Teorema de Chebyshev Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC.

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1 Teorema de Chebyshev Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

2 Teorema de Chebyshev

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4 Ejemplo 1 Una variable aleatoria X tiene una media μ = 8, una varianza σ 2 = 9 y una distribución de probabilidad desconocida. Calcule a) P (−4 < X < 20), b) P (|X −8| ≥ 6).

5 Ejemplo 1 Solución: μ = 8, σ 2 = 9 donde σ = 3 a) P (−4 < X < 20)=? Hay que igualar las ecuaciones para encontrar k, es decir:

6 Ejemplo 1 μ = 8 -4 20

7 Ejemplo 1

8

9 Solución: b) P (|X −8| ≥ 6) P (-6 ≥ X −8 ≥ 6) P (-6 + 8 ≥ X ≥ 6 + 8) P (2 ≥ X ≥ 14)=?

10 Ejemplo 1 μ = 8 2 14 P (2 ≥ X ≥ 14)

11 Ejemplo 1 μ = 8 2 14 P (2 < X < 14) P (2 ≥ X ≥ 14) = 1 - P (2 < X < 14)

12 Ejemplo 1

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14 Ejemplo 2 Una empresa eléctrica fabrica una bombilla de luz de 100 watts que, de acuerdo con las especificaciones escritas en la caja, tiene una vida media de 900 horas con una desviación estándar de 50 horas. A lo sumo, ¿qué porcentaje de las bombillas no duran al menos 700 horas? Suponga que la distribución es simétrica alrededor de la media.

15 Ejemplo 2

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22 Ejemplo 3 En una planta de ensamble automotriz se crean 70 nuevos puestos de trabajo y se presentan 1000 aspirantes. Para seleccionar entre los aspirantes a los 70 mejores la armadora aplica un examen que abarca habilidad mecánica, destreza manual y capacidad matemática. La calificación media de este examen resulta ser 60 y las calificaciones tienen una desviación estándar de 6. ¿Una persona que obtiene una calificación de 84 puede obtener uno de los puestos? [Sugerencia: Utilice el teorema de Chebyshev]. Suponga que la distribución es simétrica alrededor de la media.

23 Ejemplo 3 Solución: Como se escogen los 70 mejores de 1000 aspirantes, quiere decir que solo ingresan el 70/1000=0,07 correspondiente al 7% La pregunta sería, si una persona que saque una nota de 84, estaría en ese 7%

24 Ejemplo 3 0,07 60 84 ?

25 Ejemplo 3 0.07 0.14 0.86

26 Ejemplo 3

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28 0.07 0.86 60 43.98 76.02 84

29 Gracias