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
Red Biatómica 1D M m un un+1 vn C Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

22 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
Red Biatómica 1D m M C C C un vn un+1 Resultado: Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite: ka << 1 : cos(ka)  1 - ½ (ka) ka =  (borde 1ZB) Para ka << 1: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

23 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
Red Biatómica 1D Para ka << 1: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

24 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
Red Biatómica 1D Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

25 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

26 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
RELACION DISPERSION PARA REDES 3D Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

27 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
Dispersión en KBr Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

28 VIBRACIONES DE RED CUANTIZADAS
Modelo cuantizado de las vibraciones de red: hay un conjunto de 3N oscilaciones lineales independientes( modos) con energia E=(n(w)+1/2) hw El numero medio de fonones en el modo con frecuencia w es Frecuencia de Debye wD : la mas grande frecuencia de vibracion en el cristal asumiendo la relacion de dispersion : w = v k. Temperatura de Debye Q= hwD/kB Las frecuencias fononicas acusticas tipicas esde orden ~1013 Hz, frecuencias opticas tipicas~ 1014 Hz, temperature Debye: diamante K, Cu -320K, Pb -90K Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

29 DISPERSION INELASTICA DE NEUTRONES
Neutrones pueden ser dispersados del cristal cuando absorben o Emiten un fonon Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

30 ABSORCION INFRAROJO EN CRISTALES IONICOS
Luz transmitida en el rango de infrarojo, w~ 1014 Hz (l~40-100mm) Es absorvida por cristales ionicos con modo optico de fonones Transmitancia a traves pelicula delgada de NaCl (0.17mm) Cl Cl Cl Na Na 50 60 70 l(mm) Transmittance 100% Iones de Cl y Na se mueven en direcciones opuestas Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas